- 1.76 MB
- 2021-04-12 发布
浠水实验高中2020届高三十二月数学（文科）试题
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.国庆阅兵中，某兵种甲、乙、丙三个方阵按一定的次序通过主席台，若先后次序是随机的，则甲先于乙、丙通过的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出甲、乙、丙三个方阵按一定次序通过主席台的所有可能的次序，再确定出甲先于乙、丙通过主席台的所有可能的次序，由此可求概率．
【详解】用（甲，乙，丙）表示甲第一，乙第二，丙第三的次序，则所有可能的次序有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）共6种，其中甲先于乙、丙通过的有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙）两种，故所求概率为P．
故选：D.
【点睛】本题考查等可能事件的概率，解题的关键是利用列举法确定基本事件的种数，属于基础题．
2.对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确是( )
A. 平均数与方差均不变
B. 平均数变，方差保持不变
C. 平均数不变，方差变
D. 平均数与方差均发生变化
【答案】B
【解析】
由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变．故选B.
3.已知直线与直线，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先证明充分性是否成立，即由m＝2能否推出 l1⊥l2；再证必要性是否成立，即由l1⊥l2 能否推出 m＝2，从而做出结论．
【详解】当 m＝2时，直线l1：2x﹣2y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0，两直线的斜率之积等于﹣1，故l1⊥l2，充分性成立．
当l1⊥l2时，
∵m﹣1≠0，m≠0，由斜率之积的等于﹣1得：1，
∴m＝2 或 m＝﹣1，
故不能由l1⊥l2 推出 m＝2，故必要性不成立．
综上，“m＝2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，两直线垂直的条件和性质．
4.已知公差不为零的等差数列中，成等比数列，则等差数列的前8项和为（ ）
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意设等差数列的公差为d，运用等比数列的中项的性质，结合等差数列的通项公式，解方程可得d，进而利用求和公式得到n=8的结果；
【详解】由题意设等差数列的公差为d，d≠0，由可得
又成等比数列，
可得a32＝a1a6，
即有（a1+2d）2＝a1（a1+5d），结合
解得d＝（0舍去），
则数列{an}的通项公式an＝2+（n﹣1）＝n+；
∴a8＝，∴
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列通项公式及求和公式的应用，考查了等比数列中项的应用，属基础题．
5.函数的图象大致是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，根据定义在上的奇函数图像关于原点对称可以排除，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果
【详解】当时，
故函数图像过原点，排除
又，令
则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除
故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化
结合四个选项，只有符合要求
故选
【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．
6.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
7.已知曲线在处的切线过点,则实数( )
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求出曲线f（x）＝（2a+1）ex在x＝0处的切线方程，把已知点的坐标代入即可求解a值．
【详解】由f（x）＝（2a+1）ex，得f′（x）＝（2a+1）ex，
∴f′（0）＝2a+1，
又f（0）＝2a+1，
∴曲线f（x）＝（2a+1）ex在x＝0处的切线方程为y﹣2a﹣1＝（2a+1）（x﹣0），
代入（2，1），得﹣2a＝4a+2，解得a．
故选：D．
【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是简单复合函数的求导，是中档题．
8.若把函数的图象关于点对称，将其图象沿轴向右平移个单位后,得到函数的图象,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的性质的应用和函数的图象变换的应用，求出y的函数的关系式，进一步求出函数的最大值．
【详解】由于函数的图象关于点对称，
所以＝kπ（k∈Z），整理得＝kπ，由于，
所以，
则f（x）＝sin（2x），
将其图象沿x轴向右平移个单位后，得到函数y＝g（x）＝sin2x的图象，
所以y＝f（x）+g（x）＝sin（2x）+sin2x
，
当（k∈Z）时，函数的最大值为．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型
9.是边长为的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由平面向量减法的三角形法则得出，然后利用的形状以及平面向量数量积来判断出各选项中命题的正误.
【详解】，，，，
，则与不垂直，
.
因此，D选项正确.
故选D.
