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- 2021-04-12 发布
田阳高中 2017 年至 2018 学年度上学期期中考试
高二数学科 A 卷试题
一．选择题（本大题 12 小题，每题 5 分，共 60 分，每小题只要一个选项符合题
目要求。）
1．下列两个变量之间是相关关系的是（ ）
A．圆的面积与半径 B．球的体积与半径
C．角度与它的正弦值 D．一个考生的数学成绩与物理成绩
2．命题“对任意 x R 都有 2 1x ”的否定是（ ）
A．对任意 x R ，都有 2 1x B．不存在 x R ，使得 2 1x
C．存在 0x R ，使得 2
0 1x D．存在 0x R ，使得 2
0 1x
3．从 1，2，3，4 这 4 个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是( ).
A．
6
1 B．
4
1 C．
3
1 D．
2
1
4．在如图所示的算法流程图中，输出 S 的值为（ ）
A、11 B、12 C、13 D、15
5．已知命题 p： x y ；则 x y ；命题 q：若 x y ；则 2 2x y ；在命题
①p∧q，②p∨q，③p∧（￢q），④（￢p）∨q 中，真命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．取一根长度为 5m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不
小于 2m 的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，若事件 A=“所取的 3 个球中至
少有 1 个白球”，则事件 A 的对立事件是（ ）
A．1 个白球 2 个红球 B．2 个白球 1 个红球
C．3 个都是红球 D．至少有一个红球
8．某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有 150 个、120 个、190 个、140 个销售点．为
了调查产品的质量，需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本，记这项调查为①；
开始
S＝0
i＝3
i＝i＋1
S＝S＋i
i＞5
输出 S
结束
是
否
在丙城市有 20 个特大型销售点，要从中抽取 8 个调查，记这项调查为②，则完成①、②
这两项调查宜采用的抽样方法依次为（ ）
A．分层抽样法、系统抽样法 B．分层抽样法、简单随机抽样法
C．系统抽样法、分层抽样法 D．简单随机抽样法、分层抽样法
9．已知 ,x y 取值如表：
x 0 1 4 5 6
y 1.3 m 3m 5.6 7.4
画散点图分析可知： y 与 x 线性相关，且求得回归方程为 1y x ，则 m 的值（精确到 0.1）
为（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
10．设 ， 是向量，则“| |=| |”是“| + |=| ﹣ |”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等，
则
这样的 x 值的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12. 已知函数 ( ) | | 3 1f x a x a ，若命题
∀
1,1x ，使 ( ) 0f x 是假命题，则实数 a
的取值范围为（ ）
A． 1, 2
B． 1 1,2 3
C． 1, 0,2
D． 1 1, ,03 2
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．将二进制11011（2）化为十进制为 .
14．用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生随机地从 1～160
编号，按编号顺序平均分成 20 组（1～8 号，9～16 号，…，153～160 号），若第 16 组抽出的
号码为 126，则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是 ．
15．已知甲、两组数据如茎叶图所示，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，
那么 m n = ．
16．已知 {1,2,3}, {1,2,3,4,5,6}a b ，直线 1l ： 3ax by ，直线 2l ： 2 2x y ，
则两条直线的交点在第一象限的概率为 .
三．解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或者演
算步骤）
17.（本小题满分 10 分）从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的
射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭 10 次，命中的环数如下：
甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6
乙 10 9 8 6 8 7 9 7 8 8
(1) 计 算 甲 、 乙 两 人 射 箭 命 中 环 数 的 平 均 数 和 标 准 差 ；
2 2 2
1 2
1 ( ) ( ) ( )ns x x x x x xn
(2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．
18．（本小题满分 12 分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均
为整数）
分成六段[40， 50)，[50，60)…[90，100)后画出如下部分频率分布直方图．（从低分段到高分
段依次为第一组，第二组……第六组）.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60 分及以上为及格）和平均分．
19. （本小题满分 12 分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27，9，18，先
采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛．
（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（2）将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 1 2 3 4 5 6, , , , ,A A A A A A ，现从这 6 名运动员中
随机抽取 2 人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设 A 为事件“编号为 5A 和 6A 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，求事件 A 发生的概率.
20. （本小题满分 12 分）经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数 x （0＜
x ≤10）与销售价格 y （单位：万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据：
使用年数 2 4 6 8 10
售价 16 13 9.5 7 4.5
（1）试求 y 关于 x 的回归直线方程；
（附：回归方程 y b x a
中，
1 1
22 2
1
( )( )
,
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i i
x x y y x y n x y
b a y b x
x x x n x
（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为 20.05 1.75 17.2w x x 万元,根据（Ⅰ）中所求的
回归方程,预测 x 为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大.
