辽宁省朝阳市凌源市联合校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 15页

辽宁省凌源市联合校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题 ‎1.直线x+y-6=0的倾斜角为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线方程求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解直线的倾斜角．‎ ‎【详解】直线x+y-6=0的斜率k=，‎ 设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tan， ∴．即直线x+y-6=0倾斜角为． 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．‎ ‎2.l：与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A. 6 B. 1 C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解.‎ ‎【详解】当x=0时，y=2,‎ 当y=0时，x=3,‎ 所以三角形的面积为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3.已知直线与直线垂直，则的关系为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两直线垂直，列出等量关系，化简即可得出结果.‎ ‎【详解】因为直线与直线垂直，‎ 所以，‎ 即 选C ‎【点睛】根据两直线垂直求出参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型.‎ ‎4.已知直线l1：ax＋2y＋8＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的取值是（ ）‎ A. －1或2 B. －1 C. 0或1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】，选A.‎ ‎【点睛】本题考查由两直线平行求参数.‎ ‎5.直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以直线l过定点P.‎ 当CP⊥l时，弦AB最短.‎ 由题得,‎ 所以.‎ 所以直线l的方程为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6.抛物线的一条焦点弦为AB，若，则AB的中点到直线的距离是（）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出两点的坐标，根据抛物线方程求得的值，利用抛物线的定义，求得中点到直线的距离.‎ ‎【详解】设，抛物线方程为，故.根据抛物线的定义有，所以中点的横坐标为，故中点到直线的距离为，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦有关问题，属于基础题.‎ ‎7.设直线过点，其斜率为，且与圆相切，则的值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 直线为，‎ 圆心到直线距离，‎ 解出．‎ 故选．‎ ‎8.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于的不等式，解出该不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】椭圆的标准方程为，由于该方程表示焦点在轴上的椭圆，‎ 则，解得，因此，实数的取值范围是，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎9.双曲线经过点，且离心率为3，则它的虚轴长是（）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线经过的点和离心率，结合列方程组，解方程组求得 的值，进而求得虚轴长.‎ ‎【详解】将点代入双曲线方程及离心率为得，解得，故虚轴长，故本小题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线离心率，考查双曲线的几何性质，考查方程的思想，属于基础题.解题过程中要注意：虚轴长是而不是.‎ ‎10.已知直线，，则与之间的距离为（ ）‎ A. B. C. 7 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简的方程，再根据两平行直线的距离公式，求得两条平行直线间的距离.‎ ‎【详解】，由于平行，故有两条平行直线间的距离公式得距离为， 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.‎ ‎11.抛物线的焦点的坐标是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：本题已知：，则:，又焦点在y轴的正半轴上得：‎ 考点：已知抛物线方程求焦点坐标．‎ ‎12. △ABC的两个顶点为A（-4,0），B（4,0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（ ）‎ A. （y≠0） B. （y≠0）‎ C. （y≠0） D. （y≠0）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由坐标可知，由周长可知，由椭圆的定义可知，点在焦点为，半长轴为的椭圆上运动，由焦点以及半长轴可求得半短轴，则椭圆方程为，当点在横轴上时，点共线，不能构成三角形，所以，所以点的轨迹方程为（），故正确选项为A．‎ 考点：椭圆的概念．‎ ‎【易错点睛】本题主要考察椭圆的概念：到两定点距离之和等于定值的动点的轨迹．有已知条件可得到椭圆的半长轴以及焦点坐标，但是，要注意一点，题中要求三点构成三角形，也就是说这三点是不能共线的，即点不能在横轴上，所以在轨迹方程中要去掉纵坐标为的点．‎ 二、填空题 ‎13.已知集合M={y|y=x2，x∈R}，，则M∩N=______‎ ‎【答案】[0，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】∵M={y|y≥0}，=R，‎ ‎∴M∩N=[0，+∞）．‎ 故答案为：[0，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查了描述法的定义，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎14.如果双曲线的焦点在轴上，焦距为8，则实数________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化为标准式，再由焦距为8，列出m方程，即可得到结论．‎ ‎【详解】由题意，双曲线的焦点在y轴上，则=1，半焦距为4，则﹣m﹣3m＝16，‎ ‎∴m＝﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题．‎ ‎15.若实数，满足，那么的最大值是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：满足等式（x-2）2+y2=3的图形如下图所示：‎ 表示圆上动点与原点O连线的斜率，‎ 由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，取最大值，‎ 连接BC，在Rt△OBC中，BC=，OC=2‎ 易得∠BOC=60°‎ 此时=‎ ‎16.