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- 2021-04-12 发布
舒城中学2017—2018学年度第二学期第四次统考
高二理数
一、选择题（每小题5分，共计60分）
1．已知复数z＝，则z－|z|对应的点所在的象限为 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是 ( )
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数
C．大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数
D．大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
3．5人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有 ( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．60种
4．为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如下表所示：
开业天数
10
20
30
40
50
销售额/天(万元)
62
75
81
89
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.67x＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ( )
A．67 B．68 C．68.3 D．71
5. 袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下一次抽取一个，记下号码后放回去再抽取一个，总共取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是
（ ）
A．5 B．9 C．10 D．25
9 6 1
甲
乙
8 6 3
x 4 1 1
5 5 7
2 3 5 6
6 8 9
1
3
2
6. 甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图
如图所示，则“”是“甲运动员得分平均数大于
乙运动员得分平均数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 若对于任意的实数,有,则的值为 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
8. 《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知
某“堑堵”的三视图如右图所示,则该“堑堵”的表面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 不等式组表示的点集记为M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为 （ ）
A. B. C. D.
10. 椭圆的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
11．已知的展开式中的常数项为,是以为周期的偶函数,且当时,,若在区间内,函数有4个零点,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
12. 若实数满足,则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13．观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，……，根据上述规律，第n个不等式应该为________．
14. 已知随机变量只能取三个值：，其概率依次成等差数列，则公差的取值范围是________．
15．展开式中的系数是 .
16. 过直线上的一个动点向圆上引两条切线,切点为,若，则四边形的最小面积的概率为 .
三、解答题（本大题满分70分）
17. （本小题满分10分）舒中高二统考理数 第1页 (共4页)
舒中高二统考理数 第2页 (共4页)
A
C
B
D
（第17题）
V
E
F
在正四棱锥中，E，F分别为棱VA，VC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求证：平面VBD⊥平面BEF．
18（本小题满分12分）
现有6个小球和3个盒子，小球放入盒子，每盒不空。按下列条件，分别求放法种数：（结果用数字作答）
（1） 盒子彼此不同，球也互不相同；（2）盒子彼此不同，球完全相同；
（3）盒子彼此相同，球互不相同；
19（本小题满分12分）
为了吸引更多的优季学子，全国重点大学每年都会开展“夏令营活动”，据悉甲、乙两所高校共收1000名学生，分三个批次开展“夏令营活动”，每名学生只能参加其中一校“夏令营活动”的某一个批次，时间先后安排在暑假、国庆节、寒假期间，参加两校“夏令营活动”
的学生人数如表所示：
第一批次
第二批次
第三批次
甲
200
乙
150
160
已知在参加两校“夏令营活动”的1 000名学生中随机抽取1人，第二批次参加甲大学“夏令营活动”的频率是0.21.
（1）现按批次用分层抽样的方法在所有学生中抽取50人，求应在第三批次参加“夏令营活动”的学生中抽取的人数；
（2）已知，求第三批次参加“夏令营活动”的学生中参加甲大学“夏令营活动”的人数比参加乙大学“夏令营活动”的人数多的概率．
20（本小题满分12分）
某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示.
（1）求的值；
（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？
（3）在（2）的前提下，已知面试有4位考官，被抽到的6名学生中有两名被指定甲考官面试，其余4名则随机分配给3位考官中的一位对其进行面试，求这4名学生分配到的考官个数的分布列.
21（本小题满分12分）
已知在平面直角坐标系中，椭圆C：离心率为，其短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，A为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线OP与直线OQ的斜率分别为，，且， ，（为非零实数），求的值．
22（本小题满分12分）
已知函数（，）有两个不同的零点，．
（1） 求的最值；（2）证明：．
高二第四次统考理科数学参考答案
1-12 BBCBB ACDDA AD
13. 1＋＋…＋＜ 14. 15.120 16.
17.略
18. 540；10； 90
19. （1）14；（2）
20. (1）由题意知， ，
， .
（2）三个组共60人，所以第三组应抽人，
第四组应抽人，第五组应抽人.
（3）的所有可以取的值分别为1,2,3
；；.所以的分布列为：
21.
所以，，
代入椭圆的方程得，，
同理可得，，
所以．
22.试题解析：（I），有两个不同的零点，∴在内必不单调，故，
此时，解得，∴在上单增，上单减，
∴，无最小值．
（II）由题知两式相减得，即，
故要证，即证，即证，
不妨设，令，则只需证，
设，则，
设，则，∴在上单减，∴，
∴在上单增，∴，即在时恒成立，原不等式得证．