【点睛】本题考查平面向量有关命题真假的判断，解题时可以充分利用平面向量加减法以及平面向量数量积的运算来进行判断，考查推理能力，属于中等题.
10.已知，且，若对任意的正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将转化为，利用基本不等式可求得其最小值为，从而得到不等式，解不等式求得结果.
【详解】，
当且仅当，即时取等号
，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查不等式中的恒成立问题，关键是能够利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立的思想构造出不等式.
11.设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角形内角和定理可得．由正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π）可得A的值，结合的面积求得bc,将利用向量加减法运算转化为,即可求得结果.
【详解】∵，，
∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，
∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈（0，π），可得：A=，又的面积为，即,∴bc=4,
又=-=-=-
===-bccosA=2.
故选A.
【点睛】本题主要考查了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．
12.已知函数(e为自然对数的底数)，则满足f(x)＝f[f(1)]的x个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据解析式求得f（f（1）），即问题转化为f（x）的解的个数，分x＞0和x≤0两种情况分别研究方程根的个数即可．
【详解】由题意得，f（f（1）），
∴当x≤0时，x2+2x；
解得x＝0或x＝﹣2；
当x＞0时，；
即lnxx；
在同一坐标系中画出y＝lnx，yx的图象，
由图象知，只有一个交点，∴方程有唯一的实根．
综上述：满足f（x）＝f[f（1）]的x个数是3个；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知实数满足，则的最小值为___________ .
【答案】4
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【详解】由z＝x﹣2y得yx，
作出实数x，y满足对应的平面区域如图
（阴影部分）：
平移直线yx，
由图象可知当直线yx，过点O时，
直线yx截距最大，此时z最小，
，解得A（，）．
代入目标函数z＝x﹣2y，
得z2，
∴目标函数z＝x﹣2y的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
14.若向量，则与夹角的余弦值等于_____
【答案】
【解析】
【分析】
利用坐标运算求得；根据平面向量夹角公式可求得结果.
【详解】
本题正确结果：
【点睛】本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积.
15.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________.
【答案】2x+y=0，或 x-y+6=0
【解析】
【分析】
可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决．
【详解】：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y=-2x，即2x+y=0；
②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数，
∴x-y=a，将A（-2，4）代入得，a=-6，
∴此时所求的直线方程为x-y+6=0；
即答案为2x+y=0，或 x-y+6=0.
【点睛】本题考查直线的截距式方程，当在坐标轴上截距为0时容易忽略，考查分类讨论思想与缜密思考的习惯．
16.设，在线段上任取两点（端点A，B除外 ），将线段分成了三条线段，若分成的三条线段长度均为正整数，则这三条线段可以构成三角形的概率是 ____________；若分成的三条线段的长度均为正实数，则这三条线段可以构成三角形的概率是 _________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形，由古典概型的概念，得到概率．
三条线段的长度均为正实数时，则是几何概型，设出变量，写出全部结果所构成的区域，和满足条件的事件对应的区域，注意整理三条线段能组成三角形的条件，求出面积，作比值得到概率．
【详解】若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：
1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；
2，1，3；2，2，2；2，3，1；
3，1，2；3，2，1；
4，1，1共10种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形
则构成三角形的概率p．
（2）由题意知本题是一个几何概型
设其中两条线段长度分别为x，y，
则第三条线段长度为6﹣x﹣y，
则全部结果所构成的区域为：
0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6，
即为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6
所表示的平面区域为三角形OAB；
若三条线段x，y，6﹣x﹣y，能构成三角形，
则还要满足，即为，
所表示的平面区域为三角形DEF，
由几何概型知所求的概率为：P
【点睛】本题考查古典概型，考查几何概型，对于几何概型的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．
三、解答题（共6大题，17—21每题12分，22、23每题10分，共70分）
17.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出的值；
（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.
【答案】（1）0.035（2）
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图直接求出a．（2）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为．设从5人中随机抽取3人，利用列举法能求出第2组中抽到2人的概率．
【详解】（1）由，得
（2）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为.
