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- 2021-04-12 发布
河北区2018-2019学年度高三年级总复习质量检测（二）
数学（文史类）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用求出集合，再根据交集定义求得结果.
【详解】由可知：
则
本题正确选项：
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.
2.若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值为（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
通过复数除法运算将复数整理为的形式，再根据纯虚数的定义求得结果.
【详解】
为纯虚数
本题正确选项：
【点睛】本题考查复数的分类，关键是通过复数的除法运算将其整理为的形式，属于基础题.
3.例题：“，”的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据含量词命题的否定的形式可得结果.
【详解】为命题的否定，则，
本题正确选项：
【点睛】本题考查逻辑连接词中的“非”命题，即命题的否定，属于基础题.
4.已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：可以先比较同底的对数大小，再结合中间值1,进行比较即可.
详解：,故，选D.
点睛：考查对数函数的基本性质和运算公式，比较大小通常先比较同底的然后借助中间值判断不同底的即可.属于基础题.
5.己知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：以、为直径的圆方程为，又因为点在圆上，所以，双曲线的渐近线一条方程为，且点在这条渐近线上，所以，又，解之得，所以双曲线方程为，故选C．
考点：双曲线标准方程及几何性质．
【此处有视频，请去附件查看】
6.已知四面体的四个面都为直角三角形，且平面，，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知中垂直关系可将四面体放入正方体中，求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积；利用正方体外接球半径为其体对角线的一半，求得半径，代入面积公式求得结果.
【详解】且为直角三角形
又平面，平面
平面
由此可将四面体放入边长为的正方体中，如下图所示：
正方体的外接球即为该四面体的外接球
正方体外接球半径为体对角线的一半，即
球的表面积：
本题正确选项：
【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题，关键是能够通过线面之间的位置关系，将所求四面体放入正方体中，通过求解正方体外接球来求得结果.
7.已知函数，，给出下列四个命题：
①函数的最小正周期为；
②函数的最大值为1；
③函数上单调递增；
④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为．
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
将函数利用两角和的正弦公式化简可得 ，则可得最小正周期是；最大值是；由，可得
，由正弦函数的单调性可判断③；由图像的平移变换可判断④．
【详解】利用两角和的正弦公式将函数化简为，则最小正周期为，故①错误；最大值是，故②正确；由，可得，正弦函数的单调递增区间是，当是，增区间是，故③错误；将函数的图象向左平移个单位长度得，整理，故④正确．
故选B.
【点睛】本题考查两角和的正弦公式，正弦函数的图像与性质，图像的平移与变换，解题的关键是将函数化简，属于简单题．
8.已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
显然不满足三个零点，所以，，当时，（）两图像必有一交点，所以必有一零点在．当x>0时，所以f(x)在单调递减，在上单调递增．上要有两个零点，只需，解得，选D.
【点睛】
零点问题，常把方程F(x)=0变形为左右两边各放一个函数f(x)=g(x),然后分别出来
y=f(x)和y=g(x)的图像，再观察两图像交点个数，从而得到y=F(x)的零点个数．如果图像不好直接画出，则要借助导数及函数图像来解决．
二、填空题。
9.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为___
【答案】808
【解析】
【分析】
由甲社区抽取人数和总人数计算可得抽样比，从而可根据抽取的人数计算得到驾驶员总人数.
【详解】由题意可得抽样比为：
本题正确结果：
【点睛】本题考查分层抽样中抽样比、总体数量的计算，属于基础题.
10.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据程序框图运行程序，直到时，输出结果即可.
【详解】按照程序框图运行程序，输入：，，，符合，循环；
，，符合，循环；
，，符合，循环；
，，不符合，输出
本题正确结果：
【点睛】本题考查程序框图中根据循环框图计算输出结果，属于常规题型.
11.若实数，满足条件则的最小值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】
由不等式组画出平面区域，再求最小值．
【详解】由不等式组画出平面区域，如图
平面区域为内的区域，目标函数化为，则的最小值为直线截距的最小值，通过平移可发现在点处，纵截距最小，所以.
【点睛】本题考查线性规划问题，解题的关键是画出不等式组表示的平面区域，属于简单题．
12.已知直线的方程为，圆的方程为，则直线被圆所截得的弦长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后通过勾股定理求出一半弦长，再得弦长．
【详解】由题可知圆心坐标，半径，所以圆心到直线的距离，所以由勾股定理可得弦长的一半为 ，即弦长为.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，求弦长问题，属于简单题．
13.已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
将写成等比数列基本量和的形式，由可得；从而利用，根据基本不等式求得结果.
【详解】设等比数列公比为，则首项
由得：
则：
则（当且仅当，即时取等号）
本题正确结果：
【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列基本量得到满足的等式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.
14.在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量定理，表示出，然后把转化到，利用，得到用和表示的式子，得到和的值.
【详解】在中，为中点，所以，
为中点，所以
所以
即，
所以
而
所以
故
【点睛】本题考查向量平面定理的的表示，向量的加法、减法，向量共线的表示，属于中档题.
