- 135.50 KB
- 2021-04-12 发布
江苏省连云港市东海县2019-2020学年高一上学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把答案填涂在答题纸相应位置上．
1．设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{2，3}，则∁UM＝（ ）
A．{1，4} B．{1，3} C．{2，3} D．{3，4}
2．集合A＝{0，2，3}，满足{0}⊆M⊆A的集合M共有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
3．函数f（x）＝的单调减区间是（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0）和（0，+∞）
4．函数f（x）＝2+ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（0，2）
5．将函数f（x）＝lnx图象上所有的点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式g（x）＝（ ）
A．ln（x+1）+2 B．ln（x﹣1）﹣2 C．ln（x+1）﹣2 D．ln（x﹣1）+2
6．已知f（lnx）＝x+1，则f（x）＝（ ）
A．ex+1 B．ex﹣1 C．x+1 D．x2+1
7．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+1，则f（0）+f（﹣1）＝（ ）
A．3 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．已知a＝log1.60.6，b＝0.60.6，c＝1.60.6，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
9．已知关于x的方程x2﹣|x|﹣a＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（0，+∞） C． D．
10．若函数f（x）＝（mx+n）（x+n）（常数m，n∈R）是偶函数，且它的值域为（﹣∞，2]，则该函数的解析式为f（x）＝（ ）
A．﹣2x2+2 B．﹣x2+2 C．﹣4x2+2 D．x2+2
11．若函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或a≥0 B．a＜﹣1或a＞0 C．﹣1≤a≤0 D．﹣1＜a＜0
12．已知，则函数f（x）＝x2+|x﹣a|的最小值是（ ）
A．a2+1 B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案写在答题纸相应位置上．
13．已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（x）＝ ．
14．已知lg6＝a，lg15＝b，试用a，b表示lg48＝ ．
15．已知关于x的方程3x2﹣（m+2）x﹣m+3＝0的一个根在区间（0，1）上，另一个根在区间（1，2）上，则实数m的取值范围是 ．
16．已知函数f（x）＝x2+，若函数在x∈[2，+∞）上是单调递增的，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）；
（2）log4（24×642）+log318﹣log32+log52×log2125．
18．（10分）集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．
（1）当m＝2时，求A∪B；
（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知A，B两地相距24km．甲车、乙车先后从A地出发匀速驶向B地．甲车从A地到B地需行驶25min；乙车从A地到B地需行驶20min．乙车比甲车晚出发2min．
（1）分别写出甲、乙两车所行路程关于甲车行驶时间的函数关系式；
（2）甲、乙两车何时在途中相遇？相遇时距A地多远？
20．（12分）已知函数是偶函数．
（1）求实数m的值；
（2）若f（﹣1）+f（1）≠0，解方程f（x）＝﹣1．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），且f（x）在区间[1，2]上的最大值比最小值大2．
（1）求a的值；
（2）若函数y＝f（2x）+f（﹣2x）+2m[f（x）﹣f（﹣x）]在区间[1，+∞）的最小值是﹣2，求实数m的值．
22．（14分）已知函数f（x）＝x2+x﹣2，g（x）＝f（f（x）），设函数f（x）的所有零点构成集合A，函数g（x）的所有零点构成集合B．
（1）试求集合A，B；
