2018-2019学年广东省揭阳市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版） 19页

‎2018-2019学年广东省揭阳市高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查集合中的交集运算，需要结合二次根式的性质进行求解，属于简单题。‎ ‎【详解】‎ 由题可知：集合中, ，得到，即，‎ ‎，则 选项C正确 ‎【点睛】‎ 本题考查交集的运算及函数的定义域的求法，属于基础题。‎ ‎2．已知复数z满足，则z的共轭复数（　　）‎ A．i B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由条件求出z，可得复数z的共轭复数．‎ ‎【详解】‎ ‎∵z（1+i）＝1﹣i，‎ ‎∴zi，‎ ‎∴z的共轭复数为i，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查共轭复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．‎ ‎3．（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查的是两角和的余角公式的逆运算，需要对整体表达式进行分析后，将转换成进行计算。‎ ‎【详解】‎ ‎=‎ 选项D正确 ‎【点睛】‎ 熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式特点是解决此类题的关键。‎ ‎4．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查的是等差数列的基本性质，巧妙采用等差中项的性质能简化运算，达到事半功倍效果。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎=25，‎ 选项B正确。‎ ‎【点睛】‎ 等差数列性质的考查，灵活运用等差中项公式优化解题速度。‎ ‎5．为了判定两个分类变量和是否有关系，应用独立性检验法算得的观测值为5，又已知，，则下列说法正确的是（ ）‎ A．有以上的把握认为“和有关系”‎ B．有99%以上的把握认为“和没有关系”‎ C．有95%以上的把握认为“和有关系”‎ D．有95%以上的把握认为“和没有关系”‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查统计案例中与两个变量相关性的基本关系。‎ ‎【详解】‎ 因为，根据临界值表知，，故有以上的把握认为“和有关系”。‎ 故本题正确答案为A。‎ ‎【点睛】‎ 独立性检验关于的判断尤为关键，考生应加强对的理解，并学会计算的数值。‎ ‎6．已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查的是基本初等函数中函数值大小的比较，常依据同底数或同幂转化成同一函数，依据函数的增减性进行比较。‎ ‎【详解】‎ 先对进行比较，经观察发现既不同底，也不同幂，故应选择一个中间变量来作为桥梁，不妨设，作比较，可把看作的函数,函数为减函数，故。再将作比较，把看作的函数，根据幂函数幂取值在的特点可知，当时，函数为增函数，故，所以，，，作比较，看作，函数为减函数，所以，所以。‎ 选项A正确。‎ ‎【点睛】‎ 解决既不同底也不同幂的这类题型，寻找中间变量是关键，利用函数图像增减性是解题关键，属于中档题.‎ ‎7．已知两条不同直线a、b，两个不同平面、，有如下命题：‎ ‎①若， ，则； ②若，，则；‎ ‎③若，，则； ④若，，，则 以上命题正确的个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎①若a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，故①错误；‎ ‎②若a∥α，b∥α，则a∥b，则a与b平行，相交或异面，故②错误；‎ ‎③若，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故③正确；‎ ‎④若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b无公共点，∴平行或异面，故④错误．‎ ‎∴正确的个数为1．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，涉及到线面、面面平行的判定与性质定理，是基础题．‎ ‎8．函数的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，分析函数f（x）的奇偶性以及在区间（0，）上，有f（x）＞0，据此分析选项，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，f（x）＝ln|x|（ln|x|+1），有f（﹣x）＝ln|﹣x|（ln|﹣x|+1）＝ln|x|（ln|x|+1）＝f（x），‎ 则f（x）为偶函数，排除C、D，‎ 当x＞0时，f（x）＝lnx（lnx+1），‎ 在区间（0，）上，lnx＜﹣1，则有lnx+1＜0，则f（x）＝lnx（lnx+1）＞0，排除B；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，属于基础题．‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则满足条件的实数的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题为程序框图中根据输出值判断输入值的基本靠法，需要考生学会分类讨论，利用分段函数知识点进行求解。‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算并输出分段函数的值，‎ 若输出的值为,则:①,或②,或③， ‎ 由于①有2解，②有1解，③无解，则满足条件的实数x的个数为3。‎ 所以C选项是正确的。‎ ‎【点睛】‎ 考生在解决此类题型时需要将程序语言转化成函数语言，应用分段函数求解时，应注意定义域的取值范围。‎ ‎10．将函数的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）‎ A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 ‎【答案】A ‎【解析】由题意利用函数的图象变换规律，可得所得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论 ‎【详解】‎ 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数的图象，‎ 在区间上，，，所得函数单调递增，故A正确；‎ 在区间上，，，所得函数单调递增，故B错误；‎ 在区间上，，，所得函数单调递减，故C不正确；‎ 在区间上，，，所得函数没有单调性，故D不正确，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象变换及性质，考查了正弦函数的单调性，属于基础题.‎ ‎11．双曲线的左、右焦点分别为、在双曲线C上，且是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得，进一步求得，则双曲线的离心率可求．