数学文卷·2018届四川成都实验高级中学高三上学期1月月考（2018 11页

成都实验高级中学 2015 级高三上学期 1 月月考试题 数 学（文科） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题所给的四个答案中有 且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1.已知集合 ， ，则 （ C ） A. B. C. D. 2.将骰子向桌面上先后抛掷 2 次，其中向上的数之积为 12 的结果有（ B ） A.2 种 B.4 种 C.6 种 D.8 种 3.下列说法正确的是（ C ） A. “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” B. 在 中，“ ” 是“ ”必要不充分条件 C. “若 ，则 ”是真命题 D. 使得 成立 4.设 ， ， 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则 的充分条件为（ C ） A． ， B． ， ， C. ， D． ， 5.已知 是等差数列，且 ，则 （ A ） A． B． C. D． 6.设变量 x，y 满足约束条件{y ≥ x， x＋3y ≤ 4， x ≥ －2， 则 z＝|x－3y|的最大值为( B ) A.4 B.8 C.2 D. 4 5 5 7.榫卯(sŭn măo)是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合 的一种连接方式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结 构．如图所示是一种榫卯构件中榫的三视图，其表面积为（ A ） A. B. { }0,1,2,3,4B = A B = { }0,1,2,3 { }1,2,3 { }1,2 { }2,3 1a > 2 1a > 1a > 2 1a ≤ ABC∆ A B> 2 2sin sinA B> tan 3α ≠ 3 πα ≠ ( )0 ,0x∃ ∈ −∞ 0 03 4x x< a b c α β a b⊥ a c⊥ b c⊥ α β⊥ a α⊂ b β⊂ a α⊥ b α∥ a α⊥ b α⊥ 12 24+ π 12 20+ π { }| ( 3) 0A x x x= − <       na 1 4,1 41 == aa =10a 5 4− 4 5− 13 4 4 13 C. D. 8．设直线 m 与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是(　B　) A．在平面α内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B．过直线 m 有且只有一个平面与平面α垂直 C．与直线 m 垂直的直线不可能与平面α平行 D．与直线 m 平行的平面不可能与平面α垂直 9.已知圆 与双曲线 的渐近线相切，则双曲线的离 心率为 （ D ） A. B. C. D. 10．已知函数 ，若关于 的方程 有两个不同的实根，则实数 的取值范围是( B ) A． B． C． D． 11.已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（ D ） A.1 B.－4 C. D.－1 12.已知函数 y＝f(x)的周期为 2，当 x∈[－1，1]时 f(x)＝x2，那么函数 y＝f(x)的图象与 函数 y＝|lg x|的图象的交点共有( A ) A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 14 24+ π 14 20+ π 3 2 , 2( ) ( 1) , 2 xf x x x x  ≥=   − < x ( )f x k= k ( 1,1)− (0,1) (0,1] ( 1,0)− (1, (1))f 3 4 π a 03422 =+−+ xyx 12 2 2 2 =− b y a x 3 32 22 3 32 a xxxf 2 ln)( += 2 1− 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卡中的横线上) 13．设向量 ， ，且 ，则 ________. 14.阅读下程序框图，为使输出的数据为 40，则①处应填的自然数为 ． 15.在 中， 为 上一点，且 ， ， 为 的角平分线，则 面积的最大值为 ． 16. 已知函数， ，且 的最大值为 ，则实数 __________． 13. 14.4 15. 16.【答案】-3 【解析】. 得 在 和 都是增函数，在 上是减函数，最大值为或， ABC∆ D AC 2AD = 1DC = BD ABC∠ ABC∆ 3 ),4( ma = )2,1( −=b ba ⊥ =+ ba 2 102 第 14 题 , . 所以 ，解得 . 答案为：-3. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 12 分） 已知 ， 且 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 . （1）求函数 的单调递增区间； （2）若 中内角 的对边分别为 且 求 的值及 的面积. 17.解：（1） ┅┅┅┅┅┅┅3 分 因为相邻两对称轴之间的距离为 ，所以 ┅┅┅┅┅4 分 令 的单增区间为 ┅┅┅┅┅┅6 分 ( ) 1 2f x m n= ⋅ −  2 1( ) 2 13sin cos cos ......................12 3 1sin 2 cos2 1................................22 2 f x m n x x x x x ω ω ω ω ω = ⋅ − = − − = − −   分 分 ( ) ( ) ( )Rxxxnxxm ∈>−== ,0,cos,cos,cos,sin3 ωωωωω ( )xf 2 π ( )xf ABC∆ CBA ,, cba ,, ( ) ,sin3sin,0,7 CABfb === ca, ABC∆ 162sin −     −= πωx 2 π πω π == 2 2T 1=∴ω 1)62sin()( −−=∴ π xxf 36226222 πππππππππ +≤≤−+≤−≤− kxkkxk 则 )(xf∴ Zkkk ∈+− ],3,6[ ππππ 在 中，由余弦定理可得 ┅┅┅┅┅┅9 分 ┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 ┅┅┅12 分 18.（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 和 的中点．　 （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积． 18.