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- 2021-04-12 发布
第22讲 解三角形应用举例
考纲要求
考情分析
命题趋势
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
2015·湖北卷，13
2014·四川卷，13
解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式、向量等综合考查.
分值：5分
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__上方__的角叫仰角，在水平线__下方__的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向__顺时针__转到目标方向线的水平角叫方位角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角
相对于某一正方向的水平角(如图③)．
(1)北偏东α，即由指北方向__顺时针__旋转α到达目标方向．
(2)北偏西α，即由指北方向__逆时针__旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角和坡度(比)
坡角：坡面与水平面所成的__二面角__的度数(如图④，角θ为坡角)．
坡度(比)：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度(比))．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)公式S＝bcsin A＝acsin B＝absin C适用于任意三角形．( √ )
(2)东北方向就是北偏东45°的方向．( √ )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角．( × )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.( √ )
解析 (1)正确．三角形的面积公式对任意三角形都成立．
(2)正确．数学中的东北方向就是北偏东45°或东偏北45°的方向．
(3)错误．俯角是视线与水平线所构成的角．
(4)正确．方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为[0,2π)，而方向角大小的范围由定义可知为.
2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( B )
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
解析 如图所示，∠ACB＝90°.
又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点A在点B的北偏西15°.
3．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( A )
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
解析 由正弦定理得AB＝＝＝50(m)．
4．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为____千米．
解析 如图所示，由题意知∠C＝45°，
由正弦定理得＝，
∴AC＝×＝.
5．一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行__8__海里．
解析 如图，由题意知在△ABC中，
∠ACB＝75°－60°＝15°，
∠B＝15°，∴AC＝AB＝8.
在Rt△AOC中，OC＝AC·sin 30°＝4.
∴这艘船每小时航行＝8(海里)．
一 距离问题
求解距离问题的一般步骤
(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题．
(2)明确要求的距离所在的三角形有哪些已知元素．
(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形．
【例1】 要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B之间的距离为____km.
解析 如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，
∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝ km.
在△BCD中，∠BCD＝45°，
∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝()2＋2－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝ km，即A，B之间的距离为 km.
二 高度问题
高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合．
【例2】 要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A 的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为__40__m.
解析 设电视塔AB高为x m，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.
在Rt△ADB中，由∠ADB＝30°，得BD＝x.
在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°，解得x＝40，
所以电视塔高为40 m.
三 角度问题
解决角度问题的注意点
(1)首先应明确方位角或方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
【例3】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 海里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 海里的速度沿南偏东75°方向前进，红方侦察艇以每小时14 海里的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解析 如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得
(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2.
故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
解得sin α＝＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
1．(2018·河南南阳八校联考)2017年国庆节期间，某数学教师进行了一次“说走就走”的登山活动，从山脚A处出发，沿一个坡角为45°的斜坡直行，走了100 m后，到达山顶
B处，C是与B在同一铅垂线上的山底，从B处测得另一山顶M点的仰角为60°，与山顶M在同一铅垂线上的山底N点的俯角为30°，两山BC，MN的底部与A在同一水平面，则山高MN＝( D )
A．200 m B．250 m
C．300 m D．400 m
解析 如图．由题可知，AB＝100，∠A＝45°，∠M＝30°，∠MBN＝90°，∠MNB＝60°，所以BC＝100，BN＝200，MN＝400.故选D．
2．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos θ＝( B )
A． B．
C． D．
解析 如题图所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，故BC＝20 海里．
由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝，由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.
故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
3．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD＝( B )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析 依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，
又CD＝50 m，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
4．如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A，B；找到一个点D，从点D可以观察到点A，C；找到一个点E，从点E可以观察到点B，C；并测量得到：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为____.
解析 依题意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理得AC＝＝2，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝＝3，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝10，∴AB＝，即A，B两点之间的距离为.
易错点 在实际问题中对角的认识不充分
错因分析：空间想象能力较弱，不会迁移空间角的应用．
【例1】 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从点C测得∠MCA
＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝______m.
解析 在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，
所以AC＝100 m.
在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，
从而∠AMC＝45°，
由正弦定理得＝，
因此AM＝100 m.
在Rt△MNA中，
AM＝100 m，∠MAN＝60°，
由＝sin 60°，得MN＝100×＝150(m)．
答案 150
【跟踪训练1】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝__100__m.