（2）令h（x）＝g（x）﹣c（c∈R），求函数y＝h（x）的零点个数．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把答案填涂在答题纸相应位置上．
1．【解答】解：集合U＝{1，2，3，4}，
M＝{2，3}，
则∁UM＝{1，4}．
故选：A．
2．【解答】解：根据题意{0}⊆M⊆{0，2，3}，
满足题意的集合M为{0}、{0，2}、{0，3}、{0，2，3}共4个；
故选：B．
3．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}其导数f′（x）＝﹣，
分析可得：当x＞0时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
当x＜0时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；
综合可得：函数f（x）＝的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；
故选：D．
4．【解答】解：对于函数f（x）＝2+ax﹣1（a＞0，且a≠1），令x﹣1＝0，求得x＝1，y＝3，可得函数图象恒过定点（1，3），
故选：C．
5．【解答】解：函数f（x）＝lnx图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到g（x）＝ln（x﹣1），再向上平移2个单位长度得到k（x）＝ln（x﹣1）+2，
故选：D．
6．【解答】解：已知f（lnx）＝x+1，设lnx＝t，则x＝et，
所以f（t）＝et+1，故f（x）＝ex+1．
故选：A．
7．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0，且x＞0时，f（x）＝x2+1，
∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1+1）＝﹣2，
∴f（0）+f（﹣1）＝﹣2．
故选：D．
8．【解答】解：∵a＝log1.60.6＜log1.61＝0，
0＜b＝0.60.6＜0.60＝1，
c＝1.60.6＞1.60＝1．
∴c＞b＞a．
故选：C．
9．【解答】解：关于x的方程x2﹣|x|﹣a＝0有两个不同的实数根，可得x2﹣|x|＝a有两个实数根，也就是y＝x2﹣|x|与y＝a有两个交点，在坐标系中画出两个函数的图象，如图：
x＞0时，函数的最小值为：＝，
所以关于x的方程x2﹣|x|﹣a＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是：．
故选：D．
10．【解答】解：f（x）＝mx2+（mn+n）x+n2＝，且f（x）是偶函数，f（x）的值域为（﹣∞，2]，
∴，可知n＝0不合题意，m+1＝0，∴m＝﹣1，n2＝2，
∴f（x）＝﹣x2+2．
故选：B．
11．【解答】解：∵f（x）的定义域为R，
∴﹣1≥0，得≥1恒成立，
得x2+2ax﹣a≥0恒成立，
即判别式△＝4a2+4a≤0，得a（a+1）≤0，
得﹣1≤a≤0，
故选：C．
12．【解答】解：数f（x）＝x2+|x﹣a|＝．
当x≥a＞时，函数f（x）＝x2+x﹣a的对称轴方程为x＝，
函数在[a，+∞）上为增函数，其最小值为a2；
当x＜a时，f（x）＝x2﹣x+a的对称轴方程为x＝，当x＝时函数求得最小值为a﹣．
∵＞0．
∴a2＞a﹣．
∴函数f（x）＝x2+|x﹣a|的最小值是a﹣．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案写在答题纸相应位置上．
13．【解答】解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数）．
∵幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），
∴，解得α＝．
∴f（x）＝＝．
故答案为．
14．【解答】解：∵lg6＝a，lg15＝b，
∴，解得．
∴lg48＝lg3+4lg2＝．
故答案为：．
15．【解答】解：设函数f（x）＝3x2﹣（m+2）x﹣m+3，
由题意可知函数f（x）的一个零点在区间（0，1）上，另一个零点在区间（1，2）上，又因为开口向上，
所以，
解得：2＜m＜3．
故答案为：（2，3）．
16．【解答】解：∵函数f（x）＝x2+在x∈[2，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＝2x﹣＝≥0在x∈[2，+∞）上恒成立；
∴2x3﹣a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，+∞）上恒成立，
∴a≤2×23＝16
∴实数a的取值范围为a≤16．
