2019-2020学年天津市西青区高二上学期期末考试数学试题（解析版） 19页

‎2019-2020学年天津市西青区高二上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据复数运算法则求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．‎ ‎2．“”是“”的( )‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据与互相推出的结果判断出是的何种条件.‎ ‎【详解】‎ 因为时，，所以不一定成立，‎ 又因为时，，所以一定成立，‎ 所以是的必要非充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 根据若则的形式，如果，则是的充分条件，反之则是非充分条件；如果，则则是的必要条件，反之则是非必要条件.‎ ‎3．已知空间向量1，，，且，则　　‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求解x的值．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，空间向量1，，，且，‎ 所以，所以，即，解得.‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎4．设等差数列的前项之和为已知，则（ ）‎ A．12 B．20 C．40 D．100‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由等差数列的通项公式可得，由可得，从而可得结果.‎ 详解：由等差数列的前项和的公式得：‎ ‎，‎ 即，‎ 从而，故选B.‎ 点睛：本题主要考查数列的通项公式与求和公式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.‎ ‎5．抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 焦点坐标是 ,选B.‎ ‎6．数列的前项和为，若，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将数列的通项公式化简变形,结合裂项法即可求得.‎ ‎【详解】‎ 数列的前项和为,若 则 所以 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了裂项求和法的应用,属于基础题.‎ ‎7．设.若是与的等比中项，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等比中项定义,可得等量关系.结合基本不等式中“1”的代换,即可求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 根据等比中项定义,可知 化简可得 所以 ‎ 因为.‎ 则 当且仅当时取等号,即 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了等比中项定义简单应用,基本不等式求最值,属于中档题.‎ ‎8．已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线、的离心率相同.若是双曲线一条渐近线上的点，且（为原点），若，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据双曲线可求得其离心率,两个双曲线的离心率相等可得双曲线中的关系;由双曲线的渐近线方程,结合点到直线距离公式可求得,表示出,再根据求得的关系,结合双曲线中解方程组即可求得,进而得双曲线的方程.‎ ‎【详解】‎ 双曲线 则其离心率为 ‎ 设,双曲线的一条渐近线方程为,即 则 由可得,所以 ‎ 又因为双曲线、的离心率相同 则, 解方程组可得 ‎ 所以双曲线的方程为 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线性质的简单应用,双曲线标准方程的求法,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎9．命题：. 则为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据全称量词的否定,即可得解.‎ ‎【详解】‎ 命题：‎ 由全称量词的否定可得命题:‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了全称命题的否定形式,属于基础题.‎ ‎10．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线为2x﹣y=0，则该双曲线的离心率为 ．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析：当双曲线焦点在x轴上时，可设标准方程为 ‎（a＞0，b＞0），此时渐近线方程是，与已知条件中的渐近线方程比较可得b=2a，最后用平方关系可得c=a，用公式可得离心率e==；当双曲线焦点在y轴上时，用类似的方法可得双曲线的离心率为．由此可得正确答案．‎ 解：（1）当双曲线焦点在x轴上时，‎ 设它的标准方程为（a＞0，b＞0）‎ ‎∵双曲线的一条渐近线方程是2x﹣y=0，‎ ‎∴双曲线渐近线方程是，即y=±2x ‎∴⇒b=2a ‎∵c2=a2+b2‎ ‎∴==a 所以双曲线的离心率为e==‎ ‎（2）当双曲线焦点在y轴上时，‎ 设它的标准方程为（a＞0，b＞0）‎ 采用类似（1）的方法，可得⇒‎ ‎∴==‎ 所以双曲线的离心率为e==‎ 综上所述，该双曲线的离心率为或 故答案为或 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎11．已知等比数列中，，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先将式子通分化简，结合等比数列通项公式化简，可得关于的一元二次方程.