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- 2021-04-12 发布
宾县一中高二第三次月考理科数学试卷
一、选择题
1．对于空间向量＝（1，2，3），＝（λ，4，6）.若，则实数λ＝( )
A． -2 B． -1 C． 1 D． 2
2．用秦九韶算法求多项式，当时，的值为
A． 27 B． 86 C． 262 D． 789
3．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一
样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框 图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S用算筹表示为 ( )
A． B．
C. D．
4．方程表示的曲线是 （ ）
A． 一条直线 B． 两个点 C． 一个圆和一条直线 D． 一个圆和一条射线
5．若一组数据的方差为1，则
的方差为A． 1 B． 2 C． 4 D． 8 （ ）
6．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )
A． 1 B． C． D．
7．如图所示，平面直角坐标系中，阴影部分是由抛物线及线段围成的封闭图形，现在在内随机的取一点，则点恰好落在阴影内的概率为( )
A． B． C． D．
8．设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）
A． B．
C． D．
10．如图，已知是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A． 4 B． C． 2 D． 3
12．过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．命题“存在实数,使”是假命题,则实数的取值范围为________.
14．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡久千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人.”意思是用分层抽样从这三个乡中抽出了500人服役，则南乡应该抽出__________人．
15．甲乙二人玩猜字游戏，先由甲在心中想好一个数字，记作，然后再由乙猜甲刚才所想到的数字，并把乙猜到的数字记为，二人约定：、，且当时乙为胜方，否则甲为胜方．则甲取胜的概率是______．
16．下列命题中，正确的命题序号是__________．（请填上所有正确的序号）
①已知，两直线，则“”是“”的充分条件；
②“”的否定是“”；
③“”是“”的必要条件；
④已知，则“”的充要条件是“”
三、解答题
17．已知＝(5,3,1)，＝且与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
18．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足x2－x－6≤
0.(1)若a＝1，p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》 第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
不礼让
礼让
合计
驾龄不超过1年
22
8
30
驾龄1年以上
8
12
20
合计
30
20
50
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（2）预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数
120
105
100
90
85
（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：
能否据此判断有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？
参考公式及数据：
.
（其中）
20．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
21.已知抛物线的焦点为，是上一点，且.
（1）求的方程；
（2）设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点，证明：直线过定点
22．已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆的短轴顶点，且.
（1）求椭圆的方程
（2）过作直线交椭圆于两点，求的面积的最大值
参考答案：
一、 选择题：1-5：DCCAC 6-10 : DBDCC 11-12：AC
二、 填空题：13. 14.120 15. 16.①②③
三、 解答题：
17．
由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－.
因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且〈a，b〉≠180°.
由a·b＜0，得3t－＜0，所以t＜.
若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，
即(5,3,1)＝λ，所以
解得t＝－.
所以t的取值范围是∪.
24．(1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的范围是1＜x＜3；
由q为真时，实数x的范围是－2≤x≤3，
若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(1,3)．
(2)¬p：x≤a或x≥3a，¬q：x＜－2或x＞3，
由¬q是¬p的充分不必要条件，有得0＜a≤1，
显然此时¬p¬q，即a的取值范围为(0,1]．
25．（1）由表中数据知，，
∴，
∴，
∴所求回归直线方程为。
（2）由（1）知，令，则人.
（3）由表中数据得，
根据统计有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．
26．（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件，则，∴选出的3名同学来自互不相同学院的概率为．
（2）随机变量的所有可能值为0，1，2，3．
随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．互斥事件；3．离散型随机变量的分布列与数学期望．
29．（1）解：根据题意知，，①
因为，所以.②.
联立①②解的，.
所以的方程为.
（2）证明：设，.由题意，可设直线的方程为，代入，得.
根与系数的关系.得，.③
由轴及点在直线上，得，
则由，，三点共线，得，
整理，得.
将③代入上式并整理，得.
由点的任意性，得，所以.
即直线恒过定点.
28．（1）∵的离心率为
∴ 又，且
∴
∴椭圆的标准方程是.
（2） 由（1）可知，设直线的方程为
联立
设
∴，
∴
∴
当且仅当即时，
的面积取得最大值.