故答案为：（﹣∞，16]．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）log4（24×642）+log318﹣log32+log52×log2125
＝
＝8+2+3＝13．
18．【解答】解：（1）当m＝2时，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}＝{x|1＜x＜5}，
又A＝{x|﹣2＜x＜4}，所以A∪B＝{x|﹣2＜x＜5}；
（2）由A∩B＝B，则B⊆A，
当B＝∅时，有m﹣1≥2m+1，解得m≤﹣2，满足题意；
当B≠∅时，应满足，解得﹣1≤m≤；
综上所述，m的取值范围是m∈（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，]．
19．【解答】解（1）设甲车行驶时间为x（min），甲车、乙车所行路程分别为f（x）（km）、g（x）（km）．
则甲车所行路程关于行驶时间的函数为f（x）＝x＝0.96x，（0≤x≤25）；
乙车所行路程关于甲车行驶时间的函数关系式为g（x）＝．
（2）设甲、乙两车在甲车出发x（min）时途中相遇，则2＜x＜22．
于是0.96x＝1.2（x﹣2），解得x＝10，
f（10）＝9.6（km）．
答：甲、乙两车在甲车出发10min时途中相遇，相遇时距甲地9.6km．
20．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）恒成立，
即，
∴，
∴
∴2x+m＝1+m•2x或2x+m＝﹣1﹣m•2x
即（2x﹣1）（m﹣1）＝0或（2x+1）（m+1）＝0
所以m＝1或m＝﹣1．
当m＝1时，f（x）＝0，x∈R，满足题意；
当m＝﹣1时，，定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝f（x），满足题意．
故m＝1或m＝﹣1．
（2）若f（﹣1）+f（1）≠0，
则由（1）知，m＝﹣1，
∴，
由f（x）＝﹣1，得，
∴，
∴2（1﹣2x）＝2x+1或2（1﹣2x）＝﹣（2x+1）
∴或2x＝3
解得x＝﹣log23或x＝log23．
21．【解答】解：（1）当a＞1时，a2﹣a＝2，解得a＝2，或a＝﹣1（舍去）
当0＜a＜1时，a﹣a2＝2，a无实数解．
综上a＝2．
（2）函数y＝f（2x）+f（﹣2x）+2m[f（x）﹣f（﹣x）]
＝22x﹣2﹣2x+2m（2x﹣2﹣x）
令g（x）＝2x﹣2﹣x，x∈[1，+∞），任取x1＞x2≥1，
因＝，
x1＞x2，所以﹣x2＞﹣x1，有，，所以g（x1）＞g（x2）．
则g（x）在[1，+∞）上单调递增，故．
令g（x）＝t，因此，t≥，所以问题转化为：
函数h（t）＝t2+2mt+2在[，+∞）上有最小值﹣2，求实数m的值．
因h（t）＝（t+m）2+2﹣m2，对称轴方程为t＝﹣m，
当m≥﹣时，y＝h（t）在[，+∞）上单调递增，
故h（t）min＝h（）＝3m+，由3m+＝﹣2，
解得m＝﹣与m≥﹣矛盾，
当m＜﹣时，h（t）min＝h（﹣m）＝2﹣m2，由2﹣m2＝﹣2，解得m＝﹣2或m
＝2（舍去），
综上，m＝﹣2．
22．【解答】解：（1）f（x）＝x2+x﹣2，令f（x）＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1，
故A＝{﹣2，1}
令f（x）＝t，则g（x）＝f（t）＝t2+t﹣2，由上面知，f（t）的零点为﹣2，1
当t＝﹣2时，x2+x﹣2＝﹣2，即x2+x＝0，解得x1＝﹣1，x2＝0；
当t＝1时，x2+x﹣2＝1，即x2+x﹣3＝0，解得x3＝﹣，x4＝
故B＝{﹣，﹣1，0，}
（2）令f（x）＝t，h（x）＝g（x）﹣c＝t2+t﹣（c+2），令t2+t﹣（c+2）＝0（*）
①当△＝1+4（c+2）＝4c+9＜0，
即c＜﹣时，方程（*）无实数解，h（x）零点个数为0个；
②当c＝﹣时，解方程（*），得t＝﹣，由f（x）＝﹣，得x2+x﹣＝0，
因为△1＝1﹣4×（﹣）＝7＞0，
所以该方程有两实数解，从而h（x）的零点个数为2个；
③当c＞﹣时，解方程（*）得，t1＝﹣，t2＝，
由f（x）＝t1，得x2+x+﹣2＝0（**），△1＝7﹣2，
由f（x）＝t2，得x2+x﹣（2+）＝0 （***），△2＝7+2，
因为△2＞0，所以方程（***）必有两实数解；
若△1＜0，即c＞时，方程（**）无实数解；从而h（x）的零点个数为2个；
若△1＝0，即c＝时，方程（**）有两个相等的实数解；从而h（x）的零点个数为3个；
若△1＞0，即﹣＜c＜时，方程（**）有两个不等的实数解；从而h（x）的零点个数为4个．
故当c＜﹣时，h（x）的零点个数为0个；
当c＝﹣或c＞时，h（x）的零点个数为2个；
当c＝时，h（x）的零点个数为3个；
当﹣＜c＜时，h（x）的零点个数为4个．