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- 2021-04-12 发布
江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试
高三数学试卷（理）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上
（必做题部分）
一、填空题（每小题5分，共70分）
1、已知集合，，则 ▲ ．
2、已知，，，命题“若，则≥”的否命题是______▲_____．
3、若的值为 ▲ .
4、函数单调递减区间是 ▲ ．
5、已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45°，若向量(λa+ b)⊥(a+λb)，则实数λ的值
为 ▲ ．
6、设函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则＝ ▲ ．
7、设是正项数列，其前项和满足：,则= ▲ ．
8、已知命题：在上有意义，命题：函数的定义域为．如果和有且仅有一个正确，则的取值范围 ▲ ．
9、设函数的图象为曲线，动点在曲线上，过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合），设线段的长为，则函数单调递增区间 ▲ ．
10、当时，恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
11、已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是 ▲
12、设x∈，则函数y＝的最小值为___▲_____．
13、设实数，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，实数的取值的集合为 ▲ ．
14、已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝ ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、设向量＝(4cosα，sinα)，＝(sinβ，4cosβ)，＝(cosβ，－4sinβ)．
(1)若与垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求证：∥.
16、(本题满分14分)
已知函数，其中且.
（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
（2）对于函数，当时，，求实数m的取值范围；
（3）当时，的值恒为负数，求函数a的取值范围.
17、设数列的前项和为，且满足＝…．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，且，求数列的通项公式；
（III）设，求数列的前项和．
18、某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE、DF是两根支杆，其中AB＝2 m，∠EOA＝∠FOB＝2x(0＜x＜)．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k(k＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．
(1) 试将y表示为x的函数；
(2) 试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？
19．（本小题满分16分）
已知函数（）的图象为曲线．
（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知数列，满足：．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，且．
①记，求证：数列为等差数列；
②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．
江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试
数学Ⅱ（理科附加题）
21、自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，则∠MPB的大小 ．
22、 如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
⑴判断BE是否平分∠ABC，并说明理由． ⑵若AE=6，BE=8，求EF的长．
A
B
C
O
E
F
D
23. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种
一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，
不同的栽种方法有______种.
24．已知展开式的各项依次记为．
设．
（1）若的系数依次成等差数列，求的值；
（2）求证：对任意，恒有.
江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试
班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________
装订线内请勿答题
高三数学答卷（理）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8. 9.
10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题：本大题共5小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
[来源:学科网ZXXK]
16．（本小题满分14分）
17．（本小题满分15分）
18．（本小题满分15分）
19．（本小题满分16分）
[来源:学科网]
20．（本小题满分16分）
[来源:学.科.网]
数学Ⅱ（理科附加题）答卷
班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________
装订线内请勿答题
21、已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是线段OA上一点，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E，则∠OBP＋∠AQE的度数为
22、 如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
⑴判断BE是否平分∠ABC，并说明理由． ⑵若AE=6，BE=8，求EF的长．
A
B
C
O
E
F
D
23. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是 ．（用数字作答）
24．已知展开式的各项依次记为．
设．
（1）若的系数依次成等差数列，求的值；
（2）求证：对任意，恒有.
江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期中考试
高三数学试卷（理）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上
（必做题部分）
一、填空题（每小题5分，共70分）
1、已知集合，，则 {4} .
2、已知，，，命题“若，则≥的否命题是___________．
若，则＜；
3、若的值为 .
4、函数单调递减区间是 ▲ 。（0，2）
5、已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45°，若向量(λa+ b)⊥(a+λb)，则实数λ的值
为 ▲ ．
6、设函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则＝ ▲ 。
7、设是正项数列，其前项和满足：,则= ▲ ．
8、已知命题：在上有意义，命题：函数的定义域为．如果和有且仅有一个正确，则的取值范围 ．
9、设函数的图象为曲线，动点在曲线上，过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合），设线段的长为，则函数单调递增区间 ．
10、当时，恒成立，则实数a
的取值范围是 ．
11、已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是 ▲
12、设x∈，则函数y＝的最小值为________．
13、设实数，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，实数的取值的集合为 ▲ 。
14、已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝ ▲ 。A． B． C．45 D．55
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.
解、(1)因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0.
所以4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，所以tan(α＋β)＝2.
(2)由条件得，b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)．[来源:Z,xx,k.Com]
所以|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β.
又17－15sin2β的最大值为32，
所以|b＋c|的最大值为4.