（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， (2) ( ) sin(2 ) 1 06 0 112 ...............76 6 6 2 6 2 .............83 f B B B B B B π π π π π π π π = − − = < < ∴− < − < ∴ − = ∴ =  分 分 sin 3sin , 3 A C a c = ∴ = 1 1 1ABC A B C− 5AB AC= = 1 6BB BC= = D E 1AA 1B C / /DE ABC E BCD− BC G AG EG ABC∆ 2 1 6 710 6 79 2cos 2 2 2 22222 =−=−+=−+= c c c cc ac bcaB 3,1 ==∴ ac 4 33 2 3132 1sin2 1 =×××==∆ BacS ABC 因为 是 的中点， 所以 ，且 ， 由直棱柱知， ，且 ，而 是 的中点， 所以 且 ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． （2）解：因为 ，所以 平面 ， 所以 ， ， ∵ ， 为 的中点，∴ ⊥ ， 又 平面 ， 平面 ，∴ ， ∵ ， ， 平面 ， ∴ 平面 ， 由条件知 ， ，∴ ， ∴ ， ∴ ． 19.（本小题满分 12 分） 某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器 时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买， 则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台 这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： E 1B C 1/ /EG BB EG 1 1 2 BB= 1 1/ /AA BB 1 1AA BB= D 1AA / /EG AD EG AD= EGAD / /DE AG DE ⊄ ABC AG ⊂ ABC / /DE ABC 1/ /AD BB / /AD BCE E BCD D BCE A BCEV V V− − −= = 1 1 1 1( 6 6) 92 2 2BCE B BCS S∆ ∆= = × × = AB AC= G BC AG BC 1BB ⊥ ABC AG ⊂ ABC 1AG BB⊥ 1BB BC B= 1BB BC ⊂ 1 1BCC B AG ⊥ 1 1BCC B 5AC = 3CG = 4AG = 1 1 9 4 123 3A BCE BCEV S AG− ∆= ⋅ = × × = 12E BCDV − = 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零 件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数． (1)若 n＝19，求 y 与 x 的函数解析式； (2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值； (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零 件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 19．解：(1)当 x≤19 时，y＝3800； 当 x>19 时，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700. 所以 y 与 x 的函数解析式为 y＝{3800，x ≤ 19， 500x－5700，x > 19(x∈N)． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7， 故 n 的最小值为 19. (3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易 损零件上的费用为 3800 元，20 台的费用为 4300 元，10 台的费用为 4800 元，因此这 100 台 机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 1 100×(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000(元)． 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零 件上的费用为 4000 元，10 台的费用为 4500 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需 费用的平均数为 1 100×(4000×90＋4500×10)＝4050(元)． 第 19 题 比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件． 20.（本小题满分 12 分） 已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2， y2)(x1 ( )g x 0a > '( ) 0g x = ln(2 )x a= 由 ，得 ；由 ，得 ， 所以当 时，有极小值 . （Ⅱ） ，即 ，即 ， 令 ，则 ， 当 时，由 知 ，∴ ，原不等式成立， 当 时， ，即 ， ，得 ； ，得 ， 所以 在 上单调递减， 又∵ ，∴ 不合题意， 综上， 的取值范围为 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写 清题号． 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知抛物线 的方程为 ，以抛物线 的焦点 为极点，以 轴在点 右侧部分为 极轴建立极坐标系． （1）求抛物线 的极坐标方程； （2） ， 是曲线 上的两个点，若 ，求 的最大值．　 22．解：（1）由抛物线的定义得： ， 即： ． （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ： ， 当且仅当 时等号成立，故 的最大值为 ． '( ) 0g x > ln(2 )x a> '( ) 0g x < ln(2 )x a< ln(2 )x a= 2 2 ln(2 )a a a− ( ) (1 ) xf x x x e≥ + − 2x x xe ax x e xe− ≥ + − 1 0xe ax− − ≥ ( ) 1xh x e ax= − − '( ) xh x e a= − 1a ≤ 0x ≥ '( ) 0h x ≥ ( ) (0) 0h x h≥ = 1a > '( ) 0h x = lnx a= '( ) 0h x > lnx a> '( ) 0h x < lnx a< ( )h x (0,ln )a (0) 0h = 1a > a ( ,1]−∞ C 2 8y x= C F x F C P Q C FP FQ⊥ 1 1 | | | |FP FQ + 1( 0)4 cos ρ ρρ θ = >+ 4 ( 0)1 cos ρ ρθ= >− 1 2 π π1 cos 1 cos 2 2 sin1 1 1 1 2 sin cos2 4 | | | | 4 4 4FP FQ θ θ θθ θ ρ ρ    − + − + + −   + −   + = + = = = 2 2 4 +≤ 3π 4 θ = 1 1 | | | |FP FQ + 2 2 4 + 23．（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ． （1）当 时，解不等式 ； （2）当 时， 恒成立，求 的取值范围． 23.解：（1） ． 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，∴ ； 当 时， ，即 ，∴ ． 不等式解集为 ． （ 2 ） 或 恒 成 立 ， 所 以 需 即 ． 故 的取值范围是 ． ( ) 2 2 ,f x x x a a R= − − − ∈ 3a = ( ) 0f x > ( ),2x∈ −∞ ( ) 0f x < a