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- 2021-04-12 发布
预习课本 P104～105，思考并完成下列问题
(1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？
(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？
[新知初探]
1．复平面
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)―――――――→一一对应 复平面内的点 Z(a，b)
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) ――――→一一对应 平面向量 OZ
――→
.
3．复数的模
(1)定义：向量 OZ 的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模．
(2)记法：复数 z＝a＋bi 的模记为|z|或|a＋bi|.
(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2(r≥0，r∈R)．
[点睛] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它
所确定的复数是 z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )
(3)复数的模一定是正实数．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知复数 z＝i，复平面内对应点 Z 的坐标为( )
A．(0,1) B．(1,0) C．(0,0) D．(1,1)
答案：A
3．向量 a＝(1，－2)所对应的复数是( )
A．z＝1＋2i B．z＝1－2i
C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i
答案：B
4．已知复数 z 的实部为－1，虚部为 2，则|z|＝________.
答案： 5
复数与点的对应关系
[典例] 求实数 a 分别取何值时，复数 z＝a2－a－6
a＋3
＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点 Z 满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内．
(2)在复平面内的 x 轴上方．
[解] (1)点 Z 在复平面的第二象限内，
则
a2－a－6
a＋3
＜0，
a2－2a－15＞0，
解得 a＜－3.
(2)点 Z 在 x 轴上方，
则 a2－2a－15＞0，
a＋3≠0，
即(a＋3)(a－5)＞0，解得 a＞5 或 a＜－3.
[一题多变]
1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数 z 表示的点在 x 轴上时，实数 a 的值．
解：点 Z 在 x 轴上，所以 a2－2a－15＝0 且 a＋3≠0，
所以 a＝5.
故 a＝5 时，点 Z 在 x 轴上．
2．[变设问]本例中条件不变，如果点 Z 在直线 x＋y＋7＝0 上，求实数 a 的值．
解：因为点 Z 在直线 x＋y＋7＝0 上，
所以a2－a－6
a＋3
＋a2－2a－15＋7＝0，
即 a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，故 a＝－2 或 a＝± 15.
所以 a＝－2 或 a＝± 15时，点 Z 在直线 x＋y＋7＝0 上．
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数 z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点 Z(a，b)来表示，是
解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
复数的模
[典例] (1)若复数 z 对应的点在直线 y＝2x 上，且|z|＝ 5，则复数 z＝( )
A．1＋2i B．－1－2i
C．±1±2i D．1＋2i 或－1－2i
(2)设复数 z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
[解析] (1)依题意可设复数 z＝a＋2ai(a∈R)，
由|z|＝ 5得 a2＋4a2＝ 5，
解得 a＝±1，故 z＝1＋2i 或 z＝－1－2i.
(2)因为|z1|＝ a2＋4，|z2|＝ 4＋1＝ 5，
所以 a2＋4＜ 5，即 a2＋4＜5，所以 a2＜1，
即－1＜a＜1.
[答案] (1)D (2)B
复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，
但它们的模可以比较大小．
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．
[活学活用]
1．如果复数 z＝1＋ai 满足条件|z|＜2，那么实数 a 的取值范围是( )
A．(－2 2，2 2) B．(－2,2)
C．(－1,1) D．(－ 3， 3)
解析：选 D 因为|z|＜2，所以 1＋a2＜2，则 1＋a2＜4，a2＜3，解得－ 3＜a＜ 3.
2．求复数 z1＝6＋8i 与 z2＝－1
2
－ 2i 的模，并比较它们的模的大小．
解：∵z1＝6＋8i，z2＝－1
2
－ 2i，
∴|z1|＝ 62＋82＝10，
|z2|＝ －1
2 2＋(－ 2)2＝3
2.
∵10>3
2
，∴|z1|>|z2|.
复数与复平面内向量的关系
[典例] 向量 OZ1
――→对应的复数是 5－4i，向量 OZ2
――→对应的复数是－5＋4i，则 OZ1
――→
+ OZ2
――→对应的复
数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
[解析] 因为向量 OZ1
――→对应的复数是 5－4i，向量 OZ2
――→对应的复数是－5＋4i，所以 OZ1
――→＝(－5, 4),
OZ2
――→＝(5, －4)，所以 OZ2
――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以 OZ1
――→
+ OZ2
――→对应的复数是 0.
[答案] C
(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，
但平移前后起点、终点对应的复数要改变．
(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z
－z1|表示点 Z 到点 Z1 之间的距离．如|z－i|＝1 表示点 Z 到点(0,1)之间的距离为 1.
[活学活用]
在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．
z1＝1－i；z2＝－1
2
＋ 3
2 i；z3＝－2；z4＝2＋2i.
解：在复平面内分别画出点 Z1(1，－1)，Z2－1
2
，3
2
，
Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量 OZ1
――→， OZ2
――→
, OZ3
――→
, OZ4
――→分别为复数 z1，z2，z3，z4 对应的向量，如图
所示．
各复数的模分别为：|z1|＝ 12＋(－1)2＝ 2；
|z2|＝ －1
2 2＋
3
2 2＝1；
|z3|＝ (－2)2＝2；|z4|＝ 22＋22＝2 2.
