- 730.50 KB
- 2021-04-12 发布
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2．了解不等式(组)的实际背景．
3．掌握不等式的性质及应用．
知识点一 两个实数比较大小
1．作差法
2．作商法
答案
1．> ＝ < 2.> ＝ <
1．判断正误
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.( )
答案：(1)√ (2)×
2．(必修⑤P75习题3.1A组第2题改编)________
(填“>”“<”或“＝”)．
解析：分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2<＋，所以<.
答案：<
知识点二 不等式的性质
1．对称性：a>b⇔bb，b>c⇒______；
3．可加性：a>b⇔a＋c____b＋c，a>b，c>d⇒a＋c____b＋d；
4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
5．可乘方：a>b>0⇒an____bn(n∈N，n≥2)；
6．可开方：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．
答案
2．a>c 3.> > 5.>
3．判断正误
(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )
(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )
(3)同向不等式具有可加和可乘性．( )
(4)a>b>0，c>d>0⇒>.( )
(5)若ab>0，则a>b⇔<.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
4．设bb＋d D．a＋d>b＋c
解析：由同向不等式具有可加性可知C正确．
答案：C
5．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
解析：由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0.
答案：(－π，0)
热点一 比较两个数(式)的大小
【例1】 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
(2)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小．
【解析】 (1)∵M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)
又a1，a2∈(0,1)，故(a1－1)(a2－1)>0，故M>N.
(2)解：∵＝＝()a－b，
又a>b>0，故>1，a－b>0，
∴()a－b>1，即>1，
又abba>0，∴aabb>abba，
∴aabb与abba的大小关系为：aabb>abba.
【答案】 (1)B (2)aabb>abba
【总结反思】
比较大小的常用方法
(1)作差法：
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法：
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．
(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系.
(1)已知x∈R，m＝(x＋1)(x2＋＋1)，n＝(x＋)(x2＋x＋1)，则m，n的大小关系为( )
A．m≥n B．m>n
C．m≤n D．m0.
则有x∈R时，m>n恒成立，故选B.
(2)＝＝()16
＝()16()16＝()16，
∵∈(0,1)，∴()16<1.
∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，即ab>0，c B.<
C.> D.<
【解析】 由c－>0，又a>b>0，故由不等式性质，得－>－>0，所以<.
【答案】 D
考向2 不等式性质与函数性质的结合
【例3】 (2016·北京卷)已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A.－>0 B．sinx－siny>0
C．()x－()y<0 D．lnx＋lny>0
【解析】 解法1：因为x>y>0，选项A，取x＝1，y＝，则－＝1－2＝－1<0，排除A；选项B，取x＝π，y＝，则sinx－siny＝sinπ－sin＝－1<0，排除B；选项D，取x＝2，y＝，则lnx＋lny＝ln(xy)＝ln1＝0，排除D.故选C.
解法2：因为函数y＝()x在R上单调递减，且x>y>0，所以x”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③a0，则b>0，a<成立，如果a<0，则b<0，b>成立，因此“0”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a<或b>”成立，但条件0”的必要条件．即“0”的充分不必要条件．
(2)因为<<0，所以b0，所以a＋b0，b的符号不定，对于b>a
，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．
答案：(1)A (2)C (3)D
热点三 求取值范围
【例4】 已知－12且y>2 B．x<2且y<2
C．02且0