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- 2021-04-12 发布
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2019—2020学年度第一学期高一第一次月考数学试题
一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据交集的定义，即可求出结果。
【详解】，故选C。
【点睛】本题主要考查交集的运算。
2.已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A. 2 B. 0 C. 0或2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
求得集合，根据，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，集合，因，所以，故选B.
【点睛】本题主要考查了集合交集运算，其中解答中熟记集合的包含关系的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3.下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A. x与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】C
【解析】
对于A：的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不为同一函数；对于B：的值域为，的值域为，故不为同一函数；对于C：，定义域相同，对应关系也相同，故两者为同一函数；对于D：的定义域为，的定义域为，故不为同一函数，故选C.
点睛：本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.
4.若，则f[f（–2）]=
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
∵–2<0，∴f（–2）=–（–2）=2；又∵2>0，∴f[f（–2）]=f（2）=22=4，故选C．
5.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有 ( )
A. k>0，b>0 B. k>0，b<0 C. k<0，b>0 D. k<0，b<0
【答案】B
【解析】
画出图像，可以看出直线的斜率大于0，截距小于0，即k>0，b<0。
故答案选B。
6.下列函数中，在定义域内单调是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
指数函数是单调递减，再判断其它选项错误,得到答案.
【详解】A. ，指数函数 是单调递减函数,正确
B. 反比例函数，在单调递减，在单调递减，但在上不单调，错误
C. ，定义域内先减后增，错误
D. ，双勾函数，时先减后增，错误
故答案选A
【点睛】本题考查了函数的单调性，属于简单题.
7.已知函数.若，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
令，则是R上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得的值．
【详解】令 ，则是上的奇函数，
又，所以，
所以，，
所以，故选D.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．
8.已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.
【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，
得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），
∴b=0，∴a+b=．故选B．
【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．
9.函数的值域是
A. ， B. C. ， D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把已知函数解析式变形，由可得的范围，进一步求得函数值域．
详解】解：，
，，
则，
．
即函数的值域是，．
故选：．
【点睛】本题考查函数的值域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
10.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是( )
A. a≤－2 B. a≥2
C. a≤－2或a≥2 D. －2≤a≤2
【答案】D
【解析】
由已知，函数y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，
若a<0，由f(a)≥f(－2)得a≥－2；
若a≥0，由已知可得f(a)≥f(－2)＝f(2)，a≤2.
综上知－2≤a≤2.
答案：D.
点睛：1、函数f(x)为偶函数，求解析式中字母的值有两种方法：①f(−x)=f(x)；②特殊的实数x0,f(−x0)=f(x0)；2、对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
11.已知函数在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据条件得到的图象关于直线对称，且在上单调递增，然后通过比较到对称轴距离的大小可得所求结果．
【详解】由是偶函数可得其图象的对称轴为，
所以函数的图象关于直线对称．
又函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增．
因为，
所以，即．
故选D．
【点睛】比较函数值大小的常用方法：（1）将自变量转化到同一单调区间上，然后根据函数的单调性进行比较；（2）对于图象有对称轴的函数来讲，可将函数值的大小问题转化为自变量到对称轴的距离的大小的问题求解．
12.关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分离参数后，构造函数求出值域可得．
【详解】关于的不等式，参变分离得，令，，
则对任意恒成立等价于对任意恒成立，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了函数恒成立问题，属中档题．
二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数的定义域是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
要使函数有意义，只需，解此不等式组即可．
【详解】解：要使函数有意义，须有，解得，且，
故函数的定义域为：，且，
故答案：．
【点睛】本题考查函数定义域的求解，属基础题，若函数为偶次根式，被开放数须大于等于0；若函数为分式，分母必不为0．
14.已知，则______．
【答案】47
【解析】
【分析】
根据完全平方式进行变形即可.
【详解】
【点睛】考查完全平方式的应用，基础题.
15.函数且的图象恒过定点_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，利用，令，解可得，将代入解析式可得，即可求函数的图象所过的定点．
【详解】解：根据题意，函数中，
令，解可得，
此时，
即函数的图象恒过定点，
故答案为：．
【点睛】本题考查指数函数中含有参数的函数过定点的问题，自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点.