21.（本小题满分 12 分）设关于 x 的一元二次方程
2
2 1 04
bx ax ．
（1）若 a 是从 1，2，3 这三个数中任取的一个数，b 是从 0，1，2 这三个数中任取的一个数，
求上述方程中有实根的概率；
（2）若 a 是从区间[0，3]中任取的一个数， b 是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程
有实根的概率．
22.（本小题满分 12 分）
设命题 p ：函数 2( ) lg( 2 1)f x ax x 的定义域为 R ，命题 q ：函数 ( ) 2
x ag x x
在(2，
＋∞)上是增函数．如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数 a 的取值范
围．
田阳高中 2017 至 2018 学年度上学期期中考试高二数学 A 卷标准答案
一．选择题：1-5：DDABC 6-10:ACBCD 11-12：CB
二、填空题：
13． 51 14. 6 15. 11 16.
部分题解析：
13：【解答】解：不妨设在第 1 组中随机抽到的号码为 x，
则在第 16 组中应抽出的号码为 120+x．:设第 1 组抽出的号码为 x，
则第 16 组应抽出的号码是 8×15+x=126， ∴x=6．
14：【解答】解：∵两组数据的中位数相同，: ∴m= =3，
又∵平均数也相同，
∴n=8， ∴m+n=11， 故答案为：11．
16.【解答】当两条直线相交时，两条直线的斜率不相等，故 ≠﹣ ，即 ．
a，b 的所有取法共有 3×6=18 种.
把直线 l1：ax+by=3 和直线 l2：x+2y=2 联立方程组解得交点坐标为（ ， ）．
两条直线的交点在第一象限时， 且 ＞0．
化简可得 ①，或 ②．
满足①的（a，b ） 有：（1，4）、（1，5）、（1，6），共 3 个．
满足②的（a，b ） 有：（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2），共 4 个． 故所求事件的概率等
于 = ．
三．解题题：
17. 解 :(1) 根 据 题 中 所 给 数 据 , 则 甲 的 平 均 数 为
,
乙的平均数为 ,
甲的标准差为 ,
乙的标准差为 ,
故甲的平均数为 8,标准差为 ,乙的平均数为 8,标准差为 ;
(2) ,且 , 乙的成绩较为稳定, 故选择乙参加射箭比赛.
18. 解：（1）因为各组的频率和等于 1，故第四组的频率：
f4=1－(0.025+0.0152+0.01+0.005)×10=0.03 分．
直方图如右所示．
（2）依题意，60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75，
所以，抽样学生成绩的及格率是 75%．
利用组中值估算抽样学生的平均分：
45·f1+55·f2+65·f3+75·f4+85·f5+95·f6 ＝
45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，
估计这次考试的平均分是 71 分．
19. 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为 = ，27× =3，9× =1，
18× =2，
∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为 3、1、2；
（Ⅱ）（i）从 6 名运动员中随机抽取 2 名的所有结果为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），
（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），
（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6），共 15 种；
（ii）设 A 为事件“编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽
到”，
则事件 A 包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），
（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6）共 9 个基
本事件，
∴事件 A 发生的概率 P= =
20.解
21. 【解答】解：（1）由题意，知基本事件共有 9 个，可用有序实数对表示为（1，0），（1，1），
（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），
其中第一个表示 a 的取值，第二个表示 b 的取值．
由方程 的 ， 可得，a2+b2≥4，
所以方程 有实根包含 7 个基本事件，
即（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
所以，此时方程 有实根的概率为 ．
（2）a，b 的取值所构成的区域如图所示，其中 0≤a≤3，0≤b≤2，
∴构成“方程 有实根”这一事件的区域为{（a，b）|a2+b2≥4，0≤a≤3，0≤b
≤2}（图中阴影部分）∴此时所求概率为 ．
22. 解：p：函数 f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的定义域为 R， 即 ax2＋2x＋1>0 对∀x∈R 恒成
立，
当 a＝0 时，不合题意；
当 a≠0 时，有 a>0，
4－4a<0，∴a>1.
q：函数 g(x)＝x＋a
x－2在(2，＋∞)上是增函数．
∵g(x)＝x＋a
x－2＝x－2＋a＋2
x－2 ＝1＋a＋2
x－2， ∴a＋2<0，即 a<－2.
又∵p∨q 为真，p∧q 为假，故 p、q 一真一假，
若 p 真 q 假，则 a>1，
a≥－2，∴a>1；
若 p 假 q 真，则 a≤1，
a<－2，∴a<－2.
综上可知，实数 a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．