【数学】黑龙江农垦建三江管理局第一高级中学2021届高三上学期12月月考试题（理） 10页

黑龙江农垦建三江管理局第一高级中学 2021 届 高三上学期 12 月月考试题（理） 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时 间 120 分钟。 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。 第Ⅰ卷（共 60 分） 1．设集合  2 2 0A x x x    ，  2log 2B x x  ，则集合 ( )RC A B  （ ） A． 1 2x x   B． 0 2x x  C． 0 4x x  D． 1 4x x   2．若复数 z 与其共轭复数 z 满足 2 1 3  z z i ，则| |z  （ ） A． 2 B． 3 C．2 D． 5 3．若 2,a ln 1 25b   ， 2 0 1 cos2c xdx    ，则 , ,a b c 的大小关系（ ） A． a b c  B．b a c  C． c b a  D．b c a  4．已知 tan 2  ，则 3sin cos sin cos2 2                  （ ） A． 4 5  B． 3 5- C． 3 5 D． 4 5 5．设 a 为实数，直线 2 1 2: 1, : 2l a x y l x ay a    ，则“ 0a  ”是“ 1 2l l ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如右图所示是某多面体的三视图，左上为主视图，右上为左视图，左 下为俯视图，且图中小方格单位长度为 1，则该多面体的体积为（ ） A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 7．若数列 na 为等差数列， nb 为等比数列，且满足： 20201 27a a  ， 1 2020 2bb   ，函 数  f x 满足    2f x f x  且   xf x e ，  0, 2x  ，则 1010 1011 1010 10111 a af b b      （ ） A． 1e B．e C． 2e D． 9e 8．已知直线l ，m ，平面 、 、 ，给出下列命题：① //l  ， //l  ， m   ，则 //l m ； ② //  ， //  ，m  ，则 m  ；③  ，  ，则  ；④l m ，l  ， m  ，  .其中正确的命题有( ) A．1 个B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 9．直线 :l y kx b  是曲线    ln 1f x x  和曲线    2lng x e x 的公切线，则 b  （ ） A． 2 B． 1 2 C． ln 2 e D．  ln 2e 10.已知数列 na 的通项公式是 6n na f      ，其中   sin( ) 0 | | 2f x x           ， 的部分图像如图所示， nS 为数列 na 的前 n 项和，则 2020S 的值为（ ） A． 1 B． 0 C． 1 2 D． 3 2  11．在 ABC 中， 3 9AB AC  ， 2 AC AB AC      ，点 P 是 ABC 所在平面内一点， 则当 2 2 2 PA PB PC      取得最小值时， PA BC     （ ） A．24 B． 6 2 C． 9 2 D． 24 12．已知函数  ( 2) 3,( ln 2)( ) 3 2 ,( ln 2) xx x e xf x x x         ，当 [ , )x m  时， ( )f x 的取值范围 为 ( , 2]e  ，则实数 m 的取值范围是（ ） A． 1 ,12 e     B．[ln 2,1] C． 1, 2 e    D． ( ,1] 二、填空题（每小题 5 分，16 题答对一个空得 3 分，答对 2 个空得 5 分，共计 20 分） 13．设向量 a  ，b  满足 2a ， 3b a b    ，则 2a b   _______ 14．在 ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，已知 ABC 的面积为 15 ， 2a c  ， tan 15B   ，则 b 的值为__________. 15．如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2, 4AB AA BC   ， E 为 AD 中点，则三 棱锥 1A CDE 外接球的表面积为_______. 16．定义在 R 上的偶函数  f x 满足    f e x f e x   ，且  0 0f  ，当  0,x e 时，   lnf x x .已知方程   1 sin2 2 xx ef      在区间 ,3e e 上所有的实数根之和为3ea . 将函数   23sin 14x xg      的图象向右平移 a 个单位长度，得到函数  h x 的图象， 则 a __________，  8h  __________. 解答题（17 题 10 分，其它每题 12 分，共计 70 分） 17．已知函数 ( ) 1 ( 0)f x x x k k     . （Ⅰ）当 2k  时，求不等式 ( ) 5f x  的解集； （Ⅱ）若函数 ( )f x 的最小值为 3，且 *, , a b c R ， a b c k   ，证明： 2 2 2 4 3a b c   . 18．已知向量 (2cos ,1), 2sin , 16m x n x             ，函数 ( )f x m n   ． （1）求函数 ( )f x 的对称轴方程和单调增区间； ，的对边，分别是内角中，在锐角 32,2)2(,,,,)2(  aAfCBAcbaABC 周长的取值范围求 ABC 19．数列 na 的前 n 项和为 nS ，且  2 * nS n n N ，数列 nb 满足 1 2b  ，  * 13 2 2,   n nb b n n N . （1）求数列 na 的通项公式； （2）求证：数列 1nb  是等比数列； （3）设数列 nc 满足 1 n n n ac b   ，其前 n 项和为 nT ，证明： 1nT  . 20．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎在中 国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支 持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加.中国人民大学和法国调查公司益普索合作， 调查了腾讯服务的 6000 名用户，从中随机抽取了 60 名，规定：随身携带的现金在 100 元以 下（不含 100 元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”，统计如图如示. （1）根据上述样本数据，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关? （2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取 3 位女性用户，这 3 位用户中“手机 支付族”的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望. （3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满 1000 元可直减 100 元；方案二：手机支付消费每满 1000 元可抽奖 2 次，每次中奖的概率同为 1 2 ， 且每次抽奖互不影响，中奖一次打 9 折，中奖两次打 8.5 折.如果你打算用手机支付购买某样 价值 1200 元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算? 