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- 2021-04-12 发布
铁岭市 2016-2017 学年度协作体第二次联考试题
高三数学文科试卷
（时间：100 分钟 满分：150 分）
一．选择题（12 题，每题 5 分，共 60 分）
1．设全集 1,2,3,4,5 , 1 ,A 3U UU C A B C B ，则集合 B （ ）
A． 1,2,4,5 B． 2,4,5 C． 2,3,4 D． 3,4,5
2．已知向量 1,3 , sin ,cosa b 且 / /a b ，则 tan （ ）
A．3 B．-3 C． 1
3
D． 1
3
3． sin 2 3f x x
，为了得到 sin 2g x x 的图象，需将 f x 的图象（ ）
A．向右平移
3
个长度单位 B．向右平移
6
个长度单位
C．向左平移
6
个长度单位 D．向左平移
3
个长度单位
4．将函数 2sin 2xf x 的图象向右移动 0 2
个单位长度，所得的部分图象如
右图所示，则 的值为（ ）
A．
6
B．
3
C．
12
D． 2
3
5．同时具有性质①最小正周期是 ；②图象关于直线
3x 对称；③在[ , ]6 3
上是增函
数的一个函数为（ ）
A. sin( )2 6
xy B． cos(2 )3y x c. sin(2 )6y x D. cos( )2 6
xy
6．已知半径为 2，弧长为 8
3
的扇形的圆心角为 ，则sin 等于（ ）
A． 1
2
B． 3
2
C． 1
2
D． 3
2
7．若 sin cos 1
sin cos 2
，则 tan 2 等于（ ）
A． 3
4
B． 3
4
C． 4
3
D． 4
3
8 ． 已 知 函 数 f x 的 定 义 域 为 R , 当 0x 时 , 3 1f x x , 当 1 1x
时, f x f x , 当 1
2x 时, 1 1
2 2f x f x
, 则 6f （ ）
A． 2 B． 0 C． 1 D． 2
9．若 1sin( )6 3
，则 22cos ( ) 16 2
（ ）
A． 1
3
B． 1
3
C． 7
9
D． 7
9
10 ． 定 义 ： 如 果 函 数 f x 在 ,a b 上 存 在 1 2 1 2,x x a x x b 满 足
1
f b f af x b a
，
2
f b f af x b a
，则称函数 f x 是 ,a b 上的“双中值
函数”，已知函数 3 22f x x x m 是 0,2a 上“双中值函数”，则实 数 a 的取值范围
是（ ）
A． 1 1,8 4
B． 1 1,12 4
C． 1 1,12 8
D． 1 ,18
11．若 x 是三角形的最小内角，函数 sin cos sin cosy x x x x 的最小值是（ ）
A．
1 22
B．
1 22
C．1 D． 2
12．函数 ( ) 2 sinf x x x ，则函数 ( )f x 在区间 2 ,2 上的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（4 题，每题 5 分，共 20 分）
13．已知实数 ,x y 满足 1
1
y x
x y
y
，则目标函数 2z x y 的最大值为__________．
14．已知 1
2x ，那么函数 12 2 2 1y x x
的最小值是
15．函数 33 0f x x x a a ,若 f x 恰有两个零点, 则 a 值为 ．
16．若关于 x 的函数
2 2
2
2 sin( ) tx x t xf x x t
（ 0t ）的最大值为 M ，最小值为 N ，
且 4M N ，则实数t 的值为____________.
三．解答题（70 分）
17．（12 分）锐角△ ABC 内角 CBA ,, 所对应的边分别为 cba ,, ．
已知 bBa 3sin2 ．（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）若 7a ， 2b ，求 cosC ．
18．（12 分）已知函数 3( ) 2sin cos( )3 2f x x x .
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数 ( )f x 在区间[0, ]2
上的最大值及最小值.
19．（12 分）已知函数 2( ) cos sin 1f x x x ．
（Ⅰ）求函数 )(xf 的最小值；
（Ⅱ）若 5( ) 16f ，求 cos 2 的值．
20．（12 分）在 ABC 中，已知内角
3A ，边 2 3BC .设内角 B x ,面积为 y .
(1)若
4x ，求边 AC 的长；
(2)求 y 的最大值.
21.（12 分）函数 函数 有相同极值点．
（1）求函数 的最大值；
（2）求实数 的值；
（3）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
（22—24 题说明：三选一解答,10 分）
22．已知函数 | 2 | 2 ,f x x x a a R .
(Ⅰ) 当 1a 时，解不等式 5f x ；
(Ⅱ) 若存在 0x 满足 0 0 2 3f x x ，求 a 的取值范围.
23．在直角坐标系 xoy 中，直线l 的参数方程为 为参数）t
ty
tx
(
2
22
2
21
，
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C的极坐标方程为 sin4 .
（I）写出直线l 的普通方程和曲线 2C的直角坐标方程；
（II）直线l 与曲线 2C交于 BA、 两点，求 AB .
24．如图，已知 o 是 ABC 的外接圆，AB=BC，AD 是 BC 边上的高，AE 是 o 的直径．
（1）求证： AEADBCAC ；
（2）过点 C 作 o 的切线交 BA 的延长线于点 F，若 AF=4，CF=6，求 AC 的
答案
一. 1-5 BCBAC 6-10 DBAAA 11-12 AC
二. 13. 5 14. 5 15.
