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- 2021-04-12 发布
肥东二中2019-2020学年度第二学期期中考试
高二年级 肥东二中与合肥六中共建班数学试卷（理）
一、选择题（每题5分，共60分）
1.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为
C. 开口向右，焦点为 D. 开口向上，焦点为
3.若函数在区间上的平均变化率为4，则m等于（ ）
A. B. 3 C. 5 D. 16
4. 计算定积分等于（ ）
A. B. e C. D.
5.已知的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则的周长是（ ）
A. B. 6 C. D. 12
6.函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
7.下列椭圆中最扁的一个是（ ）
A. B. C. D.
8.与曲线相切，且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
9.设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10.设，若函数有大于零的极值点，则（ ）
A. B. C. D.
11.设，分别为曲线的左、右焦点，P是曲线与的一个交点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，则函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 曲线在点处的切线斜率为______．
14. 过点且与抛物线只有1个公共点的直线有 条
15. 若函数，则 ．
16. 已知椭圆的左顶点为A，过O点作一条直线MN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，，则_________
三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 已知抛物线的焦点为F，准线方程是．
（1）求此抛物线的方程
（2）设点M在此抛物线上，且，若O为坐标原点，求的面积．
18. 已知曲线与在第一象限内的交点为P．
（1）求曲线在点P处的切线方程
（2）求两条曲线所围图形如图所示阴影部分的面积S．
19. 已知椭圆，在椭圆上求一点P，使P到直线l：的距离最短，并求出最短距离．
20.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量吨与每吨产品的价格元吨之间的关系式为，且生产x吨的成本为元问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？利润收入成本
21.已知函数
（1）当时，求函数的最小值
（2）求函数的单调区间和极值．
22.已知动点P与点和点连线的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程
（2）若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线分别交于点M，N，求线段MN长度的最小值．
肥东二中2019-2020学年度第二学期期中考试
高二年级 肥东二中与合肥六中共建班数学参考答案（理）
1、【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的导数的求解，运用函数的导数运算法则是解决本题的关键，属于基础题．
根据函数的导数公式进行判断即可．
【解析】
解：，故A不正确；
，故B不正确；
，故C正确；
，故D不正确．
故选C．
2、【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查抛物线的几何性质．
化成标准方程即可求解
【解答】解：抛物线方程，
化成标准方程形式为，
可得其开口向上，焦点坐标为．
故选A．
3、【答案】B
【解析】【分析】本题考查了导数的基本概念，属于基础题．
平均变化率为，即可得出结果．
【解答】解：因为，
所以．
故选B．
4、【答案】B
【解析】【分析】本题考查了微积分基本定理，属于基础题，利用微积分基本定理即可得出．
【解答】解：，
定积分．
5、【答案】C
【解析】【分析】本题考查椭圆的定义及标准方程，属于基础题．
由题意利用椭圆的定义可求得周长．
【解答】
解：设椭圆的另一焦点为F，
则，
，
由条件可得，
的周长是
．
6、【答案】A
【解析】解：数
，
根据单调性与不等式的关系可得：
，即
所以函数的单调递减区间是
故选：A
．
利用函数的单调递减区间，求出导函数，解不等式
本题考查了导数在判断单调性中的应用，难度不大，属于常规题．
7【答案】B
【解析】【分析】本题考查椭圆的性质和几何意义，属于简单题．
依次求出各个选项中椭圆的离心率，利用椭圆的离心率与椭圆的圆扁情况，即可求解．
【解答】
解：由，得
由，得
由，得
由，得．
因为的离心率最大，
所以最扁的椭圆为．
故选B．
8、【答案】C
【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题．
由导数的几何意义可得所求直线的斜率，根据两直线垂直可求得，即可求得切线方程．
【解答】解：设切点为，
由导数的几何意义可得所求直线的斜率，
又直线的斜率为，
所以
，
解得，则，，
所以所求直线的方程为，
即，
故选C．
9、【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义的应用，解题的关键是熟练掌握椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义的计算，属于基础题．
根据已知及椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义的计算，即可求出的值．
