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- 2021-04-12 发布
“永安一中、德化一中、漳平一中”三校联考
2017—2018学年第一学期第二次月考
高三数学（理科）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1.已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D.
2.已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知命题；命题在中，若，则．则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4．某几何体的三视图如右图所示，则它的体积为（ ）
A. B. C. D.
5．若等差数列的前项和为，则，类似地正项等比数列的前项积为（ ）
A. B. C. D.
6．设等差数列满足，公差，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知平面α⊥平面β，直线m，n均不在平面α、β内，且m//n，则（ ）
A. 若m⊥β，则n//α B. 若n//β，则m⊥α C. 若m//β，则n//α D. 若n⊥β，则m⊥α
8.把函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则（ ）
A. 的图象的一条对称轴是，一个对称中心是
B. 的图象的一条对称轴是，一个对称中心是
C. 的图象的一条对称轴是，一个对称中心是
D.的图象的一条对称轴是，一个对称中心是
9.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10．已知圆：，四边形为圆的内接正方形，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心转动时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，，点在线段上，且 ,过作球的截面，则所得截面圆面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，若对任意的在区间总存在唯一的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题5分，本题共20分）
13．__________.
14.已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足， 的最小值为__________.
15．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则函数在点处的切线方程是__________.
16．已知数列满足，其中，若对恒成立，则实数的取值范围为__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题12分）如图，在△ABC中，AB=2，，点D在线段BC上．
（1）若∠ADC=，求AD的长；
（2）若△ABC的面积为，且,求的值.
18.（本小题12分）某电视台举行知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题者比赛结束，直接进入决赛，否则要答完5道题．已知选手甲答题的正确率为．
（1）求选手甲可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求ξ的数学期望．
19.（本小题12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，
侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，
AD＝2.
（1）求证：平面AEC⊥平面PCD；
（2）若二面角A－PC－E的平面角大小θ满足，求四棱锥P－ABCD的体积．
20．（本小题12分）正项数列的前项和满足且.
（1）求；（2）若，求证：数列的前项和.
21.（本小题12分）已知函数在点处的切线为
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若，且存在，使得成立，求的最小值．
请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.
22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为．
（1）求曲线的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）若曲线经过变换后得到曲线，且直线l与曲线交于两点，求的取值范围．
23．选修4-5:不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若时，对任意的恒成立，求的取值范围.
2017—2018学年第一学期第二次月考
高三数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
A
B
C
A
A
C
D
B
D
二、填空题（每小题5分，本题共20分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题12分）
解：（1）,………………2分
由正弦定理………………………………………………………………3分
即,…………………………………………5分
（2）,即,
……………………………………………………………………………………7分
根据余弦定理
,
………………………………………………………………………………9分
…………………………11分
又………………………………………………12分
18.（本小题12分）
解：(1)甲答3道题进入决赛的概率：…………………………………………1分
甲答4道题进入决赛的概率：…………………………………3分
甲答5道题进入决赛的概率：……………………………5分
甲进入决赛的概率：……………………………………6分
（2）的可能值为3,4,5……………………………………………………………7分
P(＝3)＝…………………………………………………………………8分
P(＝4)＝……………………………………………………9分
P(＝5)＝1－P(＝3)－P(＝4)＝……………………………………10分
（或P(＝5)＝）
的分布列：
分
3
4
5
P
………………………11分
E＝
＝………………………………………………………………………………12分
19.（本小题12分）
解：(1)取中点为，中点为，
由侧面为正三角形，且平面⊥平面，知⊥平面，故⊥，
又⊥，则⊥平面，所以⊥，
又∥，则⊥，又是中点，则⊥，
由线面垂直的判定定理知⊥平面，
又⊂平面，故平面⊥平面.……………………………………………5分
(2)如图所示，建立空间直角坐标系，
令，则，．
由(1)知＝为平面PCE的法向量，……………6分
令为平面PAC的法向量，
由于均与n垂直，
故即解得
故，………………………………………………8分
由，解得.………………………………10分
故四棱锥P－ABCD的体积V＝SABCD·PO＝·2·3·＝.…………………………12分
20．（本小题12分）
解：（1）由
∴数列是以为首项，以１为公差的等差数列.…………………………………2分
.
又因为为正项数列，
∴.……………………………………………………………………………………4分
，
又也符合上式，
；………………………………………………………………6分
（2）由（1）得.…………………………7分
…………………………………………………………8分
……………12分
21.（本小题12分）
解：（1）的定义域为,
…………………………………………………………………………1分
∴
∴ ……………………………………………………………………………………3分
∴．
由得函数的单调递减区间为 （或也可以）…5分
（2）可化为
令,使得,
则．………………………………………………………………………………6分
,
令
则
∴在上为增函数．………………………………………………………………7分
又
故存在唯一的使得……………………………………………………8分
即
当时，
∴∴在上为减函数；………………………………………………9分
当时，
∴∴在上为增函数．……………………………………………10分
∴
…………………………………………………………………………………………………11分∴
∵
∵∴的最小值为．………………………………………………………………12分
22.（本题满分10分）
解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，
∴，…………………………………………………………1分
∴曲线C的直角坐标方程为，整理，得……3分
∵直线l过点，倾斜角为，
∴直线l的参数方程为.…………………………………………5分
（2）∵曲线C经过变换后得到曲线C′，
∴曲线C′为：……………………………………………………………………6分
把直线l的参数方程，代入曲线C′：
得：，…………………………………………7分
设A，B对应的参数分别为，则，………………………………8分
∴……………………………………………………………9分
又直线l与曲线交于两点.
…………………………………………………………………………10分
23．（本题满分10分）
解: （1）当时， .
当时， ；
当时，；
当时，；
即
又因为在上单调递减，
在上单调递减，在上单调递增，如图所示.
所以当时，有最小值3. …………………………………………………………5分
（2）因为，所以，则
，…………………………………………………7分
可得对任意恒成立，即，
解得.
故的取值范围为.…………………………………………………………………10分