解得的值，代入中检验值是否符合要求，舍去不符合要求的解.‎ ‎【详解】‎ 等比数列中，，‎ 通分可得，‎ 即，‎ 所以由等比数列通项公式可知 ，‎ 化简可得，‎ 解得或 ，‎ 当时，与矛盾，‎ 当时，，解得，‎ 综上可知，，‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列通项公式的简单应用，注意检验所求的公比是否符合题意，属于基础题.‎ ‎12．以下五个命题中：‎ ‎①若，则的取值范围是；‎ ‎②不等式，对一切x恒成立，则实数的取值范围为；‎ ‎③若椭圆的两焦点为、，且弦过点，则的周长为16；‎ ‎④若常数，，，成等差数列，则，，成等比数列；‎ ‎⑤数列的前项和为=+2－1，则这个数列一定是等差数列.‎ 所有正确命题的序号是_____________.‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】对于①由不等式性质可判断;对于②讨论当和两种情况,即可判断;对于③根据椭圆方程求得,求得的周长, 即可作出判断;对于④由等差中项与等比中项定义和性质,即可判断;对于⑤根据数列中 ‎,结合首项即可判断数列是否为等差数列.‎ ‎【详解】‎ 对于①,,则,所以,故①错误;‎ 对于②,当时,不等式变为,对一切x恒成立,所以成立;当时,由二次函数的性质可知,解得.综上可知,故②错误;‎ 对于③,椭圆.则.弦过点,则的周长为,故③错误;‎ 对于④,,,成等差数列则.常数,则,所以,,成等比数列,故④正确;‎ 对于⑤,数列的前项和为,当时,代入解得.当时,由可得,化简可得.且,所数列是从第二项开始的等差数列.故⑤错误.‎ 综上可知,正确的为④.‎ 故答案为: ④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式性质的简单应用,一元二次不等式恒成立问题,椭圆中焦点三角形的周长求法,等差中项与等比中项的简单应用,根据求通项公式及等差数列的判断,综合性强,属于中档题.‎ ‎13．《张丘建算经》卷上第题中 “女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布尺，天共织布尺，则该女子织布每天增加______________尺.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可知,该女子每天织布的量成等差数列,由等差数列的前n项和公式即可求得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知, 该女子每天织布的量成等差数列, ‎ 设该女子每天织布增加尺.‎ 由等差数列的前n项和公式 ‎ 代入可得 解得 ‎ 所以该女子织布每天增加尺 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列前n项和公式的简单应用,属于基础题.‎ ‎14．已知椭圆与双曲线有相同的焦点和,若是、的等比中项,是与的等差中项,则椭圆的离心率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 因为椭圆与双曲线 有相同的焦点，所以，① ，② ， ③ 将代入得，代入得，再代入得，得，故答案为.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查椭圆与双曲线简单性质及椭圆的离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题的解答，是利用方法①直接求出，进而求出离心率的．‎ 三、解答题 ‎15．已知递增的等比数列满足且是的等差中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若是数列的前项和，求的值．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）根据等差中项性质,结合等比数列通项公式,解方程组即可求得公比.由等比数列为递增数列舍去不符合要求的.将符合要求的代入方程可得,进而得数列的通项公式;‎ ‎（2）根据对数运算化简即可求得数列的通项公式,结合等差数列的前n项和公式即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）等比数列为递增数列,等差中项性质可得 结合等比数列通项公式可得 解方程组可得或 ‎ 当数列为递减数列,不符合题意 所以,代入可得 ‎ 所以 即 ‎（2）由（1）可得 则 为数列的前项和 所以由等差数列前n项和公式可得 即 ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用,等差中项的应用,等差数列前n项和的简单应用,属于基础题.‎ ‎16．解关于不等式：‎ ‎【答案】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，‎ ‎【解析】试题分析：‎ 当时，；当时，‎ 当时，；当时，；当时，‎ ‎【考点】解不等式 点评：本题中的不等式带有参数，在求解时需对参数做适当的分情况讨论，题目中主要讨论的方向是：不等式为一次不等式或二次不等式，解二次不等式与二次方程的根有关，进而讨论二次方程的根的大小 ‎17．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，它与双曲线：交于点，抛物线的准线过双曲线的左焦点. ‎ ‎（1）求抛物线与双曲线的标准方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线过点且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）抛物线方程为;双曲线的方程为.（2）直线的方程为或 ‎【解析】（1）根据抛物线的准线过双曲线的左焦点,可知抛物线开口向右,则设抛物线方程为,代入即可求得抛物线方程;由抛物线方程可得抛物线的准线方程,进而得双曲线的,由双曲线中的关系及代入 ‎,解方程可求得,即可得双曲线的标准方程.