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- 2021-04-12 发布
2018级高二年级文科数学第二次调研考试
一、选择题（共60分，每题5分)
1.给出下列三个命题
①命题，都有，则非，使得
②在中，若，则角与角相等
③命题：“若，则”逆否命题是假命题
以上正确的命题序号是( )
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据命题的否定的形式可知其正确；
②根据三角形内角的关系以及两角正弦值相等的时候除了相等还可以互补从而得到两种结果，所以错误；
③根据原命题和逆否命题等价可知其正确；
从而得到答案.
【详解】①根据命题的否定的形式可知，命题，都有，则非，使得，所以是正确的；
②在中，若，则有2A=2B或2A+2B=,所以角与角相等或互余，所以错误；
③因为命题：“若，则”是假命题，所以其逆否命题是假命题，所以正确；
所以正确命题序号是①③，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关命题真假的判断问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，三角函数公式，原命题和逆否命题等价，属于简单题目.
2.的两个顶点为,周长为16，则顶点C的轨迹方程为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意,可知点C到A、B两点的距离之和为10,故轨迹为椭圆,同时注意取值范围.
【详解】由题知点C到A、B两点的距离之和为10,故C的轨迹为以为焦点,长轴长为10的椭圆,.故.所以方程为.
又故三点不能共线,所以
故选：A
【点睛】本题主要考查椭圆的定义与椭圆的标准方程,注意求轨迹时结合实际情景进行特殊点排除.
3.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据命题的“真、假”，条件与结论的关系即可得出选项。
【详解】不到蓬莱不成仙，成仙到蓬莱，“成仙”是到“到蓬莱”的充分条件，但“到蓬莱”是否“成仙”不确定，因此“成仙”是“到蓬莱”的充分非必要条件。
故选：A
【点睛】充分、必要条件有三种判断方法：
1、定义法：直接判断“若则”和“若则”的真假。
2、等假法：利用原命题与逆否命题的关系判断。
3、若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若,则A是B的充要条件。
4.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据导函数的图象，可得当时，，当时，，进而可得原函数的图象，得到答案．
【详解】由题意，根据导函数的图象，可得当时，，则函数单调递增，当时，；函数单调递减，故选C．
【点睛】本题主要考查了导函数图象与原函数的图象之间的关系，其中解答中熟记导函数的函数值的符号与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
5. 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则 的面积为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设P(xP,yP)(yP>0)由抛物线定义知,xP+=4,
∴xP=3,yP==2,
因此S△POF=×2×=2.故选C.
6.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求函数的导数，令，先求出的值，根据导数的概念即可得到结论．
【详解】∵，∴，
令，则，即，
则，
故选A.
【点睛】本题主要考查了导数的计算，根据导数公式以及求出是解决本题的关键，属于中档题.
7.已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
用表示出，解出不等式得出的范围.
【详解】由椭圆定义可知：，，
则，
所以，
因为，即，
，即.
.
【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题.
8.若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点坐标，根据两条直线垂直斜率的关系求得切线的斜率，令的导数等于这个斜率建立方程，分离常数后利用函数的值域求得的取值范围.
【详解】设切点为，切线的斜率为，由，得，所以，而，所以.
故选B.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查推理论证能力，属于中档题.
9.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题得由题得，解方程即得解.
【详解】由题得
由题得，
所以，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，考查直线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10.若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是
A. [－5，0) B. (－5，0) C. [－3，0) D. (－3，0)
【答案】C
【解析】
【分析】
求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.
【详解】由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．
令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，
则结合图象可知，解得a∈[－3，0)，
故选C.
【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.
11.设函数定义域为，其导函数为，若，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令，利用导数求得在上为单调增，把不等式转化为，即可求解．
【详解】由题意，令函数，则，
因为，则，所以函数是上的单调递增函数，
又由，则
又由，得，即，所以，
即不等式的解集为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究的函数的单调性，以及函数的单调性的应用，其中解答中根据不等式，构造新函数，利用导数得到新函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
12.函数的导函数为，若不等式的解集为，且的极小值等于，则的值是( )。
A. B. C. 5 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
求导数，利用韦达定理，结合的极小值等于，即可求出的值，得到答案．
【详解】依题意，函数，得的解集是，
于是有，解得，
∵函数在处取得极小值，
∴，
即，解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查韦达定理的运用，着重考查了学生分析解决问题的能力，比较基础.
二、填空题（共20分，每题5分)
13.已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
解出不等式，得出或，由题意得出，由此可得出实数的取值范围.
【详解】解不等式，即，即，解得或.
由题意可得，.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用充分必要条件求参数，解题的关键就是利用充分必要性得出两集合的包含关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14.若函数，且在上有最大值，则最大值为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果.
【详解】因为，所以，因此，
解得，所以，
由得或；由得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
所以当时，取极大值，由得或；
又在上有最大值，
所以只需.
故答案为3
【点睛】本题主要考查导数的应用，由函数在给定区间有最大值求参数，只需利用导数的方法研究函数单调性，即可求解，属于常考题型.
