【数学】2018届一轮复习人教A版　直线、平面垂直的判定与性质学案 18页

第 5 讲　直线、平面垂直的判定与性质 [学生用书 P140]) 1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此 平面垂直 Error!⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 Error!⇒a∥b 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个 平面互相垂直 Error!⇒α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另 一个平面 Error!⇒l⊥α 3.空间角 (1)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所 成的角，如图，∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． ②线面角 θ 的范围：θ∈[0， π 2 ]． (2)二面角 ①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角 的棱．两个半平面叫做二面角的面． 如图的二面角，可记作：二面角 α­l­β 或二面角 P­AB­Q． ②二面角的平面角 如图，过二面角 α­l­β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别作 BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB 就叫做二面角 α­l­β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈[0，π]． ④当 θ＝ π 2 时，二面角叫做直二面角． 1．辨明三个易误点 (1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交． (2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直 于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． (3)注意对平面与平面垂直性质的理解． 2．学会三种垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线， 则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂 线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 1．(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面 α，β交于直线 l，若直线 m，n 满足 m∥α， n⊥β，则(　　) A．m∥l　　　　　　　　 B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 　C　[解析] 因为 α∩β＝l，所以 l⊂β，又 n⊥β，所以 n⊥l. 2.教材习题改编 线段 AB 的长等于它在平面 α 内的射影长的 2 倍，则 AB 所在直线与平 面 α 所成的角为(　　) A．30°　　 B．45° C．60° D．120° 　C　[解析] 如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则 BC 是 AB 在平面 α 内 的射影，则 BC＝ 1 2AB，所以∠ABC＝60°，它是 AB 与平面 α 所成的 角． 3．(2017·邢台摸底考试)已知 m 和 n 是两条不同的直线，α和 β 是两个不重合的平面， 那么下面给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是(　　) A．α⊥β且 m⊥α　　 B．α⊥β且 m∥α C．m∥n 且 n⊥β D．m⊥n 且 n∥β 　C　[解析] 依题意，对于 A，注意到直线 m 可能位于平面β内，因此选项 A 不正确； 对于 B，注意到直线 m 可能位于平面 β 内且与它们的交线平行，因此选项 B 不正确；对于 C，由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”得知， C 正确；对于 D，注意到直线 m 可能位于平面 β 内，因此选项 D 不正确．综上所述，选 C. 4．设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内，直线 b 在平面 β 内，且 b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或 “充要”或“既不充分也不必要”) [解析] 若 α⊥β，因为 α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可 得 b⊥α，又 a⊂α，所以 a⊥b；反过来，当 a∥m 时，因为 b⊥m，且 a，m 共面，一定有 b⊥a，但不能保证 b⊥α，所以不能推出 α⊥β. [答案] 充分不必要 5.教材习题改编 P 为△ABC 所在平面外一点，且 PA、PB、PC 两两垂直，则下列命题： ①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC，其中正确的个数是________． [解析] 如图所示． 因为 PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P， 所以 PA⊥平面 PBC. 又因为 BC⊂平面 PBC， 所以 PA⊥BC. 