‎ ‎【详解】‎ 如图，由，得，．‎ 设，，‎ 由题意，，‎ 若，‎ ‎，‎ 则，解得；‎ 若，‎ ‎．‎ 则，解得．‎ ‎，．‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．‎ ‎12．已知定义在上的奇函数满足，当时，，且，则（ ）‎ A． B． C．4 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据是奇函数，以及即可得出，即得出的周期为8，而根据（2）及时，即可求出，从而得出（3）（1），（4）（8），（5）（1），（6）（2），（7）（3），这样即可求出（1）（2）（3）‎ ‎（4）（5）（6）（7）（8），而，从而得出（1）（2）（3）．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 即函数是以8为周期的周期函数．由，得，，‎ 故，，‎ 过程一：，，，，．‎ 或过程二：，，，，］‎ 故 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 函数基本性质综合在高考题型中经常出现，此种题型只需记牢基础知识，个别题型可借鉴草图快速求解。考生若能掌握以下考点，可事半功倍。‎ 函数周期性的常用结论：‎ 函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；‎ 若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；‎ 若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；‎ 若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；‎ 若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为.‎ 二、填空题 ‎13．已知向量，，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用向量平行的性质直接求解。‎ ‎【详解】‎ 向量，，，‎ ‎，‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 向量考法长以三种基本形式出现：定义运算、线性运算、坐标运算。三种形式及有区别又有联系，考生应强化对基础概念的理解。‎ ‎14．已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点.其在轴上的两个顶点与两个焦点恰好是边长为2的正方形的顶点，则该椭圆的标准方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，利用正方形的正方形边长为2，分析可得，以及，即可得的值，由椭圆的标准方程分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，椭圆的焦点在轴上，设其上下焦点为、，左顶点为，‎ 若椭圆在轴上的两个顶点与两个焦点恰好是边长为2的正方形的顶点，‎ 则，，；‎ 则要求椭圆的方程为；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，涉及椭圆的简单几何性质。‎ ‎15．在中，，，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用半角公式求出，然后用余弦定理求出 ‎【详解】‎ 由余弦定理得，又．‎ 故，所以．‎ ‎【点睛】‎ 在分析解三角形题型时，无论是等基本形式出现，都是在告诉我们角A，解三角形公式的应用一般遵循先正弦再余弦基本原则，考生应明确正弦与余弦的基本使用条件。‎ ‎16．已知球的表面积为，则球内接圆柱的侧面积最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由球的表面积求出球的半径，再设底面圆的半径和母线长，计算球内接圆柱的侧面积，求出它的最大值 ‎【详解】‎ 如图所示，‎ 由球的表面积为，所以球半径为；‎ 设底面圆的半径为，母线长为，则，‎ 解得；‎ 所以球内接圆柱的侧面积为 ‎，‎ 当且仅当，‎ 即时取等号，‎ 所以球内接圆柱的侧面积的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 简单几何体的表面积与体积的计算问题需要考生能够还原立体图形，结合图形解题是关键。‎ 三、解答题 ‎17．设是正项等比数列，且，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，解可得的值，结合等比数列的通项公式分析可得答案；‎ ‎（2）设，分析可得，由错位相减法分析可得答案 ‎【详解】‎ ‎（1）设数列的公比为q，由，得．‎ 解得或，‎ ‎∵是正项等比数列，∴不合题意舍去，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，‎ 令，则 ‎，……①‎ ‎①×2得：……②‎ ‎①-②得：‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了错位相减法求和的步骤，多余项符号正负尤其要注意。‎ ‎18．如图，在三棱锥中，，是AC的中点，，，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，求点A到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】(1)证面面垂直只需证线面垂直，可通过求证，证得。‎ ‎(2) 点A到平面的距离可通过等体积法求得。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，O是AC中点，∴，‎ 由已知得，∴，‎ 又，∴平面ABC，‎ 又平面PAC，∴平面平面ABC，‎ ‎（2）设点A到平面PBC的距离为h，‎ ‎∵，平面平面，‎ ‎∴平面PAC，∴，‎ ‎∵在中，，‎ 则，‎ ‎∵‎ ‎∴．‎ 即点A到平面PBC的距离为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的判定定理的应用，考查了锥体体积的求解方法：等体积换底法，属于中档题 ‎19．已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眼的时间，数据如下表（单位：小时）‎ 甲部门 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 乙部门 ‎5.5‎ ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ 丙部门 ‎5‎ ‎5.5‎ ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ ‎8.5‎ ‎（1）求该单位乙部门的员工人数？‎ ‎（2）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从该单位任取1人，估计拍到的此人为睡眠充足者的概率；‎ ‎（3）再从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡眼时间的概率．