江苏省江阴市四校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 10页

江苏省江阴市四校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 不等式x2-5x+6＜0的解集是（　　）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. ‎ 2. 与的等比中项是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知椭圆的长轴在x轴上，焦距为4，则m的值为（　　）‎ A. 8 B. ‎4 ‎C. 8或4 D. 以上答案都不对 4. ‎“a=‎-2”‎是“直线l1：ax-y+3=0与l2：2x-（a+1）y+4=0互相平行”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知数列{an}是递增的等比数列，a4=‎4a2，a1+a5=17，则S2019‎-2a2019的值为（　　）‎ A. 1 B. C. D. ‎ 6. 若椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F‎1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 若关于x的不等式x2-mx+4＞0在x∈[1，3]上有解，则实数m的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站‎10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（　　）‎ A. ‎4km B. ‎5km C. ‎6km D. ‎‎7km 11. 设f（n）=2+23+25+27+…+22n+7（n∈Z），则f（n）等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 12. 已知等差数列{an}首项为a，公差为1，，若对任意的正整数n都有bn≥b5，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 命题“∀x∈R，x2+2x+2＞‎0”‎的否定为​                        ．‎ 14. 在等比数列{an}中，an＞an+1且a7•a11=6，a4+a14=5，则=______．‎ 1. 已知椭圆的方程为（a＞b＞0），过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，直线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率为______．‎ 2. 已知x＞0，y＞0，且，则的最大值为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 3. 已知关于x的不等式：ax2-2（a+1）x+4＞0，a∈R． （1）当a=-4时，求不等式的解集； （2）当a＞0时，求不等式的解集． ‎ 4. 在等差数列{an}中，a2=3，a5=6． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和Sn． ‎ 5. 已知函数f（x）=x2+ax+3． （1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围． （2）当a∈[4，6]时，f（x）≥0恒成立，求x的取值范围． ‎ 6. 某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=‎800m，BC=‎1600m，CD=‎4000m，在点P处有一灯塔（如图），且点P到BC，CD的距离都是‎1200m，现拟将养殖区ACD分成两块，经过灯塔P增加一道分隔网EF，在△AEF内试验养殖一种新的水产品，当△AEF的面积最小时，对原有水产品养殖的影响最小．设AE=d． （1）若P是EF的中点，求d的值； （2）求对原有水产品养殖的影响最小时的d的值，并求△AEF面积的最小值．‎ ‎ ‎ 1. 在数列{an}中，已知，且2an+1=an+1（n∈N*）． （1）求证：数列{an-1}是等比数列； （2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn． ‎ 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2垂直于x轴，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ． （1）若点P的坐标为（2，3），求椭圆C的方程及λ的值； （2）若4≤λ≤5，求椭圆C的离心率的取值范围．‎ ‎ ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：不等式x2-5x+6＜0化为（x-2）（x-3）＜0， 解得2＜x＜3， 所以不等式的解集是{x|-2＜x＜3}． 故选：D． 把不等式化为（x-2）（x-3）＜0，求出解集即可． 本题考查了求一元二次不等式解集的应用问题，是基础题． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由a，b，c成等比数列，可得b为a，c的等比中项， 即有b=±． 则两数与的等比中项是± =±． 故选：C． 由a，b，c成等比数列，可得b为a，c的等比中项，即有b=±．代入计算即可得到所求值． 本题考查等比中项的定义和求法，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于基础题． 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵椭圆的长轴在x轴上， ∴m-2＞10-m＞0，解得6＜m＜10， ∵椭圆的焦距为4， ∴c2=m-2-10+m=4， 解得m=8． 故选：A． 利用椭圆的简单性质列出不等式求出m的范围，然后利用椭圆的焦距直接求解即可． 本题考查椭圆中参数的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：当a=-2时，l1：2x+y-3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件； 若直线l1：ax-y+3=0与l2：2x-（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=-2，或a=1，不是必要条件， 故选：A． 根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案． 