三、解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.一个盒子中装有4个编号依次为1、2、3、4的球，这4个球除号码外完全相同，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为．
（Ⅰ）列出所有可能结果；
（Ⅱ）求事件“取出球的号码之和小于4”及事件 “编号”的概率．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）；
【解析】
【分析】
（Ⅰ）依次列出所有可能结果即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知基本事件个数是16个，“取出球的号码之和小于4”包含3个事件；“编号”包含6个事件，求概率即可．
【详解】（Ⅰ）所有可能的结果共有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16个
（Ⅱ）事件：“取出球的号码之和小于4”包含的结果有（1，1），（1，2），（2，1）共3个，
∴．
事件:“编号”包含的结果有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，∴．
【点睛】本题考查古典概型，用列举法列举基本事件是解题的关键，属于简单题．
16.已知的内角，，的对边分别为，，，满足．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据正弦定理将边角关系式化为边之间的关系，从而可凑得的形式，得到，进而得到；（Ⅱ）由正弦定理求得，利用同角三角函数关系得到；再利用二倍角公式得到；通过两角和差正弦公式求得结果.
【详解】（Ⅰ）
由正弦定理得：，化简得：
又
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，
由正弦定理得：
又
【点睛】本题考查正弦定理解三角形、同角三角函数关系、二倍角公式的应用、两角和差正弦公式的应用问题，属于常规题型.
17.如图，四棱柱的底面为菱形，底面，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）若，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）证明平面，可证与平面内的直线平行，则取的中点，连接，即可．
（Ⅱ）证明平面平面，可证平面，又因为平面，所以平面平面．
（Ⅲ）由（I）知，，则（或其补角）是异面直线与所成的角．在中，分别求出，，，通过余弦定理可求得与所成角的余弦值．
【详解】（Ⅰ）取的中点，连接，，
∵，，，，
∴，．
∴四边形是平行四边形．
∴．
又平面，平面，
∴平面．
（Ⅱ）菱形中，
∵， ∴，∴是等边三角形．
∴．∴．
又平面， ∴．
又 ,∴平面．
∴平面
∴平面平面．
（Ⅲ）由（I）知，，
则（或其补角）是异面直线与所成的角．
在中，∵，，，
∴．
∴异面直线与所成角的余弦值为．
【点睛】证明线面平行需要先证明线线平行；
证明面面垂直需要先证明线面垂直；
求异面直线所成角可通过平移共起点，构造三角形的方法求解．
18.已知数列满足，，设．
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）证明数列是等差数列；
（Ⅲ）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），，．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将分别代入递推关系式，求解出；再根据求得结果；（Ⅱ）将递推关系式左右同除可得到，符合等差数列定义式，从而证得结论；（Ⅲ）求出，进而可得的通项公式，采用分组求和的方法，分别对两个部分用错位相减法和等差数列求和方法进行运算，分组求解完毕后作和即可.
【详解】（Ⅰ）解：将代入得
又
将代入得
从而，，
（Ⅱ）证明：将两边同时除以得：
，即
数列是以为首项，为公差的等差数列
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得
设
两式相减得：
化简得
设
【点睛】本题考查利用数列递推关系式证明等差数列、等差数列通项公式的应用、数列求和方法中的等差数列求和、分组求和法和错位相减法；解题关键是能够根据通项公式的形式确定具体求和的方法，属于常规题型.
19.已知椭圆过点，且短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），点关于的对称点为，直线与椭圆交于另一点．设为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线与直线平行，说明见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据短轴长和椭圆上的点构造方程组，求解得到，从而得到标准方程；（Ⅱ）根据与关于对称，可知直线与斜率互为相反数；假设方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得两根之积为，从而求得，同理可得，从而可求得，再利用直线方程求得；根据两点连线斜率公式得到
，从而可得直线与直线平行.
【详解】（Ⅰ）由题意的：，解得，
椭圆的方程为
（Ⅱ）直线与直线平行，证明如下：
由题意，直线的斜率存在且不为零
关于对称，则直线与斜率互为相反数
设直线，
设，
由，消去得
同理
，
又
故直线与直线平行
【点睛】本题考查椭圆的标准方程求解、椭圆中的定值问题.本题解题的关键是能够通过直线与方程联立，借助韦达定理利用变量表示出点的坐标，从而可解得斜率为定值，进而证得结论.
20.已知函数，，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数单调区间；
（Ⅲ）用表示，中的较大者，记函数．若函数在内恰有2个零点，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）单调递增区间为和，单调递减区间为．（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）当时，，求出切点坐标和切线斜率，通过直线的点斜式方程可求出切线方程．
（Ⅱ）对函数求导，由导函数的正负求单调性，同时注意对参数的讨论．
（Ⅲ）由题可知函数在内单调递减，当时，，则函数无零点．再对当，当的情况进行分类讨论，最后得到答案．
【详解】解：（Ⅰ）当时，，
∴．
∵，，
∴曲线在点处的切线方程为，
即切线方程为．
（Ⅱ）由已知得，
（1）当时，，
∴函数在内单调递增．
（2）当时，令，
解得或．
由，解得或，
由，解得．
∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（Ⅲ）∵函数的定义域为．
∴． ∴函数在内单调递减．
（1）当时，，
依题意，，则函数无零点．
（2）当时，，，
①若，即，则是函数的一个零点；
②若，即，则不是函数的零点；
（3）当时，，只需考虑函数在）内零点的情况．
∵，
①当时，，函数在内单调递增．
又，
（ⅰ）当时，，函数在内无零点；
（ⅱ）当时，，
又，
此时函数内恰有一个零点；
②当时，由（Ⅱ）知，函数在内单调递减，在内单调递增．
∵，
，
∴此时函数在内恰有一个零点．
综上，实数的取值范围是．
【点睛】本题考查导函数问题，涉及求切线，研究函数的单调性以及通过导函数求零点问题，属于偏难题目．