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- 2021-04-12 发布
阜阳一中高二年级第一学期期中考试数学试题(理科)
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.)
1.命题“若，则且”的逆否命题是（ ）
A. 若，则且 B. 若，则或
C. 若且，则 D. 若或，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用原命题与逆否命题的结构特征可写出所求的逆命题.
【详解】因为原命题为：若，则且，
故其逆否命题为：若或，则，
故选：D.
【点睛】本题考查原命题与逆否命题的关系，一般地，原命题为“若则”，则其逆否命题为“若则”，且逆否命题与原命题同真假.
2.抛物线，是焦点，则表示（ ）
A. 到准线的距离 B. 到准线距离的
C. 到准线距离的 D. 到轴的距离
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质可得的几何意义.
【详解】由抛物线方程为可得，焦点到准线的距离为，
故表示焦点到准线距离的，
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线方程中参数的几何意义，此问题属于基础题.
3.已知命题：，命题：函数的定义域是，则以下为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
判断出的真假后可得复合命题的真假.
【详解】为有理数，故，故命题为真命题.
当时，，故的定义域中无实数，故为假命题.
故为假命题，为真命题，为假命题，为假，
故选：B.
【点睛】复合命题的真假判断为“一真必真，全假才假”，的真假判断为“全真才真，一假皆假”，的真假判断是“真假相反”．
4.“”的一个充分条件是（ ）
A. 或 B. 且 C. 且 D. 或
【答案】C
【解析】
对于或，不能保证成立，故不对；对于或，不能保证成立，故不对；对于且，由同向不等式相加的性质知，可以推出，故正确；对于或，不能保证成立，故不对，故选C.
5.方程所表示的曲线的长度是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,求得函数的值域,分析出曲线为两个半圆,根据半径即可求得曲线的长度.
【详解】因为方程
所以,所以或
将原式变形可得
所以曲线为两个半圆,半径为
所以曲线的长度为
故选:B
【点睛】本题考查了曲线与方程的关系,根据方程判断曲线的形状,注意函数值域,属于基础题.
6.如图，已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】
以为基底向量表示后可求的值.
【详解】，
所以
，
故选：A.
【点睛】本题考查空间向量的数量积，注意根据题设条件确定一组基底，再把数量积的问题归结为基底向量的数量积问题，此类问题属于容易题.
7.已知顶点在轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为，该双曲线的焦点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由双曲线实轴长为4可知 由渐近线方程，可得到 然后利用 即可得到焦点坐标．
【详解】由双曲线实轴长为4可知 由渐近线方程，可得到即 所以 又双曲线顶点在 轴上，所以焦点坐标为．
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题．
8.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），点A（x0，x02）到直线2x-y-4=0的距离由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标．
【详解】设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02
），
点A（x0，x02）到直线2x-y-4=0的距离
∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短．
故选D．
【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
9.已知双曲线(，)的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点在双曲线右支上，且，若直线的倾斜角为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量关系式可以得到，从而可得是以为直角顶点的直角三角形，利用可得的关系，故可求双曲线的离心率.
【详解】
取的中点为，连接，则即，
所以，故，所以是以为直角顶点的直角三角形.
在中， .
设，则，故
故，所以离心率，
故选：A.
【点睛】圆锥曲线中离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．
10.已知是椭圆与轴的交点，点是椭圆上异于的任一点，直线分别于轴交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设，可用的坐标表示直线方程，求出的坐标后可求的值.
【详解】由椭圆方程可得，设，故.
又，令，故，同理
又，
所以，
故选：C.
【点睛】本题考查椭圆中的定值问题，此类问题一般有两种解法：
（1）设出椭圆上的动点坐标，利用动点坐标表示目标代数式，再利用点在椭圆上满足的方程化简前者可得定值.
（2）联立直线方程和椭圆方程，消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或
，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
11.如图，在四棱锥中，侧面是边长为4的正三角形，底面为正方形，侧面底面，为平面上的动点，且满足，则点到直线的最远距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求出点的轨迹，然后求出点到直线的最远距离
【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系
则,
设，
,
,
，整理得
为底面内以为圆心，以为半径的圆上的一个动点
则点到直线的最远距离为
故选B
【点睛】本题考查了运动点的轨迹问题，需要建立空间直角坐标系，结合题意先求出运动点的轨迹，然后再求出点到线的距离问题
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.