同理，PB⊥AC，PC⊥AB．但 AB 不垂直于 BC. [答案] 3 　线面垂直的判定与性质(高频考点)[学生用书 P141] 直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，属中档题． 高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下两个命题角度： (1)证明线面垂直； (2)证明线线垂直． [典例引领] 　(2016·高考浙江卷)如图，在三棱台 ABCDEF 中，平 面 BCFE⊥平面 ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC ＝3. (1)求证：BF⊥平面 ACFD； (2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值． 【解】　 (1)证明：延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，如图所示． 因为平面 BCFE⊥平面 ABC，且 AC⊥BC，所以 AC⊥平面 BCK，因此 BF⊥AC. 又因为 EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的 中点，则 BF⊥CK. 所以 BF⊥平面 ACFD． (2)因为 BF⊥平面 ACK，所以∠BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角． 在 Rt△BFD 中，BF＝ 3，DF＝ 3 2，得 cos∠BDF＝ 21 7 ， 所以直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值为 21 7 . 　 [题点通关] 角度一　证明线面垂直 1.(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD． (1)证明：平面 AEC⊥平面 BED； (2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥 E­ACD 的体积为 6 3 ，求该 三棱锥的侧面积． [解] (1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD． 因为 BE⊥平面 ABCD，所以 AC⊥BE. 故 AC⊥平面 BED． 又 AC⊂平面 AEC， 所以平面 AEC⊥平面 BED． (2)设 AB＝x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3 2 x，GB＝GD＝ x 2. 因为 AE⊥EC，所以在 Rt△AEC 中，可得 EG＝ 3 2 x. 由 BE⊥平面 ABCD，知△EBG 为直角三角形，可得 BE＝ 2 2 x. 由已知得，三棱锥 E­ACD 的体积 V三棱锥 E­ACD＝ 1 3× 1 2·AC·GD·BE＝ 6 24x3＝ 6 3 ，故 x＝ 2. 从而可得 AE＝EC＝ED＝ 6. 所以△EAC 的面积为 3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥 E­ACD 的侧面积为 3＋2 5. 角度二　证明线线垂直 2.如图，在四棱锥 P­ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥ CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE. [证明] (1)在四棱锥 P­ABCD 中， 因为 PA⊥底面 ABCD， CD⊂平面 ABCD，所以 PA⊥CD， 因为 AC⊥CD，且 PA∩AC＝A， 所以 CD⊥平面 PAC，而 AE⊂平面 PAC， 所以 CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. 因为 E 是 PC 的中点，所以 AE⊥PC. 由(1)知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C， 所以 AE⊥平面 PCD． 而 PD⊂平面 PCD，所以 AE⊥PD． 因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥AB． 又因为 AB⊥AD 且 PA∩AD＝A， 所以 AB⊥平面 PAD，而 PD⊂平面 PAD，所以 AB⊥PD． 又因为 AB∩AE＝A，所以 PD⊥平面 ABE. 　面面垂直的判定与性质[学生用书 P142] [典例引领] 　 (2016·高考四川卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB ＝90°，BC＝CD＝ 1 2AD． (1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM∥平面 PAB，并说明理由； (2)证明：平面 PAB⊥平面 PBD． 【解】　(1)取棱 AD 的中点 M(M∈平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点．理由如下： 因为 AD∥BC，BC＝ 1 2AD， 所以 BC∥AM，且 BC＝AM， 所以四边形 AMCB 是平行四边形， 从而 CM∥AB． 又 AB⊂平面 PAB，CM⊄平面 PAB， 所以 CM∥平面 PAB． (说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD， 因为 AD∥BC，BC＝ 1 2AD，所以直线 AB 与 CD 相交． 所以 PA⊥平面 ABCD， 从而 PA⊥BD． 连接 BM， 因为 AD∥BC，BC＝ 1 2AD， 所以 BC∥MD，且 BC＝MD． 