【解答】解：由椭圆的定义可得，
由中位线定理可得轴，，
令，可得，即有，，则．
故选C．
10、【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题．
求导可得，令得，则，求解即可．
【解答】解：，要使函数有大于零的极值点，则．
令，得，则，即，所以故选A．
11、【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义及余弦定理的应用，属于简单题．
根据，分别为曲线的左、右焦点，设P是曲线与的第一象限的交点，进而求得三角形的三条边的长，再利用余弦定理即可求解．
【解答】解：曲线与曲线
的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P为第一象限的交点．
则，，
解得，．
又，
在中，由余弦定理可求得，
故选B．
12、（共建班）【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数单调性与最值计算，属于中档题．
判断的奇偶性和单调性，计算最值，从而得出函数图象．
【解答】
解：，
是偶函数，图象关于y轴对称，排除D；
当时，，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，也即最小值，排除B，C．
故选：A．
13、【答案】2
【解析】解：由已知得：，
．
故答案为：2
．
先求出函数的导数，然后将代入即可．
本题考查导数的几何意义以及切线的斜率，属于基础题．
14、【答案】3
【解析】【分析】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
设直线方程与抛物线方程联立，对k分类讨论，结合二次方程判别式得到结论．
【解答】解：易知过点且斜率不存在的直线为，满足与抛物线只有1个公共点．
当斜率存在时，设直线方程为，与联立，整理得，
当时，方程是一元一次方程，有1个解，满足只有1个公共点
当时，由，可得，此时只有1个公共点，
所以满足题意的直线有3条．
15、【答案】0
【解析】【分析】本题考查了函数导数的运算，属于基础题．
对函数进行求解，再求出，然后即可得的解析式，再进行后面的计算即可得．
【解答】解：因为，所以令，则，所以，即，，所以，，
16、（共建班）【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题中的定值问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
根据题意设，从而即可得到关于y的值，经化简即可得．
【解答】
解；设，则，由题意知，
所以，
又点M在椭圆上，所以
，
代入上式得．
故答案为．
17、【答案】解：因为抛物线的准线方程为，
所以，得，
所以抛物线的方程为．
设，
因为点在抛物线上，且，
由抛物线的定义，知，得．
将代入方程，得，
所以的面积为．
【解析】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．
利用抛物线的简单性质得出：抛物线准线与y轴的距离为，所以最后写出抛物线的方程即可；
先设，利用抛物线的定义得到点M到抛物线焦点F的距离为求得，再将代入抛物线求出，最后利用三角形面积公式求解即可．
18、【答案】解：由题可知，曲线与在第一象限内的交点为．
的导函数，
则，
又切点的坐标为，
所以曲线在点P处的切线方程为，即．
由曲线与，可得两曲线的交点坐标为，，
所以两条曲线所围图形的面积．
【解析】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，定积分在求面积中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
先通过解方程组求交点的坐标，再根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可；
先确定积分区间，再确定被积函数，从而可求由两条曲线曲线：与：所围图形的面积．
19、【答案】解：设与直线平行且与椭圆相切的直线为，
联立方程得9y22，
令22，
解得或，
与直线l距离最近的切线方程为，
最小距离为．
由得
即．
【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，属基础题目，由直线与椭圆相离，设椭圆的切线然后求切线方程，直线l与切线间的距离即为最短距离．
20、【答案】解：每月生产x吨时的利润为
．
由，
解得，舍去．
因为在内只有一个点使，
且时，；时，；
故就是最大值点，
且最大值为元．
所以每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．
【解析】
本题考查利用导数解决实际问题，利用导数求最值，考查函数模型的应用，属于中档题．
根据条件得到利润函数，再利用导数求出最大值及相应的x的值即可．
21.（共建班）【答案】解：函数的定义域为
当时，，，
当且仅当，即时等号成立，
故函数的最小值为4．
当时，，因此的单调递增区间为，这时函数无极值
当时，．
当x变化时，，的变化情况如下：
x
0
极小值
因此函数的单调递减区间为，单调递增区间为
且当时，函数取得极小值．
【解析】本题主要考查导数的问题．
先利用求导公式求出导函数，再利用基本不等式求最小值；
先求出导函数，再对a进行讨论当时，函数为增函数，没有极值；当时，列出表格即可求得单调区间和极值．
22.(共建班)【答案】解：设，由题意知，即，
化简得曲线C的方程为．
由题意知直线AQ的斜率存在且不为零，设其方程为．
由知，得，
所以直线BQ的方程为．
将分别代入直线AQ，BQ的方程，得，，
所以，
当且仅当时取等号，所以线段MN的长度的最小值为．
【解析】本题考查动点轨迹方程的求法及两点间的距离公式，属于中档题，
设，由两直线的斜率之积为，直接整理即可，
设AQ的直线方程为，从而得到BQ的方程为
．
进而渴求M，N两点的坐标，得到的表达式，利用基本不等式即可求解，