16.已知函数满足对任意的，都有恒成立，那么实数的取值范围是______________
【答案】
【解析】
∵函数f（x）满足对任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，∴函数f（x）在定义域上是增函数，则满足,
故答案为.
三.解答题（共6小题，共70分）
17.设集合或，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）进行交集的运算即可；
（2）进行补集和并集的运算即可．
【详解】（1）；
（2）；
．
【点睛】考查描述法的定义，以及交集、并集和补集的运算．
18.计算：
（1）；
（2）已知，求．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用指数性质、运算法则求解．
（2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．
【详解】（1）原式．
（2），
，
．
【点睛】本题考查了指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19.已知函数f（x）是奇函数，且x＜0时，．
（1）求f（5）的值；
（2）求函数f（x）的解析式．
【答案】（1）；（2）．
.
【解析】
【分析】
（1）根据f（x）是奇函数及x＜0时的f（x）解析式，即可求出f（﹣5），从而得出f（5）；
（2）可设x＞0，从而得出﹣x＜0，进而得出，从而可得出x＞0时的f（x）解析式，再根据奇函数得出f（x）的解析式．
【详解】（1）∵f（x）是奇函数，且x＜0时，；
∴；
（2）设x＞0，﹣x＜0，则：
；
∴；
∴．
【点睛】本题考查奇函数的定义及函数求值的方法，考查了由奇偶性求对称区间上解析式的方法：首先要设自变量的范围，再根据已知函数式写出自变量相反数的函数式，然后利用函数奇偶性的定义即可求出.．
20.已知二次函数满足，．
（1）求的解析式；
（2）求在，上的最大值．
【答案】（1）；（2）3
【解析】
【分析】
（1）由于已知函数类型为二次函数，故可以使用待定系数法求函数的解析式；
（2）根据（1）的结论，分析二次函数的开口方向及对称轴与区间，的关系，易得在，上的最大值．
【详解】（1）设
，
即：
解得，
又由．
得：
（2）由（1）知，函数的图象为开口方向朝上，以为对称轴的抛物线
故在区间，上，当时，函数取最大值
【点睛】求解析式的几种常见方法：①代入法：即已知，，求用代入法，只需将替换中的即得；②换元法：已知，，求用换元法，令，解得，然后代入中即得，从而求得．当的表达式较简单时，可用“配凑法”；③待定系数法：当函数类型确定时，可用待定系数法．④方程组法：方程组法求解析式的实质是用了对称的思想．一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法．在解关于的方程时，可作恰当的变量代换，列出的方程组，求得．
21.已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝2.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(3)若f(a)>2，求实数a的取值范围．
【答案】(1)奇函数；（2）证明见解析；（3）(0，1)∪(1，＋∞).
【解析】
【详解】∵，且
∴，解得，
(1)为奇函数，
证：∵，定义域为，关于原点对称，
又，
所以为奇函数；
（2）在上的单调递增，
证明：设，
则
∵ ，
∴，，
故，即，在上的单调递增；
（3）又，即，显然，
化简，即，
解得且.
本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，证明函数的单调性按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行．（1）函数为奇函数．确定函数的定义域，利用奇函数的定义，即可得到结论；（2）按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行证明，作差后要因式分解；（3）根据函数单调性，得到不等式的解集.
22.已知二次函数．
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）若函数在区间，上的最大值为，求的最小值．
【答案】（1）0；（2）
【解析】
【分析】
（1）求得的对称轴方程，由偶函数的图象可得的值；
（2）求得对称轴方程，推理对称轴和区间的关系，结合单调性可得的解析式，再由单调性可得的最小值．
【详解】（1）二次函数的对称轴为，
由为偶函数，可得；
（2）的对称轴为，
当即时，在，递增，可得，
且的最小值为1；
当即时，在，递减，可得，
且的最小值为3；
当，即时，的最大值为，
当时，取得最小值，
综上可得的最小值为
【点睛】本题考查二次函数的对称性和单调性的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和化简运算能力、推理能力，属于中档题．