(3)证明：由tanαtanβ＝16得，sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.[来源:Zxxk.Com]
16、(本题满分14分)
解：（1）由得，…………………………2’
因为定义域为R，，所以为奇函数，……4’
2 因为，当及时，，
所以为R上的单调增函数；……………………………………………………6’
（2）由得，
又，则，得；……………………………10’
（3）因为为R上的单调增函数，所以当时，的值恒为负数，
所以恒成立，
，…………………………………………………12’
整理得，所以，
又且，所以实数a的取值范围是.…………14’
错误！未定义书签。
17、设数列的前项和为，且满足＝…．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，且，求数列的通项公式；
（III）设，求数列的前项和．
（Ⅰ）∵时， ∴
当时， ∵即，∴ 两式相减：即
故有 ∵，∴
所以，数列为首项，公比为的等比数列， ……… 6分
（Ⅱ）∵，∴
得 … （…）
将这个等式相加
又∵，∴（…） …………… 12分
（Ⅲ）∵
∴ ①
而 ②
①－②得：
… 16分
18、某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE、DF是两根支杆，其中AB＝2 m，∠EOA＝∠FOB＝2x(0＜x＜)．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k(k＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．
(1) 试将y表示为x的函数；
(2) 试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？
解：(1) 因为∠EOA＝∠FOB＝2x，所以弧EF、AE、BF的长分别为π－4x,2x,2x.(3分)
连结OD，则由OD＝OE＝OF＝1，∠FOD＝∠EOD＝2x＋，
所以DE＝DF＝＝＝(sinx＋cosx)．(6分)
所以y＝2k[2(sinx＋cosx)＋π－4x]＋k(2＋4x)
＝2k[2(sinx＋cosx)－2x＋＋π](9分)
(2) 因为由y′＝4k[(cosx－sinx)－1]＝0，(11分)
解得cos(x＋)＝，即x＝.(13分)
又当x∈(0，)时，y′＞0，所以此时y在(0，)上单调递增；
当x∈(，)时，y′＜0，所以此时y在(，)上单调递减．
故当x＝时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．(16分)
19．（本小题满分16分）
解：（1），则，
即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；------------4分
（2）由（1）可知，---------------------------------------------------------6分
解得或，由或
得：；-------------------------------9分
（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，
，
则切线方程是：，
化简得：，--------------------------11分
而过B的切线方程是，
由于两切线是同一直线，
则有：，得，----------------------13分
又由，
即
，即
即，
得，但当时，由得，这与矛盾。
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。----------------------------------16分
20．（本小题满分16分）
已知数列，满足：．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，且．
①记，求证：数列为等差数列；
②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．
20．解：（1）当时，有
．
又也满足上式，所以数列的通项公式是．……………4分
（2）①因为对任意的，有，
所以，，
所以，数列为等差数列． …………………… 8分
②设（其中为常数且，
所以，，
即数列均为以7为公差的等差数列． …………………… 10分
设．
（其中为中一个常数）
当时，对任意的，有； …………………… 12分
当时，．
（Ⅰ）若，则对任意的有，所以数列为递减数列；
（Ⅱ）若，则对任意的有，所以数列为递增数列．
综上所述，集合．
当时，数列中必有某数重复出现无数次；
当时，数列均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．…… 16分
数学Ⅱ（理科附加题）
21、、已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是线段OA上一点，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E，则∠OBP＋∠AQE的度数为
证明：连结AB，则∠AQE＝∠ABP, 而OA＝OB，所以∠ABO＝45°.所以∠OBP＋∠AQE＝∠OBP＋∠ABP＝∠ABO＝45°.
22、 如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
⑴判断BE是否平分∠ABC，并说明理由． ⑵若AE=6，BE=8，求EF的长．
A
B
C
O
E
F
D
⑴BE平分∠ABC.∵CD＝AC，∴∠D=∠CAD. ∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD.∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD，
∴∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC.
⑵由⑴知∠CAD=∠EBC =∠ABE. ∵∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△BEA.∴，
∵AE=6， BE=8.∴EF=；
23. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是 ．（用数字作答）
24．已知展开式的各项依次记为．
设．
（1）若的系数依次成等差数列，求的值；
（2）求证：对任意，恒有.
24．解：（1）依题意，，
的系数依次为，，，
所以，解得； ………4分
（2）
设，
则
考虑到，将以上两式相加得：
所以
又当时，恒成立，从而是上的单调递增函数，
所以对任意，．
………10分