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- 2021-04-12 发布
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安徽省安庆市七中2019-2020学年
高一上学期期中考试试题
一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1.已知集合则 ( )
A. B. C. D. 空集
【答案】B
【解析】由A中的不等式x2≤1，得﹣1≤x≤1，即A＝{x|﹣1≤x≤1}；
由集合B中的函数y＝x2≥0，得到B＝{y|y≥0}，
则A∩B＝{x|0≤x≤1}．故选：B．
2.函数的图像过定点（ ）
A. （，1） B. （1，-1） C. （1,0） D. （，0）
【答案】B
【解析】令2x﹣1＝1，求得x＝1，y＝﹣1，函数y＝loga（2x﹣1）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，﹣1），故选：B．
3. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A中2个函数的值域不同，B中2个函数的定义域不同，C中的2个函数的定义域不同，只有D的2个函数的定义域，值域，对应关系完全相同.故选D.
4.则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
，，
∴，故选：A
5.已知函数则的值为（ ）
A. -13 B. -10 C. 7 D. 13
【答案】A
【解析】∵函数f（x）＝ax5﹣bx3+cx﹣3，f（﹣3）＝7，
令g（x）＝ax5﹣bx3+cx，则g（﹣3）＝10，
又g（x）为奇函数，∴g（3）＝﹣10，故 f（3）＝g（3）﹣3＝﹣13，
故选：A．
6.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要使函数有意义，则，
解得0＜x<1，故选：A．
7.已知函数的上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，，显然适合题意，
当时， ，解得： ，
综上：的取值范围是，故选：C.
8.设定义在R上的函数对任意实数x，y满足且则+的值为（ ）
A. -2 B. 0 C. -4 D. 4
【答案】C
【解析】由题意令x＝y＝0，则有f（0）+f（0）＝f（0），故得f（0）＝0
令x＝2，y＝﹣2，则有f（﹣2）+f（2）＝f（0）＝0，
又f（2）＝4∴f（﹣2）＝﹣4，∴f（0）+f（﹣2）＝﹣4，故选：C．
9.已知函数若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵函数，
∴对称轴方程为：，即
又，∴在上单调递减，∴，
故选：D.
10.若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数单调递增，，
解得，所以实数的取值范围是．故选：B．
11.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数，
由，可得，所以函数的定义域为，
再由，可得，且在上为单调递增函数，故选C．
12.已知函数则使得成立的x的取值范围是
（ ）
A. （-1，3） B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵函数f（x）＝ln（ex+e﹣x）+x2，
∴2x，
当x＝0时，f′（x）＝0，f（x）取最小值，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∵f（x）＝ln（ex+e﹣x）+x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，
∴f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，
整理，得x2﹣2x﹣3＞0，解得x＞3或x＜﹣1，
∴使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分）
13.若函数是偶函数，则k=_________
【答案】1
【解析】f（x）＝（k﹣2）x2+（k﹣1）x+2是偶函数，
可知二次函数的对称轴是y轴，则k﹣1＝0，
解得k＝1．故答案为：1．
14.函数是幂函数，且在上是减函数，则实数n=_______
【答案】﹣1
【解析】函数f（x）＝（n2﹣n﹣1）xn是幂函数，
∴n2﹣n﹣1＝1，解得n＝﹣1或n＝2；
当n＝﹣1时，f（x）＝x﹣1，在x∈（0，+∞）上是减函数，满足题意；
当n＝2时，f（x）＝x2，在x∈（0，+∞）上是增函数，不满足题意．
综上，n＝﹣1．故答案为：﹣1．
15.函数的单调减区间是________
【答案】（﹣∞，﹣4）
【解析】由x2+3x﹣4＞0，得x＜﹣4或x＞1，
∴函数f（x）＝ln（x2+3x﹣4）的定义域为（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞），
又内层函数t＝x2+3x﹣4的对称轴方程为x＝，
则内函数在（﹣∞，﹣4）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
且外层函数对数函数y＝lnt为定义域内的增函数，
故复合函数数f（x）＝ln（x2+3x﹣4）的单调递减区间为（﹣∞，﹣4）．
故答案为：（﹣∞，﹣4）．
16.对于实数符号表示不超过x的最大整数，例如定义函数则下列命题正确中的是__________
（1）函数的最大值为1；
（2）函数是增函数；
（3）方程有无数个根；
（4）函数的最小值为0.
