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- 2021-04-12 发布
2020年高中数学阶段测试
一、单选题
1.设函数在可导，则（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据极限的运算法则有结合导数的极限定义求解即可．
【详解】函数在可导，则
故选：C
【点睛】本题主要考查导数的定义和极限的概念和运算，转化为极限形式是解决本题的关键．属于基础题.
2.义乌国际马拉松赛，某校要从甲乙丙丁等人中挑选人参加比赛，其中甲乙丙丁人中至少有人参加且甲乙不同时参加，丙丁也不同时参加，则不同的报名方案有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分3种情况讨论：①，甲乙丙丁4人中，只从甲乙中选出1人，②，甲乙丙丁4人中，只从丙丁中选出1人，③，甲乙丙丁4人中，从甲乙、丙丁中各选1人，由加法原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分3种情况讨论：
①，甲乙丙丁4人中，只从甲乙中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有种报名方案，
②，甲乙丙丁4人中，只从丙丁中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有种报名方案，
③，甲乙丙丁4人中，从甲乙、丙丁中各选1人，需要在其他6人中选出1人，
有种报名方案；
故有种报名方案；
故选：．
【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中档题．
3.的展开式中项的系数是（ ）
A. 420 B. -420 C. 1680 D. -1680
【答案】A
【解析】
【分析】
表示的是8个相乘，要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取，其余4个因式都取1，然后算出即可.
【详解】表示的是8个相乘，
要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取
其余4个因式都取1
所以展开式中 项的系数是.
故选：A
【点睛】本题考查的是二项式定理，属于典型题.
4.小明的妈妈为小明煮了 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件，事件，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意，P（A）==，P（AB）==，
∴P（B|A）==，
故选B．
5.某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（ ）
A. 0.23 B. 0.2 C. 0.16 D. 0.1
【答案】A
【解析】
每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为,未命中敌机的概率为,且各次射击相互独立，若射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为；若射击次就击落敌机，则他次都击中利敌机的机首，概率为；或者第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为 ,若至多射击两次，则他能击落敌机的概率为 ,故选.
6.若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数
的图象上总存在一条切线，使得，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
转化条件得，，使得成立，利用基本不等式求得的取值范围后即可得解.
【详解】函数，，
函数，，
要使过曲线 上任意一点的切线为，在函数 的图象上总存在一条切线 ，使得，
则
即，，
，当且仅当时等号成立，
，
，使得等式成立，所以，
解得：或.
故选：A.
【点睛】本题考查了导数的几何意义和基本不等式的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
7.若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出函数的导数，问题转化为a＞- ，而g（x）=﹣在（，2）递增，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．
【详解】f′（x）=+2ax，
若f（x）在区间（，2）内存在单调递增区间，
则f′（x）＞0在x∈（，2）有解，
故a＞- ，
而g（x）=﹣在（，2）递增，
g（x）＞g（）=﹣2，
故a＞﹣2，
故选B．
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数有解以及函数的最值的求法，可以用变量分离的方法求参数的范围，也考查转化思想以及计算能力．
8.已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.
【详解】
因此当时，；当时，；当时，；
故选：A
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题.
二、多选题
9.甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B. 甲的不同的选法种数为15
C. 已知乙同学选了物理，乙同学选技术概率是
D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据对立事件的概念可判断A；直接根据组合的意义可判断B；乙同学选技术的概率是可判断 C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D.
【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；
由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即种选法，故B正确；
由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是，故C错误；
乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确；
故选BD.
【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.
10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 事件与事件相互独立
D. ，，是两两互斥的事件
【答案】BD
【解析】
【分析】
由题意，，是两两互斥的事件，由条件概率公式求出，对照四个选项判断即可.
【详解】由题意，，是两两互斥的事件，
，
，故B正确；
，故A，C不正确；
，，是两两互斥的事件，故D正确.
故选：BD．
【点睛】本题考查了互斥事件和条件概率，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
11.已知函数，则以下结论正确的是( )
A. 在上单调递增 B.
C. 方程有实数解 D. 存在实数，使得方程有个实数解
【答案】BCD
【解析】
【分析】
求导得到函数的单调性得到错误；判断得到正确；根据得到正确；构造函数，画出函数图象知正确，得到答案.
详解】，则，
故函数在上单调递减，在上单调递增，错误；
，根据单调性知，正确；
，，故方程有实数解，正确；
，易知当时成立，当时，，设，
则，故函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，且.
画出函数图象，如图所示：当时有3个交点.
综上所述：存在实数，使得方程有个实数解，正确；
故选：.
【点睛】本题考查了函数的单调性，比较函数值大小，方程解的个数，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
12.设函数，则下列说法正确的是
A. 定义域是（0，+）
B. x∈（0，1）时，图象位于x轴下方
C. 存在单调递增区间
D. 有且仅有两个极值点
E. 在区间（1，2）上有最大值
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用函数的解析式有意义求得函数的定义域，再利用导数求解函数的单调区间和极值、最值，逐项判定，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；
由，当时，，∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；
所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确；
由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；
由，则，所以，函数单调增，
且，，所以函数在先减后增，没有最大值，所以E不正确，
故选BC．
【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，其中解答中准确求解函数的导数，熟记函数的导数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
三、填空题
13.代数式（1﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为_____．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据二项式定理写出（1+x）5的展开式，即可得到x3的系数.
【详解】∵（1﹣x）（1+x）5＝（1﹣x）（•x•x2•x3•x4•x5），
∴（1﹣x）（1+x）5 展开式中x3的系数为
110．
故答案为：0．
【点睛】此题考查二项式定理，关键在于熟练掌握定理的展开式，根据多项式乘积关系求得指定项的系数.
