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- 2021-04-12 发布
福建省闽侯第六中学2018届高三上学期期中考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 对于直线和平面，下列条件中能得出的是（ ）
A． B．
C． D．
4.执行如图的程序框图，如果输入，则输出的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5.已知为等差数列，，则的前9项和（ ）
A．9 B．17 C．36 D．81
6.已知函数，则函数的图象为（ ）
A． B． C． D．
7.已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数,
则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A． B． C． D．
8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A．64 B． C．16 D．
9.是所在平面内一点，，则是点在内部（不含边界）的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
10. 命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11. 数列满足，且，记为数列的前项和，则（ ）
A．294 B．174 C．470 D．304
12.已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中为自然对数的底数，
则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有 种.（用数字作答）
14.设分别是双曲线的左、右焦点，点，若，
则双曲线的离心率为 .
15.已知函数，若曲线在点，（，其中
互不相等）处的切线互相平行，则的取值范围是 .
16. 若数列满足：，且，数列满足
，则数列的最大项为第 项．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知分别为三个内角的对边，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
18. 甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，
乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）.
（1）求甲获得比赛胜利的概率；
（2）设比赛结束时的局数为，求随机变量的分布列和数学期望.
19.如图，在直三棱柱中，，是的中点，是的中点，点在线段上，且.
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面成角的正弦值为，求的大小.
20.已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设点为椭圆上任意一点，直线和椭圆交于两点，且直线与轴分别交于两点，试探究和之间的等量关系并加以证明.
21.已知函数.
（1）当时，求函数的极值点；
（2）当时，若恒成立，试求的最大值；
（3）在（2）的条件下，当取最大值时，设，并设函数有两个零点，求证：.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.已知点在圆直径的延长线上，切圆于点，分别交于点，.
（1）求证：为的平分线；
（2）若，求的值.
23. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，从极点作圆的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线.
（1）求的极坐标方程；
（2）已知曲线的参数方程为（为参数，且)，与交于点，与交于点，且，求的值.
24. 已知均为正实数，且.
（1）证明：；
（2）求证：.
试卷答案
一、选择题
1-5: CBCBD 6-10: DCDBD 11、12：DB
二、填空题
13. 48 14. 2 15. 16. 6
三、解答题
17. 解：（1）
∴
即
又 ∴
即 ∴
（2）∵
∴
∵
∴，即
又由题意知，
∴.(当时等式成立.）
∴
18.解：（1）设比赛局数分别为3,4,5时，甲获胜分别为事件，
则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得:
,
所以由互斥事件的概率加法公式可得，
甲获胜的概率为
（2）由题意可知，的取值为3,4,5，
则,,
所以，的分布列为
∴的数学期望
19.证明：（1）取中点，记为点，连结
∵为中点，为中点
∴
又∵,
∴
又∵
∴平面平面
又平面
∴平面
（2）∵两互相垂直，
∴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则各点的坐标分别为:
，
∴
设平面的法向量为，则，∴，
取， 则可得平面的一组法向量
∴，
又因为，∴，∴或（舍）
即，∴，∴
20.解：∵，∴
∴
∴椭圆方程为
（2），
证明如下：
设，则，
直线方程为
令,则
∴
同理
∵和均为锐角，
∴
∴
∴与互余，
∴
21.解：（1）时，，∴在单调递增，在
单调递减，故函数有唯一的极大值点，无极小值点
（2）时，，设，
则.
当时，则，所以在单调递増，又且时，与题意矛盾， 舍.
当时，则，所以在单调递増，单调递减，
所以，
所以，
故的最大值为1.
（3）由（2）知，当取最大值1时，
，
记
方法一 ：，设，则，
若，则恒成立，所以函数在单调递增，与题意不符，舍.
若，则，∴在单调递増，在单调递减，所以若函数有两个零点，则只需，解得.
不妨设，则，
设，则，
化简可得，所以函数在单调递增，
∴时，，∴，又因为，且
函数在单调递减，∴，∴，即，
所以成立.
方法二：不妨设，由题意，
则，
欲证，只需证明：，只需证明：，即证：，
即证，设，只需证明：，
也就是证明：
记，∴，
∴在 单调递増，
∴，所以原不等式成立.
22.（1）证明：∵为圆的切线，∴，
又∵为直径，∴，∴.
又∵，
∴，
∴为的平分线
（2）解：，∴，又，
∴，
所以
23.解：（1）设上任意一点的极坐标为
则点在圆上，故，
所以的极坐标方程为
（2）两点的极坐标分别为，
又因为，
所以，
故，所以或
24.证明：（1）∵，
∴
又∵
由题中条件知，
∴
即
（2）∵
同理：
∴
∴
∴.