【答案】③④
【解析】对于①，由题意可知f（x）＝x﹣[x]∈[0，1），∴函数f（x）无最大值，①错误；
对于④，由f（x）的值域为[0，1），∴函数f（x）的最小值为0，④正确；
对于③，函数f（x）每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，
所以方程f（x）有无数个根，③正确；
对于②，函数f（x）在定义域R上是周期函数，不是增函数，②错误；
综上，正确的命题序号是③④．
故答案为：③④．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.计算下列各式的值：
（1）；
（2）
【解】（1）原式
（2）原式
18.设全集为R,.
（1）求及
（2）若，求实数a的取值范围.
【解】（1）因为A＝{x|2＜x≤5}，B＝{x|3＜x＜8}，
所以A∩B＝{x|3＜x≤5}，
∁R（A∩B）＝{x|x≤3或x＞5}．
（2）因为A∩B＝{x|3＜x≤5}，（A∩B）∩C＝∅，
当C＝∅时，a﹣1≥2a，解得a≤﹣1；
当C≠∅时，或，
解得﹣1＜a或a≥6．
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，]∪[6，+∞）．
19.已知函数
（1）若，求的值；
（2）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数a的值.
【解】（1）∵f（x）＝ax，，
∴，解得：a＝2或，
当a＝2时，f（x）＝2x，，
当时，，，
故．
（2）当a＞1时，f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调递增，
∴，化简得3a2﹣8a﹣3＝0，
解得：（舍去）或a＝3．
当0＜a＜1时，f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调递减，
∴，化简得3a2+8a﹣3＝0．
解得：a＝﹣3（舍去）或．
综上，实数a的值为3或．
20.已知二次函数满足
(1)求函数的解析式；
(2)令若函数在上是单调函数，求实数m的取值范围；
求函数在的最小值.
【解】（1）设f（x）＝ax2+bx+c，
∵f（2）＝15，f（x+1）﹣f（x）＝﹣2x+1，
∴4a+2b+c＝15；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝﹣2x+1；
∴2a＝﹣2，a+b＝1，4a+2b+c＝15，解得a＝﹣1，b＝2，c＝15，
∴函数f（x）的表达式为f（x）＝﹣x2+2x+15；
（2）∵g（x）＝（2﹣2m）x﹣f（x）＝x2﹣2mx﹣15的图象是开口朝上，且以x＝m为对称轴的抛物线，
①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；
②当m≤0时，g（x）在[0，2]上为增函数，当x＝0时，函数g（x）取最小值﹣15；
当0＜m＜2时，g（x）在[0，m]上为减函数，在[m，2]上为增函数，当x＝m时，函数g
（x）取最小值﹣m2﹣15；
当m≥2时，g（x）在[0，2]上为减函数，当x＝2时，函数g（x）取最小值﹣4m﹣11；
∴函数g（x）在x∈[0，2]的最小值为
21.已知函数是定义域为上的奇函数，且.
（1）用定义证明：函数在上是增函数；
（2）若实数t满足求实数t的范围.
【解】（1）∵函数是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，
∴f（0）0，∴b＝0，∴
任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，
∴f（x1）﹣f（x2）
，
∵a＞0，﹣1＜x1＜x2＜1，
∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，10，10，
∴函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
（2）∵f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，∴f（2t﹣1）＜﹣f（t﹣1），
∵函数是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，且a＞0．
∴f（2t﹣1）＜f（1﹣t），
∵函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，
∴，解得0＜t．故实数t的范围是（0，）．
22.已知函数
(1)讨论函数的定义域；
(2)当时，解关于x的不等式：
(3)当时，不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围.
【解】（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1．
当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0．
所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；
当0＜a＜1时，x∈（﹣∞，0）．
（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则，所以11．
因为a＞1，所以loga（1）＜loga（1），即f（x1）＜f（x2）．
故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵f（x）＜f（1）；∴ax﹣1＜a﹣1，
∵a＞1，∴x＜1，
又∵x＞0，∴0＜x＜1；
（3）∵g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1在[1，3]上是单调增函数，
∴g（x）min＝﹣log23，
∵m＜g（x），∴m＜﹣log23．