层级一 学业水平达标
1．与 x 轴同方向的单位向量 e1 与 y 轴同方向的单位向量 e2，它们对应的复数分别是( )
A．e1 对应实数 1，e2 对应虚数 i
B．e1 对应虚数 i，e2 对应虚数 i
C．e1 对应实数 1，e2 对应虚数－i
D．e1 对应实数 1 或－1，e2 对应虚数 i 或－i
解析：选 A e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
2．当2
3
＜m＜1 时，复数 z＝(3m－2)＋(m－1)i 在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选 D ∵2
3
＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．
3．已知 0＜a＜2，复数 z＝a＋i(i 是虚数单位)，则|z|的取值范围是( )
A．(1， 3) B．(1， 5)
C．(1,3) D．(1,5)
解析：选 B |z|＝ a2＋1，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1， 5)．
5．复数 z＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cosα
2 B．－2cosα
2
C．2sinα
2 D．－2sinα
2
解析：选 B |z|＝ (1＋cos α)2＋sin2α＝ 2＋2cos α＝ 4cos2α
2
＝2|cosα
2|.∵π＜α＜2π，∴π
2
＜α
2
＜π，cosα
2
＜0，于是|z|＝－2cosα
2.
6．复数 3－5i,1－i 和－2＋ai 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数 a 的值为________．
解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知 a＝5.
答案：5
7．过原点和 3－i 对应点的直线的倾斜角是________．
解析：∵ 3－i 在复平面上的对应点是( 3，－1)，
∴tan α＝－1－0
3－0
＝－ 3
3 (0≤α＜π)，∴α＝5π
6 .
答案：5π
6
9．设 z 为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数 z.
解：∵z 为纯虚数，∴设 z＝ai(a∈R 且 a≠0)，
又|－1＋i|＝ 2，由|z－1|＝|－1＋i|，
得 a2＋1＝ 2，解得 a＝±1，∴z＝±i.
10．已知复数 z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．
(1)若 z 是实数，求 m 的值；
(2)若 z 是纯虚数，求 m 的值；
(3)若在复平面内，z 所对应的点在第四象限，求 m 的取值范围．
解：(1)∵z 为实数，∴m2＋2m－3＝0，
解得 m＝－3 或 m＝1.
(2)∵z 为纯虚数，
∴ m(m－1)＝0，
m2＋2m－3≠0.
解得 m＝0.
(3)∵z 所对应的点在第四象限，
∴ m(m－1)＞0，
m2＋2m－3＜0.
解得－3＜m＜0.
故 m 的取值范围为(－3,0)．
层级二 应试能力达标
1．已知复数 z1＝2－ai(a∈R)对应的点在直线 x－3y＋4＝0 上，则复数 z2＝a＋2i 对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选 B 复数 z1＝2－ai 对应的点为(2，－a)，它在直线 x－3y＋4＝0 上，故 2＋3a＋4＝0，解得
a＝－2，于是复数 z2＝－2＋2i，它对应点的点在第二象限，故选 B.
2．复数 z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i 对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2 或 a≠1 B．a≠2 且 a≠1
C．a＝0 D．a＝2 或 a＝0
解析：选 D ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上，
∴a2－2a＝0，解得 a＝2 或 a＝0.
3．若 x，y∈R，i 为虚数单位，且 x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数 x＋yi 在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选 A ∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，∴ x＋y＝3，
x－y＝－1，
解得 x＝1，
y＝2，
∴复数 1＋2i 所对应的点在第一象限．
4．在复平面内，复数 z1，z2 对应点分别为 A，B.已知 A(1,2)，|AB|＝2 5，|z2|＝ 41，则 z2＝( )
A．4＋5i B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i 或1
5
＋32
5 i
解析：选 D 设 z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得， (x－1)2＋(y－2)2＝20，
x2＋y2＝41.
∴ x＝5，
y＝4
或
x＝1
5
，
y＝32
5 .
故选 D.
5．若复数 z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i 是纯虚数，其中 m∈R，则|z|＝________.
解析：由条件知 m2＋2m－3≠0，
m2－9＝0，
∴m＝3，∴z＝12i，∴|z|＝12.
答案：12
6．已知复数 z＝x－2＋yi 的模是 2 2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
解析：由模的计算公式得 (x－2)2＋y2＝2 2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
答案：(x－2)2＋y2＝8
7．已知复数 z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数 z 对应点的轨迹．
解：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数 z 的对应点为 P(x，y)，由题意知 x＝a＋3，
y＝b－2，
∴ a＝x－3，
b＝y＋2.
①
∵z0＝a＋bi，|z0|＝2，∴a2＋b2＝4.
将①代入得(x－3)2＋(y＋2)2＝4.
∴点 P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2 为半径的圆．
8．已知复数 z1＝ 3＋i，z2＝－1
2
＋ 3
2 i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设 z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点 Z 的轨迹是什么图形？
解：(1)|z1|＝ ( 3)2＋12＝2，
|z2|＝ －1
2 2＋ 3
2
2＝1，∴|z1|＞|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知 1≤|z|≤2.
因为|z|的几何意义就是复数 z 对应的点到原点的距离，所以|z|≥1 表示|z|＝1 所表示的圆外部所有点组
成的集合，|z|≤2 表示|z|＝2 所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以 O 为圆心，
以 1 和 2 为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．