14.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.
【答案】
【解析】
根据题意可知取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值X相应为4，6，8，10．
∴.
15.甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮.乙恰好比甲多投进2次的概率是______.
【答案】；
【解析】
【分析】
将事件拆分为乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次，再根据二项分布的概率计算公式和独立事件的概率计算即可求得.
【详解】根据题意，甲和乙投进的次数均满足二项分布，且甲投进和乙投进相互独立；
根据题意：乙恰好比甲多投进2次，
包括乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次.
则乙投进3次，甲投进1次的概率为；
乙投进2次，甲投进0次的概率为.
故乙恰好比甲多投进2次的概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查二项分布的概率计算，属综合基础题.
16.函数的极大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
求得函数的定义域，再对其求导，令，解得驻点，说明单调性，即可找到并求得极大值.
【详解】因为函数，其定义域为
求其求导
令，得
所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减
所以时，由极大值
故答案为：
【点睛】本题考查利用导数求函数的极大值，其过程优先确定定义域，求导并令导函数等于零得到驻点，分析驻点左右单调性，进而求得极值，属于较难题.
四、解答题
17.已知二项式的展开式中第五项为常数项.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中有理项的系数和.
【答案】（1）；（2）121
【解析】
【分析】
（1），为常数项，所以，可求出的值，进而求得二项式系数最大的项；
（2）由题意为有理项，直接计算即可.
【详解】（1），∵为常数项，
∴，∴
二项式系数最大的项为第3项和第4项.∴，
.
（2）由题意为有理项，
有理项系数和为.
【点睛】本题考查了二项式的展开式，需熟记二项式展开式的通项，属于基础题.
18.私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）
频数
赞成人数
（）完成被调查人员的频率分布直方图．
（）若从年龄在，的被调查者中各随机选取人进行追踪调查，求恰有人不赞成的概率．
（）在在条件下，再记选中的人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，再求频率与组距之比得纵坐标，画出对应频率分布直方图．（2）先根据2人分布分类，再对应利用组合求概率，最后根据概率加法求概率，（3）先确定随机变量，再根据组合求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.
试题解析：（）
（2）由表知年龄在内的有人，不赞成的有人，年龄在 内的有人，不赞成的有人，恰有人不赞成的概率为：
．
（3） 的所有可能取值为：，，，，
，
，
，
所以的分布列是：
所以的数学期望．
19.在2016年8月巴西里约热内卢举办的第31届奥运会上，乒乓球比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束.甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表：
出场顺序
1号
2号
3号
4号
5号
获胜概率
若甲队横扫对手获胜（即3∶0获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为.
（1）求，的值；
（2）求甲队获胜场数的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析；
【解析】
【分析】
（1）利用甲队横扫对手获胜（即获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为，建立方程组，即可求，的值；
（2）求得甲队获胜场数的可能取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望．
【详解】解：（1）由题意，
解得．
（2）设甲队获胜场数为，则的可取的值为0，1，2，3
，
，
，
，
的分布列为
0
1
2
3
．
【点睛】本题考查概率知识的运用，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
20.南昌市在2018年召开了全球VR产业大会，为了增强对青少年VR知识的普及，某中学举行了一次普及VR知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加VR知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如左的列联表：
优秀
非优秀
总计
男生
a
35
50
女生
30
d
70
总计
45
75
120
（1）确定a,d的值；
（2）试判断能否有90%的把握认为VR知识测试成绩优秀与否与性别有关；
（3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传普及小组．从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求“到校外宣传的2名同学中至少有1名是男生”的概率.
附：
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）；（2）没有；（3）
【解析】
【分析】
（1）结合题表信息，即可计算a,d，即可．（2）结合，代入数据，计算，判定，即可．（3）计算概率，可以从反面进行进展，计算总数，计算2人全部都是女生的总数，计算概率，即可．
【详解】（1），解得
（2）结合卡方计算方法可知n=120，得到而要使得概率为则90%,，不满足条件，故没有．
（3）结合a=15，结合分层抽样原理，抽取6人，则男生中抽取2人，女生抽取4人，则从6人中抽取2人，一共有，如果2人全部都是女生，则有，故概率为
.
【点睛】本道题考查了古典概率计算方法，考查了计算方法，考查了列联表，难度中等．
21.已知函数．
（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）．
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为.
因为，所以，
当时，在上恒成立，函数在单调递减，
∴在上没有极值点；
当时，由得，由得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点
（Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知，
∴，
令，所以，
令可得在上递减，令可得在上递增，
∴，即.
考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.
点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.
22.已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）
【解析】
【分析】
（1）分两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）可知且，后者可得实数取值范围为，再根据，结合零点存在定理可知当时函数确有两个不同的零点.
【详解】（1）解：因为，
①当时，总有，
所以在上单调递减.
②当时，令，解得.
故时，，所以在上单调递增.
同理时，有，所以在上单调递减.
（2）由（1）知当时，单调递减，
所以函数至多有一个零点，不符合已知条件，
由（1）知当时，，
所以当时，解得，从而.
又时，有，因为，，
令，则，
所以在为增函数，故，
所以，根据零点存在定理可知：
在内有一个零点，在内有一个零点，
故当函数有个零点时，的取值范围为.
【点睛】导数背景下函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．取点时要依据函数值容易计算、与极值点有明确的大小关系这两个原则，讨论所取点的函数值的正负时，可构建新函数，通过导数讨论函数的最值的正负来判断.