本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：依题意，a4=‎4a2，所以q2=4， 又a1+a5=17=a1+‎16a1，所以a1=1， 因为数列{an}是递增的等比数列，所以q=2， 所以S2019‎-2a2019=-2×22019-1=22019-1-22019=-1， 故选：B． 由a4=‎4a2，得q=2，再将a1+a5=17，转化为a1的方程，求出a1，即可求出S2019‎-2a2019‎ 的值． 本题考查了等比数列的性质，等比数列的前n项和公式，等比数列的通项公式，属于基础题． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：椭圆（其中a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F‎1F2M的周长为16，可得‎2a+‎2c=16， 椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，可得，解得a=5，c=3，则b=4， 所以椭圆C的方程为：． 故选：D． 利用三角形△F‎1F2M的周长以及离心率列出方程求解a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】解：正数a、b满足ab=a+b+3， ∵a+b≥2，当且仅当a=b时取等号， ∴ab=a+b+3 解不等式可得，≥3或≤-1（舍） 则ab≥9 故选：A． 由基本不等式可得，ab=a+b+3，解不等式可求． 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤， 则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金， 由题意得，即， 解得d=， ∴每一等人比下一等人多得斤金． 故选：B． 根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案． 本题考查等差数列在实际问题中的应用，以及方程思想，是基础题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：关于x的不等式x2-mx+4＞0在x∈[1，3]上有解， 即m＜x+在x∈[1，3]上能成立． 设f（x）=x+，则f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增， 故当x=2时，f（x）取得最小值4， 又f（1）=5，f（3）=，故当x=1时，函数f（x）取得最大值． 则实数m＜5， 故选：A． 由题意可得m＜x+在x∈[1，3]上能成立．设f（x）=x+，求出函数f（x）在x∈[1，3]上的最大值，可得m的范围． 本题考查了含有参数的一元二次不等式在某一闭区间上有解的应用问题，考查构造法以及转化思想的应用．是基本知识的考查，属于中档题． ‎ ‎10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由题意可设y1=，y2=k2x， ∴k1=xy1，k2=， 把x=10，y1=2与x=10，y2=8分别代入上式得k1=20，k2=0.8， ∴y1=，y2=0.8x（x为仓库与车站距离）， 费用之和y=y1+y2=0.8x+≥2×4=8， 当且仅当0.8x=，即x=5时等号成立． 当仓库建在离车站‎5km处两项费用之和最小． 应选B． 据题意用待定系数法设出两个函数y1=，y2=k2x，将两点（10，2）与（10，8）代入求出两个参数．再建立费用的函数解析式．用基本不等式求出等号成立的条件即可． 本题是函数应用中费用最少的问题，考查学生建立数学模型的能力及选定系数求解析式，基本不等式求最值的相关知识与技能． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：依题意，f（n）可以看作以2为首选，4为公比的等比数列的前n+4项的和， 所以f（n）==， 故选：D． 依题意，f（n）可以看作以2为首选，4为公比的等比数列的前n+4项的和，代入等比数列的求和公式即可． 本题考查了等比数列的前n项和，找到公比和项数是解题关键，本题属于基础题． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】解：等差数列{an}首项为a，公差为1， 所以an=a+n-1， 所以， 则， 若对任意的正整数n都有bn≥b5， 所以（bn）min=b5=， 所以， 解得-5＜a＜-4． 故选：D． 直接利用数列的递推关系式求出函数的关系式，进一步利用函数的最小值和不等式的解法求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的关系式的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 13.【答案】∃x0∈R，x02+2x0+2≤0 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可，命题的否定仅否定原命题的结论，主要与否命题概念的混淆。 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题， ​所以，命题“∀x∈R，x2+2x+2＞‎0”‎的否定为：命题“∃x0∈R，x02+2x0+2≤‎‎0”‎ ‎． 故答案为：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：∵a7•a11=a4•a14=6 ∴a4和a14为方程x2-5x+6=0的两个根，解得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2 ∵an＞an+1 ∴a4=3，a14=2 ∴q10= 故== 故答案为： 根据等比中项的性质可知a7•a11=a4•a14求得a4•a14的值，进而根据韦达定理判断出a4和a14为方程x2-5x+6=0的两个根，求得a4和a14，则可求． 本题主要考查等比数列的性质．解题过程灵活利用了韦达定理，把数列的两项当做方程的根来解，简便了解题过程． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：因为椭圆的方程为（a＞b＞0），过椭圆右焦点F且与x轴垂直的直线与椭圆交于P，Q两点， 椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，得FQ=，MF=-c， 所以tan30°=====e， 所以e=， 故答案为：． 设F为右焦点，先求出FQ 的长，直角三角形FMQ中，由边角关系得tan30°=，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值． 