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- 2021-04-12 发布
数学试卷（文科）
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合,，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知是实数，是纯虚数，则的值为( )
A. － B. C. D.
3. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度
D．向下平行移动个单位长度
4. 已知成立, 函数是减函数, 则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x， y均为正数，则的最大值是( )
A. B. C． D．
6. 《张丘建算经》卷上有一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.若已知女子第一天织布4尺，50天共织布
900尺，则该女子织布每天增加( ) 尺
A. B. C. D.
7. 甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为错误！未找到引用源。,则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )
A． B． C． D.
8. 如图是一个算法的流程图，若输入x的值为4，则输出y的值是( )
A.－3 B. －2
C. －1 D. 0
9. 已知满足约束条件则的最小值为（ ）
A．3 B．0
C．1 D.
10. 已知函数, 则的值为（ ）
A． B． C． D．
11. 已知双曲线（）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线截得的弦长为，则双曲线的离心率为 （ ）
A．3 B．2 C． D．
12. 在△ABC中，若∠A＝60°，BC＝4，O为中线AM上一动点，则的最小值是( )
A．－6 B．－ C．－4 D．－8
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13. 直线y＝kx+k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是 ．
14. 若直线过的极值点，则的值为 ．
15. 如图，小正方形边长为2，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为
16.在中，分别是内角的对边，且为锐角,若，，，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为,.
（1）求数列的前项和为；
（2）若,求.
18.（本小题满分12分）从红星农场的园林甲和农林乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩(单位：分)数据的茎叶图如图①所示：
图① 图②
(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度(只需给出结论)；
(2)甲组数据频率分布直方图如图②所示，求a、b、c的值；
(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率。
19.（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，，，平面平面，，点为的中点．
（1）求证：直线平面．
（2）若， ，求点到平面的距离。
20.（本小题满分12分）已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1,0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹为曲线C。
(1)求C的方程；
(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求·的取值范围。
21.（本小题满分12分）已知函数，.
（1）当时，求函数切线斜率中的最大值；
（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，过点作倾斜角为的直线交曲线于两点，求.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为空集，求的取值范围．
数学试卷（文科）
参考答案
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合,，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解析：由已知可得， ，故选B。
2. 已知是实数，是纯虚数，则的值为( )
A. － B. C.0 D.
答案：B
解析：是纯虚数，所以，＝＝。
3. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度
D．向下平行移动个单位长度
解析：左移个单位长度
答案 A
4. 已知成立, 函数是减函数, 则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：
【答案】B
5. 已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则的最大值是( )
A. B. C． D．
答案：C.
解析：∵a∥b，∴(3y－5)＋2x＝0，即2x＋3y＝5. ∵x>0，y>0，
5＝2x＋3y，∴，当且仅当3y＝2x时取等号．∴当x＝，y＝时，取得最小值.
6. 《张丘建算经》卷上有一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.若已知女子第一天织布4尺，50天共织布900尺，则该女子织布每天增加( ) 尺
A. B. C. D.
解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d，则4×50＋d＝900，解得d＝.故选A .
答案 A
7. 甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为错误！未找到引用源。,则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )
A． B． C． D.
【解析】选A.第四局甲第三次获胜,并且前三局甲获胜两次,所以所求的概率为
8. 如图是一个算法的流程图，若输入x的值为4，则输出y的值是( )
A.－3 B. －2
C. －1 D. 0
解析 由程序框图知，x＝4，y＝×4－1＝1，|1－4|＞1；x＝2，y＝2－1＝1，|1－2|＝1，继续循环；x＝2，y＝×2－1＝0，|0－2|=2＞1，继续循环；x＝0，y＝×0－1＝－1，|－1－0|=1，继续循环； x＝－2，y＝×(－2)－1＝－2，|－2＋2|＜1满足条件，输出y为－2，结束程序.故选B.
答案 B.
9. 已知满足约束条件则的最小值为（ ）
A．3 B．0
C．1 D.
解析：易知到直线的距离为区域内到直线的最短距离 .