‎ ‎【答案】（1）24人；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）运用分层抽样的特点，计算可得所求；‎ ‎（2）求得从15人中抽一个人可得15种，每天睡眠时间不少于7小时的共有7人，由古典概率的计算公式可得所求；‎ ‎（3）运用分类讨论思想，由古典概率的计算公式计算可得所求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，抽取的员工共15人，其中乙部门抽取6个．‎ 故乙部门的员工人数为（或）；‎ ‎（2）从该单位中任取1人，此人为睡眠充足者的概率约为从样本中抽取1人，抽到睡眠充足者的频率，故所求的概率约为；‎ ‎（3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，共有种可能情况；‎ 由题意知，若A睡眠时间小时数为6，则B的睡眠时间小时数为5.5，6之一，有2种情况；‎ 若A的睡眠时间小时数为7，则B的睡眠时间小时数为5.5，6，6.5，7之一，有4种情况；‎ 若A的睡眠时间小时数为8．则B的睡眠时间小时数为5.5，6，6.5，7，7.5，8之一，有6种情况；‎ 故所求的概率．‎ ‎【点睛】‎ 分层抽样和古典概率的求法是概率统计常考基础方法，在概率类型求解当中，枚举法等是常用基本方法 ‎20．已知抛物线与圆的一个公共点为．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）已知过点A的直线与抛物线C交于另一点B，若抛物线C在点A处的切线与直线垂直，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）把代入抛物线、圆的方程求得、即可求得圆的方程．‎ ‎（2）由△求得切线斜率，写出的方程，求得的坐标，即可求得直线方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由点在抛物线上可知，‎ 把点代入圆方程，得，‎ 所以圆M的方程为；‎ ‎（2）法1：若直线l的斜率不存在，则l的方程为时，显然有，不合题意．‎ 若直线l的斜率存在，设l的方程为，即，‎ 联立，得﹐得，‎ 设，又，则，得，‎ 由，得，‎ 设过点A的抛物线C的切线的斜率为，则依题意有，‎ 解得，‎ 由，解得，‎ 所以直线l的方程为．‎ 法2：设l的方程为，得，‎ 联立﹐得．‎ 设，又，则，得，‎ 由，得，‎ 设过点A的抛物线C的切线为，则依题意有，‎ 解得，得，‎ 由，解得．‎ 所以直线l的方程为．‎ 法3：当时，抛物线C的方程为，∵，‎ ‎∴抛物线C在点A处的切线的斜率为：，依题意得直线OB的斜率．‎ ‎∴直线OB的方程为﹐‎ 由可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求直线l的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线方程的求法，考查了直线与抛物线位置关系的应用，涉及韦达定理及导数法求解切线方程，属于中档题 ‎21．已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调性；‎ ‎（2）当时，若函数的极值为e，求的值；‎ ‎（3）当时，若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出，‎ ‎（2）根据导数和函数的极值的关系即可求出，‎ ‎（3）根据函数的单调性和端点值以及最值，分类讨论即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当，，‎ ‎，‎ 由得，解得，‎ 由得，解得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（2），‎ 因，所以由得，解得，‎ 所以在上单调递增，可知在上单调递减；‎ 所以函数有极大值，无极小值，得极人值，‎ 即，而显然为增函数．‎ 又，所以，得．‎ ‎（3）法一：（），‎ ‎①当时，‎ 过程一：由（）式得，得．‎ 而在上单调递减，，上式不可能恒成立；‎ 过程二：，，‎ 可知（）式不成立；‎ ‎②当时，由（）式得，得．‎ 而，由上式恒成立得；‎ 综上知．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力 ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点在直线l：上．‎ ‎（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C的相交于点A、B，求的值．‎ ‎【答案】(1) C：；l：；(2) ‎ ‎【解析】（1）直接把曲线C的参数方程中的参数消去，即可得到曲线C的普通方程，把P的极坐标代入直线方程求得m，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程；‎ ‎（2）写出直线l的参数方程，把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用此时t的几何意义及根与系数的关系求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由为参数），消去参数α，可得曲线C的普通方程为；‎ 由在直线l：ρcosθ﹣ρsinθ+m＝0上，得，得m．‎ 由，，‎ ‎∴直线l：ρcosθ﹣ρsinθ+m＝0的直角坐标方程为x﹣y0；‎ ‎（2）由（1）知直线l的倾斜角为，，‎ 直线l的参数方程为（t为参数），‎ 代入，‎ 得：13t2﹣20t﹣20＝0．‎ ‎∴|PA|•|PB|．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此时t的几何意义的应用，是中档题．‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（1）若，求a的取值范围；‎ ‎（2）， ，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ．(2) ．‎ ‎【解析】（1）f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1|，根据f（1）＞2分别解不等式即可'‎ ‎（2）根据绝对值三角不等式求出f（x）的值域，然后由条件可得f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，解出a的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵f（x）＝|x+2a|﹣|x﹣a|，‎ ‎∴f（1）＝|2a+1|﹣|a﹣1|，‎ ‎∵f（1）＞2，∴，或，或，‎ ‎∴a＞1，或a≤1，或a＜﹣4，‎ ‎∴a的取值范围为；‎ ‎（2）∵||x+2a|﹣|x﹣a||≤|（x+2a）﹣（x﹣a）|＝3|a|，‎ ‎∴f（x）∈[﹣3|a|，3|a|]，‎ ‎∵∀x、y∈R，f（x）＞f（y）﹣6，‎ ‎∴只需f（x）min＞f（y）max﹣6，即﹣3|a|＞3|a|﹣6，‎ ‎∴6|a|＜6，∴﹣1＜a＜1，‎ ‎∴a的取值范围为[﹣1，1]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值三角不等式求函数的范围，考查了分类讨论和转化思想，属中档题．‎