解析 依题意有AB＝600，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB．∴∠ACB＝45°，
在△ABC中，由＝，得＝，
所以CB＝300，在Rt△BCD中，CD＝CB·tan 30°＝100，则此山的高度CD＝100 m.
课时达标 第22讲
[解密考纲]本考点考查利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，三种形式均可能出现，一般排在选择题、填空题的中间或最后位置或解答题靠前的位置，题目难度中等．
一、选择题
1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( A )
A．10 海里 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
解析 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10海里．故选A．
2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是( D )
A．100 m B．400 m
C．200 m D．500 m
解析 由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500 m.
3．长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α＝( A )
A． B．
C． D．
解析 由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.
由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝，所以sin α＝，所以tan α＝＝.
4．如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，设该建筑物的高度为h m，则h＝( A )
A．30＋30 B．30＋15
C．15＋30 D．15＋15
解析 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°
＝×－×＝.
由正弦定理，得＝，
所以PB＝＝30(＋)，
故建筑物的高度h＝PBsin 45°＝30(＋)×＝30＋30 .
5．(2018·河南天一大联考)2017年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北θ的方向移动，距台风中心t千米以内的地区都将受到影响，若16日08时到17日08时，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受台风影响，则t和θ的值分别为(附：≈8.585)( A )
A．858.5,60° B．858.5,30°
C．717,60° D．717,30°
解析 如图，根据题意，3小时后台风中心距甲地90千米，27小时后台风中心距甲地810千米，乙地有24小时在台风范围内，根据余弦定理得t2＝9002＋902－2×90×900cos θ，t2＝
9002＋8102－2×810×900cos θ，解得cos θ＝，所以θ＝60°，∴t2＝9002＋902－2×90×900cos 60°＝737 100，∴t＝858.5.故选A．
6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC＝( C )
A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(＋1) m
解析 ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，
∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．故选C．
二、填空题
7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile，此船的航速是__32__n mile/h.
解析 设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝v，
BS＝8 n mile，∠BSA＝45°.
由正弦定理，得＝，∴v＝32 n mile/h.
8．江岸边有一炮台OA高30 m，江中有两条船M，N，船与炮台底部O在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，
则两条船相距__10__m.
解析 OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理，得
MN＝＝＝10(m)．
9．某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是__3__km.
解析 由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，∴BS＝＝3.
三、解答题
10．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后又看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为多少米？(取＝1.4，＝1.7)
解析 如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，
∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．
又在△ABC中，＝，
∴BC＝×sin 15°＝10 500(－)(m)．
∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350(m)．
故山顶的海拔高度h＝10 000－7 350＝2 650(m)．
11．(2018·河南郑州一中期中)如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100 km的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给汽车的司机．
(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？
(2)在(1)的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角．
解析 (1)如图，设快艇以v km/h的速度从B处出发，沿BC方向，t h后与汽车在C处相遇，在△ABC中，AB＝500，AC＝100t，BC＝vt，BD为AC边上的高，BD＝300.
设∠BAC＝α，则sin α＝，cos α＝.
由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos α，
所以v2t2＝(100t)2＋5002－2×500×100t×.
整理，得v2＝－＋10 000
＝250 000＋10 000－
＝250 0002＋3 600.
当＝，即t＝时，v＝3 600，vmin＝60 km/h，
即快艇至少以60 km/h的速度行驶才能把稿件送到司机手中．
(2)当v＝60 km/h时，在△ABC中，AB＝500，
AC＝100×＝625，BC＝60×＝375，
由余弦定理，得cos∠ABC＝＝0，所以∠ABC＝90°，故快艇应向垂直于AB的方向向北偏东方向行驶．
12．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从点C可以观察到点A，B；找到一个点D，从点D可以观察到点A，C；找到一个点E，从点E可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1百米．
(1)求△CDE的面积；
(2)求A，B之间的距离．
解析 (1)连接DE，在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝150°，S△ECD＝DC·CE·sin 150°＝×sin 30°＝×＝(平方百米)．
(2)依题意知，在Rt△ACD中，
AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan 60°＝.
在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°.
由正弦定理得＝，
得BC＝·sin∠CEB＝×sin 45°＝.
因为cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝
×＋×＝.
连接AB，在△ABC中，由余弦定理
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
可得AB2＝()2＋()2－2××＝2－，
所以AB＝＝(百米)．