所以四边形 BCDM 是平行四边形． 所以 BM＝CD＝ 1 2AD，所以 BD⊥AB． 又 AB∩AP＝A，所以 BD⊥平面 PAB． 又 BD⊂平面 PBD， 所以平面 PAB⊥平面 PBD． (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化． 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．　 [通关练习] 1．如图，将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 翻折，连接 AC，FD，形成如 图所示的多面体，且 AC＝ 6.证明：平面 ABEF⊥平面 BCDE. [证明] 在正六边形 ABCDEF 中，连接 AC，BE，交点为 G，易知 AC⊥BE，且 AG＝CG ＝ 3， 在多面体中，由 AC＝ 6，知 AG2＋CG2＝AC2，故 AG⊥GC， 又 GC∩BE＝G，GC，BE⊂平面 BCDE， 故 AG⊥平面 BCDE， 又 AG⊂平面 ABEF，所以平面 ABEF⊥平面 BCDE. 2.(2017·云南省第一次统一检测)如图，四棱锥 P­ABCD，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角 形，且与底面垂直，底面 ABCD 是∠ABC＝60°的菱形，M 为 PC 的中点． (1)求证：PC⊥AD； (2)求点 D 到平面 PAM 的距离． [解] (1)证明：法一：取 AD 中点 O，连接 OP，OC，AC， 依题意可知△PAD，△ACD 均为正三角形， 所以 OC⊥AD，OP⊥AD， 又 OC∩OP＝O，OC⊂平面 POC，OP⊂平面 POC， 所以 AD⊥平面 POC，又 PC⊂平面 POC，所以 PC⊥AD． 法二：连接 AC，AM，DM，依题意可知△PAD，△ACD 均为正三角形， 又 M 为 PC 的中点，所以 AM⊥PC，DM⊥PC， 又 AM∩DM＝M，AM⊂平面 AMD，DM⊂平面 AMD， 所以 PC⊥平面 AMD， 又 AD⊂平面 AMD，所以 PC⊥AD． (2)由题意可知，点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离， 由(1)可知 PO⊥AD，又平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，PO⊂平面 PAD， 所以 PO⊥平面 ABCD，即 PO 为三棱锥 P­ADC 的高． 在 Rt△POC 中，PO＝OC＝ 3，PC＝ 6， 在△PAC 中，PA＝AC＝2，PC＝ 6，边 PC 上的高 AM＝ PA2－PM2＝ 10 2 ， 所以 S△PAC＝ 1 2PC·AM＝ 1 2× 6× 10 2 ＝ 15 2 ， 设点 D 到平面 PAC 的距离为 h，由 VD­PAC＝VP­ACD 得 1 3S△PAC·h＝1 3S△ACD·PO， 又 S△ACD＝ 3 4 ×22＝ 3， 所以 1 3× 15 2 ·h＝ 1 3× 3× 3，解得 h＝ 2 15 5 ， 所以点 D 到平面 PAM 的距离为 2 15 5 . 　空间位置关系的综合应用[学生用书 P142] [典例引领] 　(2016·高考北京卷)如图，在四棱锥 P­ABCD 中，PC⊥ 平面 ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求证：DC⊥平面 PAC； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PAC； (3)设点 E 为 AB 的中点．在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA∥平面 CEF？说明理由． 【解】　(1)证明：因为 PC⊥平面 ABCD， 所以 PC⊥DC. 又因为 DC⊥AC，且 PC∩AC＝C， 所以 DC⊥平面 PAC. (2)证明：因为 AB∥DC，DC⊥AC， 所以 AB⊥AC. 因为 PC⊥平面 ABCD， 所以 PC⊥AB．又因为 PC∩AC＝C， 所以 AB⊥平面 PAC.又 AB⊂平面 PAB， 所以平面 PAB⊥平面 PAC. (3)棱 PB 上存在点 F，使得 PA∥平面 CEF. 理由如下： 如图，取 PB 中点 F，连接 EF，CE，CF. 又因为 E 为 AB 的中点，所以 EF∥PA. 又因为 PA⊄平面 CEF，且 EF⊂平面 CEF， 所以 PA∥平面 CEF. 线线平行(垂直)、线面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空间中三种基本平行(垂直)关系， 它们之间可以相互转化，其转化关系如下： 　 　(2016·高考山东卷)在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EF∥ DB． (1)已知 AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB； (2)已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点．求证：GH∥平面 ABC. [证明] (1)因为 EF∥DB， 所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF.连接 DE. 因为 AE＝EC，D 为 AC 的中点， 所以 DE⊥AC. 同理可得 BD⊥AC. 又 BD∩DE＝D， 所以 AC⊥平面 BDEF， 因为 FB⊂平面 BDEF， 所以 AC⊥FB． (2)设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI. 