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- 2021-04-12 发布
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知不等式的解集可知且；从而可解得的根，根据二次函数图象可得所求不等式的解集.
【详解】
由的解集为可知：且
令，解得：，
的解集为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查一元二次不等式的求解问题，关键是能够通过一次不等式的解集确定方程的根和二次函数的开口方向.
2．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过特殊值可依次排除选项；根据不等式的性质可知正确.
【详解】
选项：当，时，，可知错误；
选项：当时，，可知错误；
选项：当，时，，可知错误；
选项：，，由不等式性质可得：，可知正确.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查不等式的性质，可以通过特殊值的方式排除得到结果，也可以利用性质直接证得结论.
3．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】通过作差得到，根据判别式和开口方向可知，从而得到结果.
【详解】
，即
本题正确选项：
【点睛】
本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方向得到符号.
4．各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【答案】D
【解析】根据等差数列性质可求得，再利用等比数列性质求得结果.
【详解】
由等差数列性质可得：
又各项不为零 ，即
由等比数列性质可得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列性质的应用，属于基础题.
5．设等比数列前项和为，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据等比数列性质可得，，成等比数列；假设，利用等比数列定义可求得，从而可求得，进而得到结果.
【详解】
由等比数列前项和性质可知：，，成等比数列
设，则
，即
本题正确选项：
【点睛】
本题考查等比数列性质的应用，关键是明确数列依然成等比数列，进而可通过等比数列定义推得结果.
6．已知数列是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将已知条件化成等比数列基本量的形式，构成和的方程，解方程求得基本量；再利用等比数列求和公式求得结果.
【详解】
由等比数列性质可得：
又是由正数组成的等比数列 且
，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查等比数列求和问题，关键是能够通过已知条件构成关于等比数列基本量的方程，求解得到首项和公比.
7．已知菱形的边长为， ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：由题意得，设
，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.
【考点】向量的数量积的运算.
8．在中，内角所对应的边分别为，若，且三边成等比数列，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】试题分析：在中，由，利用正弦定理得，所以，得，由余弦定理得，又成等比数列，所以，所以，所以，故选C．
【考点】正弦定理与余弦定理的应用．
9．数列满足：，若数列是等比数列，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】根据等比数列的定义，可知，根据式子恒成立，可知对应项系数相同，从而求得结果.
【详解】
数列为等比数列
即：
上式恒成立，可知：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用等比数列的定义求解参数问题，关键是能够通过对应项系数相同求解出结果.
10．已知数列：，那么数列前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】归纳总结出数列的通项公式，从而得到；采用裂项相消的方式求得.
【详解】
由题意可知：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查裂项相消法求数列的前项和的问题，关键是能够通过归纳总结得到数列的通项公式.
11．向量的夹角为，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先求解出；再通过平方运算可得，根据，可求得所求最大值.
【详解】
又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量模长最值的运算，解题关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和夹角的运算问题，再根据夹角余弦值的范围得到所求模长的最值.
12．已知数列， ，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据等比数列求和公式可得：；由可知.
【详解】
，则：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查等比数列求和问题，关键是能够通过的通项公式得到为等比数列，从而利用等比数列求和公式求得结果.
二、填空题
13．已知数列前项和为，且，则_______
【答案】.
【解析】当时，求得结果，经验证满足此结果，从而可得.
【详解】
当时，
当且时，
综上所述：，
本题正确结果：
【点睛】
本题考查数列通项公式的求解，关键是利用求得结果，一定要注意验证首项.
14．设，向量，且，则__________.
【答案】
【解析】由题意可得：，，
故：，
据此可得：.
15．在数列中，，，则_________________
【答案】.
【解析】通过变形可得；通过累加的方式求得.
【详解】
由题意得：
则，，，……
左右两侧分别作和可得：
又
本题正确结果：
【点睛】
本题考查根据递推关系求解数列的通项公式，关键是根据递推关系的形式确定采用累加法来求解通项公式.
16．若数列各项均不为零，前n项和为，且，则______
【答案】.