‎ ‎（2）讨论直线的斜率和两种情况:当时一定成立,由所过定点坐标可得直线方程;当时,联立直线与抛物线方程,由判别式即可求得斜率,再由点斜式可得直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为抛物线的准线过双曲线的左焦点,‎ 设抛物线方程为 ‎ 由抛物线过,代入可得 解得,所以抛物线方程为 抛物线的准线方程为,所以双曲线的 同时将代入双曲线方程,即 解方程组可得 ‎ 所以双曲线的标准方程为 ‎（2）斜率为的直线过点且与抛物线只有一个公共点 当时,直线方程为,满足题意 当时,直线可设为 则,化简可得 ‎ 由与直线抛物线只有一个公共点 可得 ‎ 解得,所以直线的方程为 综上可得直线的方程为或 ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线标准方程与双曲线标准方程的应用,直线与抛物线位置关系的应用,属于基础题.‎ ‎18．在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面 平面.，， 且点为的中点．‎ ‎（1） 求证：平面；‎ ‎（2） 求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3） 在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析;（2）（3）不存在,理由见解析 ‎【解析】（1）根据菱形与矩形性质,可得,,因而.所以可知四边形为平行四边形.由中位线定理可证明,即可由线面平行判断定理证明平面;‎ ‎（2）根据题意建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得和平面的法向量,即可求得与夹角的余弦值,即为与平面所成角的正弦值;‎ ‎（3）假设线段上存在点,使二面角的大小为.设出点的坐标,并求得平面和平面的法向量,根据夹角为及向量数量积运算,求得的值,再判断是否符合在线段上,即可说明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明:因为四边形是菱形,是矩形,‎ 所以,‎ 所以 所以四边形为平行四边形 设对角线的交点为,连接 由点为的中点,点为的中点 根据中位线定理可得,‎ 又因为平面,平面,‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为是矩形,且平面平面.‎ 所以平面.‎ 又因为 所以 则以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 因为且点为的中点 则 则,‎ 设平面的法向量为 则,代入可得 令,解得 ‎ 所以 设直线与平面所成角为 则 ‎ 即直线与平面所成角的正弦值为 ‎（3）假设线段上存在点,使二面角的大小为.设 ‎ 则 ‎ 设平面的法向量为 ‎ 则,代入可得 令,则 又因为平面的法向量为 所以由二面角的大小为 可得 解得 ‎ 因为,所以不合题意 所以线段上不存在点,使二面角的大小为 ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行的判定,空间向量在求线面夹角中的应用,根据面面夹角判断是否满足某种条件的点是否存在,属于中档题.‎ ‎19．已知数列的前项和为，，，数列中，，满足. ‎ ‎（1） 求出，的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求使得时，对所有的恒成立的最大正整数值.‎ ‎【答案】（1）, （2）6‎ ‎【解析】（1）根据,结合递推公式作差,即可证明为等比数列,结合即可得的通项公式;将变形,结合累乘法即可求得数列的通项公式.‎ ‎（2）由（1）可得数列的通项公式.由错位相减法可求得数列的前项和.根据的单调性可求得的最小值,代入解不等式即可求得最大正整数值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意 则,（）‎ 两式相减可得 化简可得 由 所以数列是以为首项,以为公比的等比数列 则 数列中,,满足. ‎ 即 ‎ ‎ 等式左右两边分别相乘可得 而 所以 ‎（2）,由（1）可得 数列的前项和为 则 两式相减可得 所以 即 因为为递增数列,所以 故只需 变形可得 所以 即最大正整数值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了根据递推公式求数列的通项公式,累乘法在求数列通项公式中的应用,错位相减法求数列的前n项和,不等式中的恒成立问题,综合性强,属于中档题.‎ ‎20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．‎ ‎【答案】(1)＋＝1. (2)‎ ‎【解析】【详解】试题分析：解：(Ⅰ)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c＝1.‎ 因为椭圆C的离心率为，‎ 所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3. ‎ 故椭圆C的方程为＋＝1. ‎ ‎(Ⅱ)当MN⊥x轴时，显然y0＝0. ‎ 当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)． ‎ 由 消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0. ‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，‎ 则x1＋x2＝.‎ 所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝. ‎ 线段MN的垂直平分线的方程为 y＋＝－.‎ 在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝. ‎ 当k<0时，＋4k≤－4；当k>0时，＋4k≥4.‎ 所以－≤y0<0或0