在△CEF 中，因为 G 是 CE 的中点， 所以 GI∥EF. 又 EF∥DB，所以 GI∥DB． 在△CFB 中，因为 H 是 FB 的中点， 所以 HI∥BC， 又 HI∩GI＝I， 所以平面 GHI∥平面 ABC. 因为 GH⊂平面 GHI， 所以 GH∥平面 ABC. 　[学生用书 P143]) ——立体几何中的翻折问题 　(本题满分 12 分)如图(1)，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝ π 2 ，AB＝BC ＝ 1 2AD＝a，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点．将△ABE 沿 BE 折起到图(2)中△A1BE 的位置，得到四棱锥 A1­BCDE. (1)证明：CD⊥平面 A1OC； (2)当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时，四棱锥 A1­BCDE 的体积为 36 2，求 a 的值． [思维导图] (1) (2) (1)证明：在题图(1)中，因为 AB＝BC＝ 1 2AD＝a， E 是 AD 的中点，∠BAD＝ π 2 ，所以 BE⊥AC.(2 分) 即在题图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，(3 分) 从而 BE⊥平面 A1OC.(4 分) 又 CD∥BE，所以 CD⊥平面 A1OC.(6 分) (2)由已知，平面 A1BE⊥平面 BCDE， 且平面 A1BE∩平面 BCDE＝BE， 又由(1)可得 A1O⊥BE，所以 A1O⊥平面 BCDE. 即 A1O 是四棱锥 A1­BCDE 的高．(9 分) 由题图(1)知，A1O＝AO＝ 2 2 AB＝ 2 2 a，平行四边形 BCDE 的面积 S＝BC·AB＝a 2，(10 分) 从而四棱锥 A1­BCDE 的体积为 V＝ 1 3S·A1O＝ 1 3×a2× 2 2 a＝ 2 6 a3. 由 2 6 a3＝36 2，得 a＝6.(12 分) 　解决由平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关 系的变化情况，根据翻折的过程，把翻折前后一些线线位置关系中没有变化和发生变化的量 准确找出来，这些不变和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．另外，在立体几何 中找平行线是解决问题的一个重要技巧，常通过三角形的中位线找平行线． [学生用书 P294(独立成册)] 1．“直线 a 与平面 M 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面 M 垂直”的(　　) A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 　B　[解析] 根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 内的无数条直线都垂直” 不能推出“直线 a 与平面 M 垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件． 2.如图，O 为正方体 ABCD­A 1B1C1D1 的底面 ABCD 的中心，则 下列直线中与 B1O 垂直的是(　　) A．A1D　　 B．AA1 C．A1D1 D．A1C1 　D　[解析] 由题易知 A 1C1 ⊥平面 BB1D1D．又 B1O⊂平面 BB1D1D，所以 A1C1⊥B1O. 3．(2017·九江模拟)如图，在三棱锥 D­ABC 中，若 AB＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的中 点，则下列命题中正确的是(　　) A．平面 ABC⊥平面 ABD B．平面 ABD⊥平面 BCD C．平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ACD⊥平面 BDE D．平面 ABC⊥平面 ACD，且平面 ACD⊥平面 BDE 　C　[解析] 因为 AB＝CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于 DE∩BE＝E，于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 BDE.又 AC⊂ 平面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 BDE.故选 C. 4．已知 l，m，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则 α⊥β 的一个充分条件是 (　　) A．l⊂α，m⊂β，且 l⊥m B．l⊂α，m⊂β，n⊂β，且 l⊥m，l⊥n C．m⊂α，n⊂β，m∥n，且 l⊥m D．l⊂α，l∥m，且 m⊥β 　D　[解析] 对于 A，l⊂α，m⊂β，且 l⊥m，如图(1)，α，β不垂直；对于 B，l⊂ α，m⊂β，n⊂β，且 l⊥m，l⊥n，如图(2)，α，β不垂直； 对于 C，m⊂α，n⊂β，m∥n，且 l⊥m，直线 l 没有确定，则 α，β的关系也不能确 定；对于 D，l⊂α，l∥m，且 m⊥β，则必有 l⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β. 5．(2017·河北名师俱乐部模拟)在四棱锥 P­ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，BA⊥ AD，AD∥BC，AB＝BC＝2，PA＝3，PA⊥底面 ABCD，E 是棱 PD 上异于 P，D 的动点， 设 PE ED＝m，则“0