【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，
设点，，则，
因为为的重心，所以，
因为轴，所以点横坐标也为，，
因为为的角平分线，
则有，
又因为，所以可得，
又由角平分线的性质可得，，而
所以得，
所以，，
所以，即，
因为
即，解得，所以答案为A.
【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：
（1）根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解.
（2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.命题“，”的否定是___________.
【答案】，
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定的结构形式可求给定的命题的否定.
【详解】命题的否定为：，.
故答案为：，.
【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.
14.如图，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面、已知塔的总高度为137.5m，塔顶直径为90m，塔的最小直径(喉部直径)为60m，喉部标高112.5m，则双曲线的标准方程为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据喉部直径可得实半轴的长，根据喉部标高、塔的总高度、塔顶直径可得双曲线过点，两者结合可求双曲线的标准方程.
【详解】设双曲线的标准方程为，如图所示：
为喉部直径，故，故双曲线方程为.
而的横坐标为塔顶直径的一半即，
其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即，故，
故，所以，故双曲线方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线在实际问题中的应用，一般地，求双曲线的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等，此类问题属于基础题.
15.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，点M是抛物线上的动点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设到准线的距离等于，由抛物线的定义可得，令，利用基本不等式可求得最大值．
【详解】焦点，设，则，，设到准线的距离等于
，
则．
令，，则，
当且仅当时，等号成立．
则的最大值为，故答案为.
【点睛】本题考查抛物线的定义、简单性质基本不等式的应用是解题的关键和难点，属于中档题．与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
16.已知椭圆的右焦点为,且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则__________．
【答案】
【解析】
由题意可得，所以，设
，两式作差得，则，，同理可得，所以
，填．
【点睛】
点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线．不妨以椭圆方程为例，设直线与椭圆交于两点，则该两点满足椭圆方程，有：
考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：
①
②
由等式可知：其中直线的斜率，中点的坐标为，这些要素均在②式中有所体现．所以通过“点差法”可得到关于直线的斜率与中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时．同时由①可得在涉及坐标的平方差问题中也可使用点差法．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.已知在中，角的对边分别为，．
（1）求角的值；
（2）若，求．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得到角C；（2）由余弦定理可得
，再由正弦定理得sinA，由同角三角函数关系式即可得到tanA.
【详解】（1），由正弦定理可得,
，是三角形内角，．
（2）根据余弦定理
根据正弦定理，
所以
所以．
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查两角和差公式和同角三角函数关系式的应用，考查计算能力，属于基础题.
18.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：当时，
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
【分析】
(1)由题意将递推关系式整理为关于与的关系式，求得前n项和然后确定通项公式即可；
(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式.
【详解】（1）由，得，即，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即，
当时，，
当时，，也满足上式，所以；
（2）当时，，
所以
【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
19.如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后可证明.
（2）可把三棱锥的体积转化为的体积来计算即可.
【详解】(1) 底面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵，点为棱的中点，
∴，
∴，，
∵，可得.
(2)因为为的中点，故，
因为底面，故，
所以
【点睛】本题考查空间向量在线线垂直关系中的应用以及三棱锥体积的求法，解题时注意根据题设条件选择合适的建系的方式，如果三棱锥的体积不易计算，可通过同高不同底或同底不同高把体积的计算转化为其他三棱锥的体积.
20.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点A（4，t）到其焦点F的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线1的距离为2，求直线1的方程．
【答案】（I）；（II）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知列式求出p的值，则抛物线的方程可求；
（Ⅱ）由题意可知，当直线l的斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为2，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x
﹣1），要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为2，且过点P的直线l平行y＝k（x﹣1）且与抛物线C相切．设切线方程为y＝kx+m，与抛物线方程联立，利用判别式为0可得m与k的关系，再由F到直线y＝k（x﹣1）的距离为2求得k值，则直线l的方程可求．
【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可知|AF|＝d＝45，
解得：p＝2，
故抛物线的方程是：y2＝4x；
（Ⅱ）由题意可知，当直线l斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为2，不合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），
要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为2，
且过点P的直线l平行y＝k（x﹣1）且与抛物线C相切．
设切线方程为y＝kx+m，
代入y2＝4x，可得k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0．
由△＝（2km﹣4）2﹣4k2m2＝0，得km＝1．
由，整理得：3k2﹣2km﹣m2+4＝0．
即，解得，即k．
因此，直线方程为y．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．
21.如图，在多面体中，四边形是菱形，⊥平面且.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)若设与平面所成夹角为，且，求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
分析：（1）根据已知可得和，由线面垂直判定定理可证平面，再由面面垂直判定定理证得平面⊥平面.
