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- 2021-04-12 发布
数学（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．已知函数是定义在上周期为的奇函数，且当时，，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
3．若，则下列各式中一定正确的是
A． B． C． D．
4．已知正数项等比数列中，，且与的等差中项是，则（ ）
A．2 B． C．4 D．2或4
5．若，，，则的大小关系（ ）
A. B. C. D.
6．下列判断正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 函数的最小值为2
C. “”是“”的充要条件
D. 若，则向量与夹角钝角
7．将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则函数的图像的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
8．双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
9．若曲线的一条切线是，则的最小值是（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
10．如图，在中，，，
若，则的值为
A． B．
C． D．
11．已知函数的最小正周期为，若在时所求函数值中没有最小值，则实数的范围是( )
A. B. C. D.
12．已知函数，（是自然对数的底数），若关于的方程恰有两个不等实根、，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．，，则__________.
14．平面向量与的夹角为，，，则________.
15．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为__________．
16．如图，在棱长为 1 的正方体中，点是的中点，动点在底面 内（不包括边界），若平面，则的最小值是____．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知正项数列的前项和满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，的面积为，若.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值.
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是的中点，，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于两点，记点关于轴
对称的点为．证明：直线经过轴上一定点，并求出定点的坐标．
21．（本小题满分12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围
22．在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求的最小值．
23．设函数．
（1）若的最小值是，求的值；
（2）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实
数的取值范围．
数学（理科）答案
1【答案】D 根据复数的除法运算得到结果.
【详解】复数 对应的点坐标为在第四象限.
2【答案】B 由题意，函数是定义在上周期为的奇函数，所以，
又时，，则，所以
，故选B.
3【答案】D
4．与的等差中项是，所以，即，
负值舍去，故选B．
5【答案】B【解析】由题意得：，，所以
6【答案】C 【详解】解：对于选项A，命题“，”的否定是“，”，即A错误；对于选项B，令 ，则，则，，又在为增函数，即 ，即B错误；对于选项C，由“”可得“”，由“”可得，解得“”，即 “”是“”的充要条件，即C正确，对于选项D，若，则向量与夹角为钝角或平角，即D错误，故选C.
7【答案】D【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则 ，由题可得当时，.即函数的图象的一个对称中心是故选D
8【答案】B【解析】由于双曲线焦点到渐近线的距离为,故,根据面积公式有,而,解得,故实轴长,选B
9【答案】C【解析】设切点为,,故切线方程为,即,所以.故选C.
10
11【答案】D【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，当时，，因为时所求函数值中没有最小值，
所以，解得，所以的取值范围是，
12【答案】D【详解】解：∵，∴恒成立，∴，∴，
作函数，的图象如下，结合图象可知，存在实数，使得，
故，令，则，
故在递减，在递增，∴，故选：D
13【答案】2 详解：由，可得，则，故答案为.
14.
15【答案】【解析】由题意， 有解，即有解，令， ，当时，当时，所以，故只需
16【答案】详解】取中点，连结，作，连，
因为面面面，所以动点在底面 内轨迹为线段，
当点与点重合时，取得最小值，因为，
所以.
17【答案】（1）；（2）
【试题解析】（1）由已知，可得 当时，，可解得，或，
由是正项数列，故. 当时，由已知可得，，
两式相减得，.化简得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.
∴数列的通项公式为.
（2）∵，代入化简得，显然是等差数列，∴其前项和.
18.
19【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.
试题解析：
（Ⅰ）在中，，为的中点，所以.因为平面底面，
且平面底面，所以底面.又平面，所以.
（Ⅱ）在直角梯形中，，，为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形.
因为，所以，由（Ⅰ）可知平面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，.
因为，，所以平面，
即为平面的一个法向量，且.
因为是棱的中点，所以点的坐标为，
又，设平面的法向量为.
则，即，令，得，，所以.
从而 . 由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
20【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析，直线经过轴上定点，其坐标为
【详解】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，可知.解得.又，
椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线的方程为. 设，，则.
由，消去，可得.
，.，. ，
直线的方程为.令，
可得...
直线经过轴上定点，其坐标为.
21．（本小题满分12分）
解：（1）的定义域是，．
①时，，在上单调递增：
②时，，解得，
当时，，则在上递减；
当时，，则在上递增．
（2）法1：当时，，依题意知不等式，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
设，，
令，，
易知在上递减，在上递增，
则，
即，设，则，
，则递增，又故，，
∴，解得．
（3）法2：当时，，
不等式，即为，
整理为，也即为．
构造函数，易知单调递增，又，
即，所以，即恒成立．
故恒成立，只需（恒成立，
则个定有，解得．
22. 【详解】解：（Ⅰ），.
由直角坐标与极坐标的互化关系，. 曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的方程，并整理得.
，可设是方程的两个实数根，则，.
，
当时，等号成立.的最小值为.
22.【答案】（1）；（2）
详解：（Ⅰ），
由已知，知，解得.
（Ⅱ）由题知，又是存在的，∴.
即，变形得，∴，∴.
点睛：（1）利用和可对含绝对值的不等式进行放缩，从而求得最值（注意验证取等号的条件）；