设双曲线的离心率为，其渐近线与圆相切，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出双曲线的渐近线方程，将渐近线与圆相切，转化为圆心到渐近线的距离等于圆的半径，于此可求出的值。‎ ‎【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，‎ 且，圆心到渐近线的距离为，‎ 化简得，解得，故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的渐近线以及直线与圆相切的问题，问题的关键就是将双曲线的渐近线方程表示出来，同时也要注意直线与圆相切的转化，考查计算能力，属于中等题。‎ 三、解答题 ‎17.已知直线l方程为（m+2）x﹣（m+1）y﹣3m﹣7＝0，m∈R．‎ ‎（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；‎ ‎（2）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）P（4，1）,证明见解析；（2）x +y-5=0或y=‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先分离参数，再令参数的系数等于0，求得x、y的值，可得直线l 恒过定点的坐标．（2）先求出直线l在x轴，y轴上的截距，再根据直线l在x轴，y轴上的截距相等，求得m的值，可得直线l的方程．‎ ‎【详解】（1）直线l方程为（m+2）x（m+1）y3m-7=0，m∈R，‎ 即m（xy3）+2xy7=0，令xy3=0，可得2xy7=0，‎ 联立方程组求得，可得直线l恒过定点P（4，1）．‎ ‎（2）若直线l在x轴，y轴上的截距相等， 令x=0，求得y=；令y=0，求得， ∴=，求得m=或， ∴直线l方程为x+y=0或x+y=0，即x +y5=0或y=．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线经过定点问题，直线的截距的定义，属于中档题．‎ ‎18.已知直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1． （1）求直线l的方程； （2）若直线l与圆C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求实数a的值．‎ ‎【答案】（1）y=2x+1；（2）a=-2或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程；（2）运用直线和圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径，解方程可得所求值．‎ ‎【详解】（1）直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1，‎ 可得直线l的斜率为=2，‎ 则直线l的方程为y3=2（x1），即y=2x+1； （2）若直线l与圆C：（xa）2+（y+a）2=5相切， 可得圆心（a，a）到直线l的距离为，即有 =，‎ 解得a=2或．‎ ‎【点睛】本题考查直线方程和圆方程的运用，考查直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎19.已知圆 ‎（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程；‎ ‎（3）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长．‎ ‎【答案】（1）；（2）或；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，根据圆心与关于直线对称，列出方程组，求得的值，即可求解；‎ ‎（2）由圆的弦长公式，求得，根据斜率分类讨论，求得直线的斜率，即可求解；‎ ‎（3）由直线，得直线过定点,根据时，弦长最短，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由题意，圆的圆心，半径为，‎ 设，因为圆心与关于直线对称，‎ 所以，解得，则，半径， ‎ 所以圆标准方程为： ‎ ‎（2）设点到直线距离为，圆的弦长公式，得，解得，‎ ‎①当斜率不存在时，直线方程为，满足题意 ‎②当斜率存在时，设直线方程为，则，解得，‎ 所以直线的方程为，‎ 综上，直线方程为或 ‎ ‎（3）由直线，可化为，可得直线过定点,‎ 当时，弦长最短，又由，可得，‎ 此时最短弦长为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的弦长公式，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎20.求满足下列条件的曲线的标准方程：‎ ‎（1），，焦点在轴上的椭圆；‎ ‎（2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上抛物线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先依据条件求出，再依的关系求出，最后写出方程；‎ ‎（2）先求出直线与坐标轴的交点，即得抛物线的焦点坐标，因此可以写出方程。‎ ‎【详解】（1）由，解得，所以，‎ 故所求的椭圆方程为；‎ ‎（2）直线与坐标轴的交点坐标分别是，‎ 当焦点坐标为时，，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：‎ 当焦点坐标为时，，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：。‎ ‎【点睛】本题主要考查利用椭圆性质求椭圆方程，以及利用抛物线性质求抛物线方程。‎ ‎21.（分）已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点的直线交椭圆于、两点．‎ ‎（）求椭圆的方程．‎ ‎（）当直线的斜率为时，求的面积．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意可得2a=，e=，从而解出椭圆方程；‎ ‎（2）设直线l的方程为y=x﹣1，从而联立方程，从而解出交点坐标，从而求面积；‎ 解析：‎ ‎（）由已知，椭圆方程可设为，‎ ‎∵长轴长为，离心率，‎ ‎∴，，‎ 故所求椭圆方程为．‎ ‎（）因直线过椭圆右焦点，且斜率为，‎ 所以直线的方程为，设，，‎ 由，得，解得，，‎ ‎∴．‎ ‎22.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B的横坐标为4． ‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程； （2）设点P为抛物线C上异于A，B的点，直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：HG•HE为定值，并求出定值．‎ ‎【答案】（1）y2=4x ‎（2），证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由AB的斜率为，可得，解得p=2即可；（2）设点，可得，，即可得HG•HE=．‎ ‎【详解】（1）由题意得：， 因为点B的横坐标为4，且B在x 轴的上方，所以， 因为AB的斜率为， 所以，整理得：， 即，得p=2， 抛物线C的方程为：y2=4x ‎． （2）由（1）得：B（4，4），F（1，0），准线方程x=1， 直线l的方程：， 由，解得或x=4，于是得． 设点，又题意n≠1且n≠-4， 所以直线PA：，令x=1，得， 即， 同理可得：， HG•HE=．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的性质，计算能力，转化思想，属于中档题．‎ ‎ ‎