（2）解法一：向量法，设，以为原点，作，以的方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系，求得的坐标，运用向量的坐标表示和向量的垂直条件，求得平面和平面的的法向量，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求的值.
解法二：三垂线法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，过点F做FM⊥EC于M，连OM，由已知可以证明FO⊥面AEC，∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角，通过菱形的性质、勾股定理和等面积法求得cos∠FMO，得到答案.
解法三：射影面积法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，根据已知条件计算，，二面角的余弦值cosθ=，即可求得答案.
详解：（1）证明：连结
四边形是菱形，，
⊥平面，平面，
，
，平面，
平面，
平面，平面⊥平面.
（2）解：解法一：设 ，
四边形是菱形，，
、为等边三角形， ，
是的中点， ，
⊥平面，，
在中有，，，
以为原点，作，以方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系如图所示，则
所以，，
设平面的法向量为，
由 得 设，解得.
设平面的法向量为，
由 得 设，解得.
设二面角的为，则
结合图可知，二面角的余弦值为.
解法二：
∵EB⊥面ABCD，
∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角
在Rt△EAB中，cos∠EAB= 又AB=2,∴AE=
∴EB=DF=1
连接AC交BD于O，连接EO、FO
菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2
矩形BEFD中，FO=EO= ,EF=2,EO²+FO²=EF²,∴FO⊥EO
又AC⊥面BEFD, FO⊆面BEFD,∴FO⊥AC,
AC∩EO=O，AC、EO⊆面AEC,∴FO⊥面AEC
又EC⊆面AEC,∴FO⊥EC
过点F做FM⊥EC于M，连OM，
又FO⊥EC, FM∩FO=F, FM、FO⊆面FMO,∴EC⊥面FMO
OM⊆面FMO,∴EC⊥MO
∴∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角
AC⊥面BEFD, EO⊆面BEFD，∴AC⊥EO
又O为AC的中点，∴EC=AE=
Rt△OEC中，OC=, EC=,∴OE=,∴OM =
Rt△OFM中，OF=, OM =,∴FM =
∴cos∠FMO=
即二面角A-EC-F的余弦值为
解法三：
连接AC交BD于O，连接EO、FO
菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2
矩形BEFD中，FO=EO= ,EF=2,EO²+FO²=EF²,∴FO⊥EO
又AC⊥面BEFD, FO⊆面BEFD,∴FO⊥AC,
AC∩EO=O，AC、EO⊆面AEC,∴FO⊥面AEC
又∵EB⊥面ABCD，
∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角
在Rt△EAB中，cos∠EAB= 又AB=2,∴AE=
∴EB=DF=1
在Rt△EBC、Rt△FDC中可得FC=EC=
在△EFC中，FC=EC=，EF=2,∴
在△AEC中, AE=EC=,O为AC中点，∴OE⊥OC
在Rt△OEC,OE=, OC=,∴
设△EFC、△OEC在EC边上的高分别为h、m,
二面角A-EC-F的平面角设为θ，
则cosθ=
即二面角A-EC-F的余弦值为.
点睛：本题考查平面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题.
二面角常见问题解法：
1、可见棱型问题，即二面角的公共棱可见的问题.
（1）定义法，即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的垂线，即得二面角的平面角；
（2）三垂线法，由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角；
（3）垂面法，由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
（4）面积法，由公式，作出二面角的平面角直接求出．运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得．
（5）向量法，通过计算两个平面法向量的夹角来求二面角，运用这一方法的关键是正确建立空间直角坐标系和二面角与法向量夹角关系的判断.
2、不可见棱型问题
（1）转化成可见棱问题，再采用“1”中方法求解
（2）面积法.
22.已知的圆心为，的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，交直线于点，是否存在实数，使得成立?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；(2) 存在，2.
【解析】
【分析】
（1）利用动圆与圆内切，与圆外切可得动圆圆心满足的几何性质，再根据椭圆的定义可得的轨迹方程.
（2）设的方程为，，，则，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简前者可得的值.
【详解】
(1)设动圆圆心，设动圆的半径为，由题意有
，，消得到：，
故轨迹的方程为：，它是椭圆.
(2)由己知得，由题知直线的斜率存在，设其方程为，，，则.
等价于即，
即证明成立，
也即①.
联立方程，消去得：
由韦达定理得，
代入①可得
所以存在实数满足题意.
【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.