2
9 16. 2
三.17．（Ⅰ）因为 bBa 3sin2 ，由正弦定理得： 2sin sin 3sinA B B .-—2 分
所以 3sin 2A .-----—3 分
又因为 A 是锐角，所以 60A . --------4 分
（Ⅱ）由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A .
因为 7a ， 2b ， 60A ，
所以有 27 4 2c c ，整理得 2 2 3 0c c .
解得 3c .-------9 分
由余弦定理得
2 2 2 7 4 9 7cos 2 142 7 2
a b cC ab
.------12 分
18.（Ⅰ） 3( ) 2sin cos( )3 2f x x x
1 3 32sin ( cos sin )2 2 2x x x
2 3sin cos 3sin 2x x x
1 3 3 3sin 2 cos2 2 2 2x x
sin(2 + )3x ．-----4 分
由 32 2 22 3 2k x k ， k Z ，得 7
12 12k x k ， k Z .
即 ( )f x 的单调递减区间为 7[ , ]12 12k k ， k Z . ---------6 分
（Ⅱ）由 0 2x 得 423 2 3x ， ------8 分
所以 3 sin(2 12 3x ） .------10 分
所以当
2x 时， ( )f x 取得最小值 3
2
；当
12x 时， ( )f x 取得最大值 1.---12 分
19.（Ⅰ）因为 2( ) cos sin 1f x x x 2sin sinx x
4
1)2
1(sin 2 x
又 sin 1,1x ，所以当 1sin 2x 时，函数 )(xf 的最小值为 1
4
. ----6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 21 1 5(sin )2 4 16
，
所以 21 9(sin )2 16
．
于是 5sin 4
（舍）或 1sin 4
．----9 分
又 2 21 7cos2 1 2sin 1 2( )4 8
．----12 分
20．（1）由正弦定理得： sin 2 3 sin 45 2 2sin sin 60
BC BAC A
. ------- 4 分
（2）由 ABC 的内角和 A B C ，
3A 20 3B ，
由 sin 4sinsin
BCAC B xA
-------- 6 分
1 2sin 4 3sin sin( )2 3y AC BC C x x = 3 14 3sin ( cos sin )2 2x x x
26sin cos 2 3sinx x x 2 3sin(2 ) 3,6x --------- 10 分
因为 20 3x ， 726 6 6x
当 2 6 2x 即
3x 时， y 取得最大值3 3 . ----------12 分
21（1） ，
由 得 ；由 得 ．
在 上为增函数，在 上为减函数．
函数 的最大值为 ．---------4 分
（2）因为 ，所以 ．
由（1）知， 是函数 的极值点．又因为函数 与 有相同极值点，
是函数 的极值点． ，解得 ．---------6 分
(3) ， ， ， ，即
， ， ，
由（2）知 ， ．
在 上， ；当 时， ．
在 上为减函数，在 上为增函数．
， ， ，而 ，
．
， ， ，------------8 分
①当 ，即 时，对于 ，不等式 恒成立，即
， ，
，由 得 ．-----------------10 分
②当 时，即 ，对于 ，不等式 恒成立，即
，
， ．
综上所述，所求的实数 的取值范围为 ．---------12 分
22. (Ⅰ) 当 1a 时, | 2 | 2 1f x x x .由 5f x 得| 2 | 2 1 5x x .
当 2x 时，不等式 等价于 2 2 1 5x x ，解得 2x ，所以 2x ；当 1 22 x 时，
等 价 于 2 2 1 5x x ， 即 2x ， 所 以 x ； 当 1- 2x 时 ， 不 等 式 等 价 于
2 2 1 5x x ， 解 得 4
3x ， 所 以 4
3x . 故 原 不 等 式 的 解 集 为
4| 23x x x
或 .-------------------------5 分
(Ⅱ) 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4f x x x x a x x a x a x a ,
∵原命题等价于 min2 3, 4 3, 7 1f x x a a .---------------------10 分
23．（I）直线 l 的普通方程为 01 yx ,---------2 分
曲线 2C 的直角坐标方程为 4)2( 22 yx ;-----------5 分
（II）解法一、曲线 2C ： 4)2( 22 yx 是以点（0,2）为圆心，2 为半径的圆，圆心（0,2）
到直线 01 yx 的距离 2
2d
，则
142
142 AB
.-------------10 分
解 法 二 、 由
04
01
22 yyx
yx
可 解 得 A,B 两 点 的 坐 标 为
2
73,2
71,2
73,2
71
，由两点间距离公式可得 14AB .
解法三、设 BA、 两点所对应的参数分别为 BA tt ,
将
为参数）t
ty
tx
(
2
22
2
21
代入 0422 yyx 并化简整理可得
0322 tt ，从而
3
2
BA
BA
tt
tt
因此， 144)( 2 BABA ttttAB .
24．（1）连接 BE，又 ABE 为直角三角形，
所以 090 ADCABE ． ACBAEB 又 ，
所以 ADCABE ，所以
AC
AE
AD
AB ，
即 AEADACAB ，又 BCAB ，故 AEADBCAC
（2）因为 FC 为圆的切线，所以 FBFAFC 2 ，
又 4, 6AF CF ，从而解得 9 5BF AB BF AF ，
因为 CBFACF ， AFCCFB ，所以 CFBAFC
所以
CB
AC
CF
AF ，即
3
10
CF
CBAFAC