15.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据拐点的定义，令，解得，则，由拐点的性质可得结果.
【详解】∵函数，
∴，∴．
令，解得，且，
所以函数对称中心为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查导数的运算，以及新定义问题，属于中档题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
16.若函数有零点，则k的取值范围为________．
【答案】或
【解析】
【分析】
当时，可得1，故不是函数的零点，当时，有零点，即有解，故k的取值范围为函数的值域，求导，判断单调性并求出极小值，即可得k的取值范围。
【详解】当时，可得1，故不是函数的零点，当时，由函数有零点可得有解即，故k的取值范围为函数的值域，∵，令可得，故函数在上单调递减，上单调递增，且当时，函数值，当时，为函数的最小值且，故，综上可得的取值范围为或，故k的取值范围为：或.
【点睛】本题考查利用导数求解函数极值（最值）问题，解决此类问题的方法是将函数问题转化为方程问题，再利用数形结合的思想来解决，属中档题。
三、解答题（第17题10分，18-22每题12分，共70分）
17.已知，，其中．
（1）若，且为真，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据为真，可先对命题进行化简，求得对应数取值范围是，对命题，当时，求得的取值范围是，再求二者交集即可
（2）“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，可转化为，再进行求解
【详解】（1），∴为真命题时实数的取值范围是，
，所以同理为真命题时，实数的取值范围是．
又为真，则同时为真命题，即的取值范围的交集，为．
即时，且为真，的取值范围是．
（2）因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，即
又命题为真命题时，实数的取值范围是，
所以，解得．
故实数m的取值范围是．
【点睛】本题考查根据命题真假求解自变量取值范围，由集合的包含关系求解参数取值，原命题和逆否命题同真同假可帮助我们简化运算，是中档题型
18.已知函数在点M(1,1)处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间和极值.
【答案】（1）f(x)=x2-4lnx（2）函数的单调递增区间是，单调递减区间是.极小值为，无极大值
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，根据切线方程得到关于的方程组，解出即可。（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可。
【详解】（1），
因为点M(1,1)处的切线方程为2x+y-3=0，
所以,所以，
则f(x)=x2-4lnx;
（2）定义域为(0,+∞),,
令，得（舍负）.
列表如下：
x
f'(x)
-
0
+
f(x)
递减
极小值
递增
故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
极小值为，无极大值.
【点睛】本题（1）是根据切点在曲线上以及函数在切点处的导数就是切线的斜率这两点来列方程求参数的值，（2）是考查函数的单调性和极值,本题是一道简单的综合题。
19.过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率为的椭圆相交于、两点，直线过线段的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称．
（1）求直线的方程；
（2）求椭圆的方程．
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
试题分析：根据离心率大小可以得到的值，设出椭圆的方程；因为在椭圆上，代入椭圆方程，得到两个等式，根据这两个等式表示出直线的斜率。直线过线段的中点，故该中点满足，由此可以求出的关系，代入直线斜率的表达式中即可求得，又直线过点，故可求出直线的方程；
椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称，列出方程组，求出的值，从而得到椭圆的方程。
解析：（1）由，得，从而
设椭圆方程为
在椭圆上，则两式相减得，
设的中点为则又在直线上，，于是
，则直线的方程为.
（2）右焦点关于直线的对称点设为
则解得
由点椭圆上，得，
所求椭圆的方程的方程为.
点睛：当遇到直线与椭圆的相交弦中点问题时可以运用点差法，解得直线斜率与中点坐标之间的数量关系，从而可以求出直线方程，求解点关于线的对称点问题在列方程组时满足两个条件，一是斜率相乘得-1，一是点在直线上，满足直线方程，联立求解。
20.中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔（单位：分钟）满足，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔相关：当时高铁为满载状态，载客量为人；当时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人.记发车间隔为分钟时，高铁载客量为.
求的表达式；
若该线路发车时间间隔为分钟时的净收益（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？
【答案】（1）（2）发车时间间隔为分钟时，最大
【解析】
【分析】
（1）分和两段求函数的解析式，当时，，当时，，求；（2）根据（1）的结果，分段求函数，利用导数求函数的最大值.
【详解】解：（1）当时，不妨设，因为，所以解得.
因此.
（2）①当时，
因此，.
因为，当时，，单增；
当时，，单减.所以.
②当时，
因此，.
因为，此时单减.所以，
综上，发车时间间隔为分钟时，最大.
【点睛】本题考查了分段函数求解析式，以及利用导数解实际问题的最值，本题的关键是正确表达和.
21.已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）由两曲线长轴与焦点关系，求出双曲线C2的方程。（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线与双曲线组方程组，得到韦达定理关系，注意判别式控制参数k范围。把向量关系>2，坐标化即x1x2＋y1y2>2，代入韦达可求。
试题解析：(1)设双曲线C2的方程为
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得
∴k2<1且k2≠.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵>2，即x1x2＋y1y2>2，∴ >2 >2，即>0，
解得