设从5人中随机抽取3人，为共10个基本事件
其中第2组恰好抽到2人包含共6个基本事件,
从而第2组抽到2人的概率
【点睛】根据直方图直接看图求值，题干要求用列举法即需要把所有情况都列举出来，再求概率，属于基础题目．
18.在中，内角的对边分别为，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）（2）1
【解析】
【分析】
（1）结合余弦定理进行化简，即可求出结果.
（2）由题意求出的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算，即可得出结果．
【详解】（1）由余弦定理得
化简得，
∴.
∵，∴
（2）由，得，
在中，
∵
，
由正弦定理，
得，
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.
19.已知数列、满足，且
（1）令证明：是等差数列，是等比数列；
（2）求数列和的通项公式；
（3）求数列和的前n项和公式．
【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）数列的前项和为，数列的前项和为.
【解析】
【分析】
（1）在等式中将两式分别相加或相减，利用等差数列的定义可证明出数列是等差数列，利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列；
（2）求出数列、的通项公式，可建立关于、的方程组，解出、，即可得出数列和的通项公式；
（3）利用分组求和法可求出数列和前项和.
【详解】（1），
将上述两等式相加得，
即，因此，又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，.
又由题设得，即，
因此，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，；
（2）由（1）知，，即，
解得，；
（3）设数列和的前项和分别为、，
则，同理可得.
【点睛】本题考查利用定义证明等差数列和等比数列，以及利用分组求和法求和，解题时要熟悉分组求和法对数列通项结构的要求，考查计算能力，属于中等题.
20.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本为万元．
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图）．经实验知，每台机器人的日平均分拣量为
，（单位：件）．已知传统的人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？
【答案】（1）300台；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由总成本万元，可得每台机器人的平均成本，然后利用基本不等式求最值；
（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量，分段求出300台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数，再由最大值除以1200，可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数，则答案可求．
【详解】解：（1）由总成本万元，
可得每台机器人的平均成本：
．
当且仅当，即时，上式等号成立．
∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；
（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量，
当时，300台机器人的日平均分拣量为，
∴当时，日平均分拣量有最大值144000．
当时，日平均分拣量为480×300＝144000．
∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．
若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．
∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少．
【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．
21.已知函数.
（1）若函数在上是单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；
（2）问题可化为f（x2）f（x1），设h（x）＝f（x）lnx+1，求出函数的导数，问题等价于m≥x3+2x在[1，2]上恒成立，利用导数求出m的最小值即可．
【详解】（1）易知不是常值函数，∵在上是增函数，
∴恒成立，所以，只需；
（2）因为，由（1）知，函数在上单调递增，设，
则，可化为，
设，则，
所以为上的减函数，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，设，所以，
因为，所以函数在上是增函数，
所以（当且仅当时等号成立）．
所以．
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一个题目计分。
22.
在极坐标系中，已知两点O(0，0)，B(2，)．
(1)求以OB为直径的圆C的极坐标方程，然后化成直角坐标方程；
（2）以极点O为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于M，N两点，圆C的圆心为C，求三角形MNC的面积．
【答案】(1) (x－1)2＋(y－1)2=2； (2).
【解析】
【详解】(1)设 |OP|＝，角POx＝－，
在直角三角形POB中，cos(－)＝，
即＝2cos(－)．
∴×cos×+2×sin×，
∴圆C的直角坐标方程为 (x－2)2＋(y－2)2=2．
（2）C到直线l的距离为d＝，
在直角三角形CDA中，|MN|＝2＝，
∴S＝××＝．
23.已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）代入的值，根据题意，分情况求解，即可得出结果；
（2）问题转化为恒成立，当时，，令，求出的最大值，求出的范围即可．
【详解】（1）当时，，
由，得或或，
解得：或，
故不等式的解集是；
（2）当]时，，
因此恒成立，即恒成立，
整理得：，
当时，成立，
当时，，
令，
∵，∴，
∴，
∴，
故，
故．
【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记含绝对值不等式的解法，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.