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- 2021-04-12 发布
高三第五次模拟考试试题
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合,,则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为（ ）
A． B． C． D．2
3. 某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶
图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数和
为（ ）
A．117 B．118 C．118．5 D．119．5
4. 设∈R，则是直线与直线垂直的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 设，，，则的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
6. 函数的部分图象如右图所示，其中A、B两点之间的距离为5，则 ( )
A．2 B． C． D．-2
7. 执行如图所示的程序框图，若输入，，输出的，则空白判断框内应填的条件为（ ）
A． B． C． D．
8.已知点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
9. 在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线与圆+=a有交点的概率为，则a =( )
A. B. C. 1 D.2
10. 设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（ ）（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
11. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正
三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 ( )
A． B．
C． D．
12. 已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间[1，2]上，不等式恒成立．则实数m（ ）
A.有最大值 B.有最大值e C.有最小值e D.有最小值
二、填空题（每题5分，满分20分）
13. 抛物线y=4的焦点坐标为 ．
14. 若，则 。
15. 设，则二项式的常数项是 ．
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为M，圆M与x轴相切于点A，过F2作直线PM的垂线，垂足为B. 则
|OA|+2|OB|= ．
三、解答题
17. (本小题满分12分) 已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.
(1)求和的通项公式； (2)求数列{}的前n项和 .
18. (本小题满分12分) 时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来，某小车租车点的收费标准是，不超过2天按照300元计算；超过两天的部分每天收费标准为100元（不足1天的部分按1天计算）．有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次），设甲、乙不超过2天还车的概率分别为；2天以上且不超过3天还车的概率分别；两人租车时间都不会超过4天．
（1）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列．
19. (本小题满分12分)已知梯形如图（1）所示，其中，，四边形是边长为的正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得如图（2）所示的几何体．
（1）求证：平面平面；
（2）已知点在线段上，且平面，求与平面所成角的正弦值．
20. (本小题满分12分)已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.
(Ⅰ)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；
(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.
21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=x(ax) (aR)
（1）当时，求函数的最小值；
（2）设，若对任意的，都有，求整数的最大值．
请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。
22．(本小题满分10分) 选修4－4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数，实数a＞0)，曲线C2：(φ为参数，实数b＞0)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1交于O，A两点，与C2交于O，B两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝时，|OB|＝4.
(Ⅰ)求a，b的值及曲线C1 和C2极坐标方程； (Ⅱ)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝k－，x∈R且f(x＋3)≥0的解集为.
(1)求k的值；
(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1，求证：a＋b＋c≥1.
五模数学(理)参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
A
B
A
B
C
B
C
D
A
13.（0，） 14. 15. 240 16. 3
17、解析：(1) 由Sn=,得 当n=1时,;
当n2时,,n∈.
由an=4log2bn+3,得,n∈ ………………………6分
(2)由(1)知,n∈
所以,
,
,n∈. ………………………12分
18.（本小题满分12分）（1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用，
当乙租车2天内时，则甲租车3或4天，其概率为；
当乙租车3天时，则甲租车4天，其概率为；
则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为．．．．．．．．．．．．5分
（2）设甲，乙两个所付的费用之和为可为600，700，800，900，1000，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
．．．．． 10分
故的分布列为
600
700
800
900
1000
．．．12分
19.（1）证明：由平面平面，，
平面平面，平面，
得平面，又平面，
∴，·········2分
由为正方形得，·········3分
又，，平面，
∴平面，·········4分
又∵平面，∴平面平面．·········5分
（2）由平面得，，
又故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立图示空间直角坐标系，则，，，，····6分
设，则，
设平面的一个法向量为，
由，，
，得，取，得，·········9分
∵平面，，
∴，，
∴，，·········11分
设与平面所成的角为，则
，
∴与平面所成角的正弦值为．·········12分
20.解：（Ⅰ）由题意知是线段的垂直平分线，所以
所以点的轨迹是以点 ,为焦点，焦距为 2，长轴为的椭圆，
∴，
故点的轨迹方程是
（Ⅱ）设直线
直线与圆相切
联立
所以
或，
故所求范围为.
21.（1）当时，，定义域为．
，令，可得．·······2分
列表：
所以，函数的最小值为．·······5分
（2）由题意对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立．
即对任意的恒成立．
记，得，·······6分
设，，则在是单调增函数，
又，，且在上的图象是不间断的，
所以，存在唯一的实数，使得，·······8分
当时，，，在上递减；
当时，，，在上递增．
所以当时，有极小值，即为最小值，·······10分
又，故，所以，
由知，，又，，所以整数的最大值为3．·······12分
22.解(Ⅰ)由曲线C1：(φ为参数，实数a＞0)，
化为普通方程为(x－a)2＋y2＝a2，展开为：x2＋y2－2ax＝0，
其极坐标方程为ρ2＝2aρcos θ，即ρ＝2acos θ，由题意可得当θ＝0时，|OA|＝ρ＝2，∴a＝1.
曲线C1极坐标方程为ρ＝2cos θ······· 2分
曲线C2：(φ为参数，实数b＞0)，
化为普通方程为x2＋(y－b)2＝b2，展开可得极坐标方程为ρ＝2bsin θ，
由题意可得当θ＝时，|OB|＝ρ＝4，∴b＝2.
曲线C2极坐标方程为ρ＝4sin θ······· 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝4sin θ.
∴2|OA|2＋|OA|·|OB|＝8cos2θ＋8sin θcos θ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＋4
＝4sin＋4， ······· 8分
∵2θ＋∈，∴4sin＋4的最大值为4＋4，
当2θ＋＝，θ＝时取到最大值. ·······10分
23. 解(1)因为f(x)＝k－，所以f(x＋3)≥0等价于：
由≤k有解，得k≥0，且其解集为
又f(x＋3)≥0的解集为，故k＝1. ······ 5分
(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c是正实数，由均值不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋＋＋＋＝
3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝2b＝3c时取等号．
也即a＋b＋c≥1. ······10分
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