2017-2018学年山东省济南外国语学校、济南第一中学等四校高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版） 11页

‎2017-2018学年山东省济南外国语学校、济南第一中学等四校高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：取，排除选项，取，排除选项，取，排除选项，显然，对不等式的两边同时乘成立，故选．‎ ‎【考点】不等式性质 ‎2．在 中， ， ， ，则 等于（ ）‎ A. 或 B. C. D. 以上答案都不对 ‎【答案】C ‎【解析】由题 中， ， ， ，则由正弦定理 得 结合，可得或 ，又，得 ，（舍去）.‎ 故选C.‎ ‎3．下列四个结论中正确的个数为（ ）‎ ‎①命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 或 ，则 ”；‎ ‎②已知： ， ， ：若 ，则 ，则 为真命题；‎ ‎③命题“ ， ”的否定是“， ”；‎ ‎④“ ”是 的必要不充分条件.‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】B ‎【解析】①错，逆命题不需要否定。②错，因为 假，m=0时不等式不成立。③对，④错“”是“”的充分不必要条件.选B.‎ ‎【点睛】‎ 四种命题分别是原命题,逆命题,否命题以及逆否命题,它们之间的关系是,若原命题为“若p则q”,则逆命题为“若q则p”,否命题为“若则”,逆否命题为“若则”.‎ ‎4．原点和点 在直线 两侧，则 的取值范围是（ ）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵原点和点在直线的两侧， ∴对应式子的符号相反， 则对应式子的乘积符号相反， 即- 即 ‎ 故选B．‎ ‎5．等差数列，，，则此数列前项和等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，得 得a1+a20= ‎ 所以S20= ‎ 故选D ‎6．中心在原点，焦点在 轴上， 若长轴长为 ，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】长轴，长轴三等分后，故，故选.‎ ‎7．在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在等比数列{an}中，由，得 ‎ 则 ‎ 故选A.‎ ‎8．下列函数中最小值为 的是（ ）‎ A. B. （ ） C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A. ，定义域为，故A的最小值不为；‎ B．令 ‎ 因此函数单调递减， 不成立． C． 当且仅当时取等号，成立． D． 时， 不成立． 故选C． ‎ ‎9．“ 且 ”是“”（ ， ， ， ）的）（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】“ 且 ” 反之不成立． ∴“ 且 ”是“”的充分非必要条件． 故选A．‎ ‎10．已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】已知双曲线双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，离心率 ‎ ‎ ，故选C ‎【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．‎ ‎11．已知实数 、 满足 ，求 的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由线性约束条件作出可行域如图， 的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率， ‎ 的最大值为3．‎ 故选C.‎ ‎12．设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与抛物线的准线相交于点 ， ，则 与 的面积之比 等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图过作准线的垂线，垂足分别为 又 ‎ 由拋物线定义 由 知， ‎ 把 代入上式，求得 ‎ 故 故选A．‎ 二、填空题 ‎13．数列 的前 项和 ，则通项公式是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为数列的前n项和为 那么根据已知条件可知结论。‎ ‎14．点 平分双曲线 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设弦的两端点分别为 的中点是 把代入双曲线 得 ，‎ ‎∴ ‎ ‎∴这条弦所在的直线方程是 ‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查弦中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．‎ ‎15．在 中，若 ， ，则 等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由 得 所以，即 则 ，又 所以 ‎ 故答案为.‎ ‎16．设点 ， 为椭圆的右焦点，点为椭圆上动点，当 取最小值时，点 的坐标为 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题椭圆中， 离心率 记点到右准线的距离为 则根据圆锥曲线的统一定义，得 ‎ 可得，从而得到， 由此可得：当 同时在垂直于右准线的一条直线上时， 取得最小值，此时的纵坐标与的纵坐标相等，即 ，代入到椭圆方程，解得 而点在第一象限，可得 ‎ 即答案为.‎ 三、解答题 ‎17．已知关于 的命题 ：关于 的 ；命题 ： （ ），若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：分别确定命题，对应的范围，再由 是 的必要不充分条件，进而得出，最后解不等式组即可．‎ 试题解析： ： ，解得 ，或 ， .‎ ‎ ： ， ，解得 ，或 ， ‎ ‎∵ 是 的必要非充分条件，∴，即 ，∴ ‎ ‎18．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边， ， .‎ ‎（1）求 的面积；‎ ‎（2）若 ，求角 .‎ ‎【答案】(1)14;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求出的值，再由同角三角函数基本关系式求出，从而求出三角形的面积即可；（2）根据余弦定理即正弦定理计算即可．‎ 试题解析：（1）∵ ， ， ‎ ‎∴ ，∵ ，∴ ，∴ ‎ ‎（2） ， ，∴ ‎ 由余弦定理得， ‎ ‎∴ ，由正弦定理： ，∴ ‎ ‎∵ 且 为锐角，∴ 一定是锐角，‎ ‎∴ ‎ ‎19．已知 ， ， .‎ ‎（1）求 的最小值；‎ ‎（2）求 的最小值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出； （2）由，变形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．‎ 试题解析：(1)由 ，得 ,又 ， ，故,‎ 故，当且仅当即时等号成立，∴ ‎ ‎(2)由2,得,则 .当且仅当即时等号成立.∴ ‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．‎ ‎20．已知数列 的前 项和为 ，且 对一切正整数 均成立.‎ ‎（1）求出数列 的通项公式；‎ ‎（2）设 ，求数列 的前 项和.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用已知条件，推出数列的递推关系式，数列是首项为6，公比为2的等比数列，然后求解通项公式． （2）利用错位相减法，求解数列的和即可．‎ 试题解析：（1）由已知得 ，则 ，‎ 两式相减并整理得： ，所以 ‎ 又 ，所以 ，所以 ‎ 所以 ，所以 ‎ 故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.‎ 所以 ，即 .‎ ‎（2） .设 ，①‎ 则 ，②‎ ‎② ①，得 ‎ ‎∴ .‎ ‎21．已知函数 .‎ ‎（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若 对一切实数 恒成立，求 的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 的取值范围.‎ ‎【解析】试题分析：⑴由，即，解得： ，又由条件该不等式的解为，所以，解得 ‎⑵在⑴的条件下， 对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立，所以．‎ 又，所以．‎ ‎【考点】解绝对值不等式及函数最值 点评：本题第二问中将不等式恒成立转化为求函数最值，然后借助于绝对值性质求得最值，除此外还可利用绝对值的几何意义求最值 ‎22．已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ，（ 为原点）‎ ‎（1）求双曲线 的方程；‎ ‎（2）若直线 ： 与双曲线恒有两个不同的交点 和 ，且，求 的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 双曲线 的方程为;(2) 的取值范围为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意设出双曲线的方程，再由已知a和c的值求出b2的值，则双曲线C的方程可求； （2）直接联立直线方程和双曲线方程，化为关于的方程后由二次项系数不等于0且判别式大于0求解的取值范围，然后结合得答案．‎ 试题解析：（1）设双曲线方程为 （ ， ）‎ 由已知得 ， ，再由 ，得 ，所以双曲线 的方程为 ‎ .‎ ‎（2）将 代入 得 ‎.由直线 与双曲线交于不同的两点得即 且 .①‎ 设 、 ，则 ， ，‎ 由 得 ，而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 于是 ，即 .解此不等式得 ，②由①②得 ‎ 故 的取值范围为.‎