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      21.在四棱锥 P ABCD 中，  PB  平面 PAC ，四边形 ABCD 为平行四边形， 且 2 4AD AB  ， 135BAD   . 男性 女性 合计 手机支付族 10 12 22 非手机支付族 30 8 38 合计 40 20 60 2 0( )P K k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 （1）证明：  AC  平面 PAB （2）当直线 PC 与平面 PAB 所成角的正切值为 2 时，求锐二面角 A PC D  的余弦值. 22．已知函数 ( ) ( )xf x e ax a R   （1）当 a=-2 时，求函数 f(x)的极值； （2）若 ln[e(x+1)]≥2- f(-x)对任意的 x∈[0，+∞)成立，求实数 a 的取值范围. 【参考答案】 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A D B A D B C C D A A 填空题 13. 34 14. 2 6 15. 44 16.2 4 三、解答题 17.【解】（Ⅰ）当 2k  时，   2 1, 2 1 2 { 3, 2 1   2 1, 1 x x f x x x x x x               ， 故不等式   5f x  可化为： 2{  2 1 5 x x      或 2 1{  3 5 x    或 1{  2 1 5 x x    ， 解得： 3x   或 2x  . 所求解集为：{ | 3 2}x x x  或 . （Ⅱ）因为      1 1f x x x k x x k        1k  . 又函数  f x 的最小值为 3， 0k  ， 所以 1 3k   ，解得 2k  ，即 2a b c   ， 由柯西不等式得    22 2 2 2 2 21 1 1 4a b c a b c        ， 所以 2 2 2 4 3a b c   . 18【解】（1） ,2 6    kx k Z ；（2） 6 3 . 19.【解】（1）当 1n  时， 1 1 1a S  . 当 2n  时， 2 2 1 ( 1) 2 1n n na S S n n n       . 检验，当 1n  时 1 1 2 1 1a     符合.所以  *2 1na n n N   . （2）当 2n  时，  11 1 1 1 3 11 3 2 1 31 1 1 nn n n n n bb b b b b            ， 而 1 1 3b   ，所以数列 1nb  是等比数列，且首项为 3，公比为 3. （3）由（1）（2）得 11 3 3 3   n n nb ， 2 1 1(2 1)1 3 3 n n n n n a nc nb           ， 所以 1 2 3 1n n nT c c c c c      2 3 11 1 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)3 3 3 3 3 n n n n                                         ① 2 3 4 11 1 1 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)3 3 3 3 3 3 n n nT n n                                         ② 由①-②得 1 2 3 42 1 1 1 1 1 1(2 1) 23 3 3 3 3 3 3 n n nT n                                           2 1 1 1 113 31 1(2 1) 2 13 3 1 3 n n n                              11 1 1 1(2 1)3 3 3 3 n n n                2 2 2 1 3 3 3 nn         ，所以 11 ( 1) 3 n nT n        . 因为 1( 1) 03 n n      ，所以 1nT  . 20.【解】（1）有 99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关； （2） 9 5 ； （3）选择第二种优惠方案更划算. 21.【解】（1）∵四边形 ABCD 为平行四边形， 2 4, 135AD AB BAD     ∴ 4, 2 2AD BC AB CD    ， 45ABC   ， ∴在 △ ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cos 4AC AB BC AB BC ABC       ， ∴ 2 2AC  ，∴ 2 2 2AB AC BC  ，即 AB AC ， 又∵ PB  平面 PAC ，∴ PB AC ， 又∵ , ,AB PB B AB PB PAB   平面 ，∴ AC  平面 PAB （2）由（1）知， APC 是直线 PC 与平面 PAB 所成角， 2 2tan 2ACAPC AP AP     ，∴ 2AP  ， 又∵ PB  平面 PAC ，∴ 2PB PA PB PA  ， ∴△ PAB 是等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系： 则有：          0,0,0 , 2 2,0,0 , 0,2 2,0 , 2 2,2 2,0 , 2,0, 2A B C D P ， 由已知  2 0 2PB   ，， 是平面 PAC 的一个法向量， 设平面 PCD的一个法向量为  , ,n x y z ，  2 2,0,0CD   ，  2, 2 2, 2CP   ， 0 0 n CP n CD         ， 2 2 2 0 y z x    ，  0,1,2n  2 2 10cos , 52 5 PB n PB n PB n             ，∴锐二面角 A PC D  的余弦值 10 5 22.【解】（1）当 2a   时，   2xf x e x  ，则  ' 2xf x e   ， 令 ( )' 0f x = ，解得 1ln 2x  ， 当 1ln 2x  时，  ' 0f x  ，  f x 递减，当 1ln 2x  时，  ' 0f x  ，  f x 递增， 所以  f x 在 1ln 2x  处取得极小值 1ln 2 2ln 22f       ，无极大值. （2）由于   xf x e ax  ，所以   xf x e ax   ， 又因为    ln 1 2e x f x      对任意的  0,x   成立， 化简得  ln 1 1 0xe ax x     对任意  0,x   成立. 构造函数    ln 1 1xg x e ax x      0x  ，  ' 1 1 xg x e a x     ， 令  ' 0g x  ，即 1 01 xe a x    ， 构造函数    1 01 xh x e xx    ，     ' 2 1 1 xh x e x    ， 当 0x  时，  ' 0h x  ，所以  h x 在 0, 上递增，当 0x  时，    min 0 2h x h  . 当 2a  即 2a   时，  ' 0g x  ，此时  g x 在 0, 上递增，      00 0 ln 0 1 1 0g x g e a        符合题意. 当 2a  即 2a   时，存在唯一实数 0x ，使  ' 0 0g x  ，且当  00,x x 时，  ' 0g x  ， 当  0 ,x x  时，  ' 0g x  ，而  0 0g  ，故当  00,x x 时，   0g x  不符合题意. 综上所述，实数 a 的取值范围是 2 + ，