本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小． 16.【答案】-25 ‎ ‎【解析】解：依题意，x＞0，y＞0，且，所以x＞1，y＞1，且，即x+y=xy， 所以=+=-9-4-（+）， 因为＞0，＞0， 所以=-13-（+）≤-13-2=-13-2=-13-12=-25． 当且仅当x=，y=时等号成立． 故答案为：-25． ，所以，即x+y=xy，且x＞1，y＞1，再结合基本不等式即可得到的最大值． 本题考查了基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．本题属于难题． 17.【答案】解：（1）根据题意，当a=-4时，原不等式化为-4x2+6x+4＞0， 变形可得：2x2-3x-2＜0，解可得：-＜x＜2， 即不等式的解集为（-，2）； （2）当a＞0时，原不等式变形可得（x-）（x-2）＞0， 若a=1，则不等式为（x-2）2＞0，其解集为{x|x≠2}， 若a＞1，（x-）（x-2）＞0⇒x＞2或x＜，不等式的解集为{x|x＞2或x＜}； 若a＜1，（x-）（x-2）＞0⇒x＜2或x＞，不等式的解集为{x|x＞或x＜2}； 综合可得：a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}， a＞1时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜}； a＜1时，不等式的解集为{x|x＞或x＜2}． ‎ ‎【解析】（1）根据题意，当a=-4时，原不等式化为-4x2+6x+4＞0，解可得x的取值范围，即可得不等式的解集； （2）当a＞0时，原不等式变形可得（x-）（x-2）＞0，按a的取值范围分情况讨论，求出不等式的解集，即可得答案． 本题考查不等式的解法，涉及含有参数问题的讨论，属于基础题． 18.【答案】解：等差数列{an}中，a2=3，a5=6． 可得d===1，a1=a2-d=2． 所以an=n+1． （2）bn===． 数列{bn}的前n项和Sn==． ‎ ‎【解析】（1）利用等差数列关系式求出公差，然后求解数列的通项公式． （2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可． 本题考查数列通项公式的求法，数列求和的方法：裂项消项法的应用，考查计算能力． 19.【答案】解：（1）∵函数f（x）=x2+ax+3，当x∈R时，f（x）≥a恒成立， ∴x2+ax+3-a≥0对任意x∈R恒成立， ∴△=a2-4（3-a）≤0， 化简得a2+‎4a-12≤0， 解得：-6≤a≤2； （2）设g（a）=x2+ax+3， 则由题可得：当a∈[4，6]时，恒有g（a）≥0， ∴ 即 解得， 即x≤-3-或x≥-3+， ∴x的取值范围是{x|x≤-3-或x≥-3+}． ‎ ‎【解析】（1）f（x）≥a恒成立，x2+ax+3-a≥0对任意x∈R恒成立，根据判别式进而求解； （2）设g（a）=x2+ax+3，转化成关于a的一次函数，进而求解． （1）考查不等式恒成立，不等式与二次函数的联系，判别式的应用； （2）考查转化思想，将关于x的函数转化为关于a的函数． 20.【答案】解：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则C（800，1600），B（800，0），P（-400，400），D（-3200，1600）． AC所在直线方程为y=2x，AD所在直线方程为y=-x． 设E（‎-2m，m），F（n，2n），m＞0，＞0． ∵P是EF的中点，∴，解得， ∴E（-960，480）， ∴d=|AE|==480． （2）∵EF经过点P，∴kPE=kPF， 即=，化简得‎80m+240n=mn． 由基本不等式得：mn=‎80m+240n≥160， 即mn≥76800，当且仅当m=3n=480时等号成立． ∵kAC•kAD=-1，∴AC⊥AD， ∴S△AEF=AE•AF=m•n=mn≥76800=192000， 此时E（-960，480），d=AE=480． 故对原有水产品养殖的影响最小时，d=480．△AEF面积的最小值为192000 m2． ‎ ‎【解析】（1）建立平面坐标系，求出直线AD，AC的方程，根据P为EF的中点列方程得出E点坐标，从而可计算d； （2）根据基本不等式得出AE•AF的最小值，进而求出△AEF的面积最小值． 本题考查了直线方程的应用，基本不等式的应用，属于中档题． 21.【答案】解：（1）∵2an+1=an+1（n∈N*）． ∴2（an+1-1）=an-1， ∵， ∴a1-1=且an-1≠0， ∴=， ∴数列{an-1}是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）可得：an-1=， ∴an= ∴bn=nan=n， ∴Tn=（）+（1+2+…+n）， 令An=， ∴=…+（n-1）+n， 两式相减可得，=， ==1- ∴An=2-2×-n=2- ∴Tn=2- ‎ ‎【解析】（1）由已知可得，2（an+1-1）=an-1，从而可证明数列{an-1}是等比数列； （2）由（1）可求an，进而可求bn，然后利用分组求和，结合等差数列的求和公式及错位相减求和方法即可求解． 本题主要考查了利用等比数列的定义证明等比数列，体现了转化思想的应用，还考查了等差数列的求和公式及错位相减求和方法的应用． 22.【答案】解：（1）∵PF2⊥x轴，且点P的坐标为（2，3）， ∴a2-b2=c2=4，=1， 解得：a2=16，b2=12， ∴椭圆C的方程为=1． ∴F1（-2，0），直线PF1 的方程为y=（x+2）， 将y=（x+2）代入椭圆方程，解得xQ=-， ∴λ=； （2）∵PF2⊥x轴，不妨设P在x轴上方， P（c，y0），y0＞0，设Q（x1，y1）． ∵P在椭圆上，∴=1，解得y0=，即P（c，）． ∵F1（-c，0），由PQ=λF1Q，得c-x1=λ（-c-x1），， 解得x1=-c，y1=-，∴Q（-c，-）， ∵点Q在椭圆上，∴=1，即（λ+1）2e2+（1-e2）=（λ-1）2． ∴（λ+2）e2=λ-2，从而e2=． ∵4≤λ≤5，∴，解得． ∴椭圆C的离心率的取值范围是[]． ‎ ‎【解析】（1）由PF2⊥x轴，且点P的坐标为（2，3），可得关于a，b，c的方程，联立求得a，b的值，则椭圆方程可求，写出直线PF1的方程，与椭圆方程联立，解得Q的横坐标，由λ=求解λ的值； （2）由PF2⊥x轴，不妨设P在x轴上方，可得P（c，y0），y0＞0，设Q（x1，y1），由P在椭圆上，解得P（c，），再由已知向量等式得Q的坐标，结合点Q 在椭圆上，可得．再由4≤λ≤5，即可求得椭圆C的离心率的取值范围． 本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． ‎