答案 D
10. 已知函数, 则
的值为（ ）
A． B． C． D．
解析:
2==1008 =504
【答案】B．
11. 已知双曲线（）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线截得的弦长为，则双曲线的离心率为 （ ）
A．3 B．2 C． D．
解析：由题意得
答案 D
12. 在△ABC中，若∠A＝60°，BC＝4，O为中线AM上一动点，则的最小值是( )
A．－6 B．－ C．－4 D．－8
答案：A
解析：由题意知，＝2，设||＝x，则||＝||－x，所以＝－2(||－x) x≥.要求的最小值，即求||的最大值．因为∠A＝60°，BC＝4，所以当AM⊥BC时，||max＝，所以≥－6，选A.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13. 直线y＝kx+k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是 ．
解析：由于直线y＝kx+k＋1＝k(x+1)＋1过定点(-1，1)，而(-1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
14. 若直线过的极值点，则的值为 ．
解析： 极值点为
15. 如图，小正方形边长为2，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为
解析： 通过观察可看出此棱锥可能由正方体 （棱长为2）通过切割而成，所以先画出正方体，再根据三视图中的实线虚线判断如何切割，正视图中可看出正方体用前后面的对角线所在平面将下方完全切掉，从左视图可看出正方体的右侧面（虚线）有切痕，俯视图体现出正方体的上底面有切痕。进而可得所求棱锥为一个四棱锥，底面是矩形，宽，长，因为平面，所以平面平面，棱锥的表面积为
16.在中，分别是内角的对边，且为锐角,若，，，则的值为 ．
解析： 代入
由且为锐角知，由余弦定理
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为,.
（1）求数列的前项和为；
（2）若,求.
解析：（1）由，得，＝２，公差，数列的通项；故．
（2）,所以数列是首项为３,公比为２７的等比数列,
＝．.
18.（本小题满分12分）从红星农场的园林甲和农林乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩(单位：分)数据的茎叶图如图①所示：
图① 图②
(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度(只需给出结论)；
(2)甲组数据频率分布直方图如图②所示，求a、b、c的值；
(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率。
解 (1)甲组数据的中位数为＝78.5，乙组数据的中位数为＝78.5。
从茎叶图可以看出，甲组数据比较集中，乙组数据比较分散。
(2)由图②易知a＝0.05，b＝0.02，c＝0.01。
(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，得到的所有基本事件共有100个，其中满足“两数之差的绝对值大于20”的基本事件有16个，故所求概率P＝＝。
19.（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，，，平面平面，，点为的中点．
（1）求证：直线平面．
（2）（文）若， ，求点到平面的距离。
证明：（1）∵ ，点为的中点，∴.
∵平面平面，平面平面，
平面， ∴平面，
∵平面，∴，
∵，，
∴，∴四边形为平行四边形, ∴， …………3分
∵，，∴， ∵四边形是菱形，∴，
∵，，，在平面内，
∴平面． ………………6分
（2）由BC//AD, ∴BC//平面ADE, ∴点到平面的距离等于点到平面的距离,设为。∵由（1）知，，故
，∴在中，边上的高=由得，点到平面的距离为。…………12分
20.（本小题满分12分）已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1,0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹为曲线C。
(1)求C的方程；
(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求·的取值范围。
解 (1)由x2＋y2＋2x－15＝0，得(x＋1)2＋y2＝42，所以圆心为H(－1,0)，半径为4。
连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|＝|MB|，
所以|MA|＋|MH|＝|MB|＋|MH|＝|BH|＝4，又|AH|＝2<4。
根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为＋＝1，即为所求曲线C的方程。
(2)由直线EF与直线PQ垂直，可得·＝·＝0，于是·＝(－)·(－)＝·＋·。
①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，此时可不妨取P，Q，E(2,0)，F(－2,0)，所以·＝·＝－3－＝－。
②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得·＝－。
③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为y＝k(x－1)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则直线EF的方程为y＝－(x－1)。
将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得，
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，所以xP＋xQ＝，xP·xQ＝。于是·＝(xP－1)·(xQ－1)＋yP·yQ＝(1＋k2)[xP·xQ－(xP＋xQ)＋1]＝(1＋k2)＝
。
将上面的k换成－，可得
·＝，所以
·＝·＋·＝－9(1＋k2)·
。
令1＋k2＝t，则t>1，于是上式化简整理可得，
·＝－9t＝
－＝－。
由t>1，得0<<1，所以－<·≤－。
综合①②③可知，·的取值范围为。
21.（本小题满分12分）已知函数，.
（1）当时，求函数切线斜率中的最大值；
（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.
解：（1）函数的定义域为.
当时，，
所以函数切线斜率的最大值为1.
（2）因为关于的方程有解，
令，则问题等价于函数存在零点，
所以.
当时，对成立，
函数在上单调递减.
而，，
所以函数存在零点.
当时，令，得.
，随的变化情况如下表：
所以为函数的最小值，
当时，即时，函数没有零点，
当时，即时，注意到，
所以函数存在零点.
综上，当或时，关于的方程有解.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，过点作倾斜角为的直线交曲线于两点，求.
【答案】（1）直线的普通方程,
曲线的普通方程为；
（2）∵，∴的直角坐标方程为.
直线的参数方程为.
将直线的参数方程代入曲线，得，
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为空集，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）当，不等式，即为，不等式等价于，或,或或或，
所以所求不等式的解集为．
另解：，当时显然成立，
当
综上：
（2）由，即．
设如图，，.
故由题可知的取值范围为.