【解析】根据递推关系式可整理得：；由此可知数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，通过等差数列求和公式分别求得结果，加和即可.
【详解】
由得：，且
，即
又
数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列；偶数项是以为首项，为公差的等差数列
本题正确结果：
【点睛】
本题考查数列求和的问题，关键是能够通过递推公式得到数列的特点，从而可采用分组求和的方式求得结果.
三、解答题
17．已知等差数列前项和为，等比数列前项和为，且满足
（1）求数列及数列的通项公式；
（2）若，若数列前项和为，求
【答案】（1）；
（2）.
【解析】（1）将和化成和的形式，求解出基本量后得到；根据和求解出和，从而得到；（2）根据（1）得到，采用分组求和的方法分别求解等差和等比数列的和，加和得到结果.
【详解】
（1）由题意得：，即
又，可知：，即
，
（2）由（1）得：
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解、分组求和法求数列的前项和的问题，属于基础题型.
18．解关于的不等式
【答案】见解析.
【解析】将不等式变为；根据二次项系数为零、开口方向、实根个数与大小分别讨论不同取值范围下的解集.
【详解】
①当时，
②当时，
③当时，
④当时，
⑤当时，
【点睛】
本题考查含参数不等式的求解问题，要通过二次项系数、开口方向、实根个数和大小确定参数不同取值下的解集.
19．已知等差数列，等比数列，满足，且
（1）求数列及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为
【答案】（1）；
（2）.
【解析】（1）将已知条件化为基本量的形式，分别求得公差和公比，从而根据等差、等比数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得，从而可根据错位相减法求得.
【详解】
（1）由题意知：
又
（2）由（1）得：
则：
上下两式作差得：
即：
整理可得：
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解，错位相减法求数列的前项和的问题，关键是通过得到通项公式后，根据通项公式为等差数列与等比数列乘积的形式，可确定采用错位相减法求和.
20．在锐角中，角所对的边是，若向量与共线.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】（1）根据向量共线得到边角关系式，利用正弦定理和两角和差公式可求得，进而得到；（2）根据正弦定理可得：，从而可化简为；根据锐角三角形求得的范围，进而求得三角函数的范围，即可得的范围.
【详解】
（1）与共线
由正弦定理得：
又
（2）由正弦定理得：
则，
又为锐角三角形 ，
【点睛】
本题考查利用正弦定理化简边角关系式、边长范围的求解问题，涉及到向量共线的知识和三角函数值域的求解，关键是能够将边长的范围通过正弦定理变为角度问题，通过三角函数的知识进行化简求值.
21．在中，角所对的边是，若
（1）求的值；
（2）若点为的中点，且，求的面积
【答案】（1）；
（2）2.
【解析】（1）根据同角三角函数和三角形内角和关系可求得，根据正弦定理可得，从而求得结果；（2）将延长到，使得，从而可构成平行四边形；在中利用余弦定理构造关于的方程，利用（1）中关系可求解出；代入三角形面积公式求得结果.
【详解】
（1）由题意得：
由正弦定理得：
（2）延长到，使得，如下图所示：
由向量运算可知：
即四边形为平行四边形，又
在中，由余弦定理可得：
由（1）知：，解得：，
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，关键是能够通过向量关系将三角形扩展到平行四边形，从而在扩展后所得三角形中利用余弦定理构造方程，从而求解出所需的边长.
22．已知数列前项和为，满足
(1)证明：数列是等差数列，并求；
（2）设，求证：
【答案】（1）由知，当时，，即，所以，对成立．又，所以是首项为1，公差为1的等差数列．所以，即．
（2）因为，所以．
【解析】（1）由可得，当时，，两式相减可是等差数列，结合等差数列的通项公式可求进而可求（2）由（1）可得，利用裂项相消法可求和，即可证明．试题分析：（1）（2）
试题解析：（1）由知，当
即
所以
而
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，且
（2）因为
所以
【考点】数列递推式；等差关系的确定；数列的求和