【数学】2020届一轮复习人教A版 坐标系 学案 12页

1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： x′＝λ·xλ＞0， y′＝μ·yμ＞0 的 作用下，点 P(x，y)对应点 P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简 称伸缩变换。 2．极坐标的概念 (1)极坐标系： 如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点，从 O 点引一条射线 Ox，叫做极轴，选定 一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称 为极坐标系。 (2)极坐标： 对于平面内任意一点 M，用ρ表示线段 OM 的长，θ表示以 Ox 为始边、OM 为终边的角度， ρ叫做点 M 的极径，θ叫做点 M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记作 M(ρ， θ)。 当点 M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值。 (3)点与极坐标的关系： 平面内一点的极坐标可以有无数对，当 k∈Z 时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ， θ＋(2k＋1)π)表示同一个点，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的。 如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐 标就一一对应了。 3．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，建立极坐 标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示。 (2)互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ， θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化 公式 x＝ρcosθ y＝ρsinθ ρ2＝x2＋y2 tanθ＝y x (x≠0) 在一般情况下，由 tanθ确定角时，可根据点 M 所在的象限取最小正角。 4．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点， 半径为 r 的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圆心为(r,0)， 半径为 r 的圆 ρ＝2rcosθ －π 2 ≤θ＜π 2 圆心为 r，π 2 ， 半径为 r 的圆 ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π) 过极点，倾斜角 为α的直线 ①θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ∈R) ②θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0) 过点(a,0)，与 极轴垂直的直线 ρcosθ＝a －π 2 <θ<π 2 过点 a，π 2 ，与 极轴平行的直线 ρsinθ＝a(0＜θ＜π) 过点(a,0)， 倾斜角为α 的直线 ρsin(α－θ)＝asinα 1．明辨两个坐标 伸缩变换关系式 x′＝λxλ>0， y′＝μyμ>0， 点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的 曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线 方程。 2．极坐标方程与直角坐标方程互化 (1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式 x＝ρcosθ及 y＝ρsinθ直接代入并 化简。 (2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2 的形式，进行整体代换。 一、走进教材 1．(选修 4－4P15T4 改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是( ) A. 1，π 2 B. 1，－π 2 C．(1,0) D．(1，π) 解析 由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为 x2＋y2＝－2y，化成 标准方程为 x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为 1，－π 2 。故选 B。 解析：由ρ＝－2sinθ＝2cos θ＋π 2 ，知圆心的极坐标为 1，－π 2 。故选 B。 答案 B 2．(选修 4－4P15T3 改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，则线段 y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( ) A．ρ＝ 1 cosθ＋sinθ ，0≤θ≤π 2 B．ρ＝ 1 cosθ＋sinθ ，0≤θ≤π 4 C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π 2 D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π 4 解析 因为 y＝1－x(0≤x≤1)，所以ρsinθ＝ 1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)，所以ρ＝ 1 sinθ＋cosθ 0≤θ≤π 2 。故选 A。 答案 A 二、走出误区 微提醒：①极坐标与直角坐标的互化致误；②求极坐标方程不会结合图形求解致误。 3．将极坐标 2，3π 2 化为直角坐标为( ) A．(0,2) B．(0，－2) C．(2,0) D．(－2,0) 解析 由 x＝ρcosθ＝2cos3π 2 ＝0， y＝ρsinθ＝2sin3π 2 ＝－2， 可知直角坐标为(0，－2)。故选 B。 答案 B 4．在极坐标系中，过点 2，π 2 且与极轴平行的直线方程是( ) A．ρ＝0 B．θ＝π 2 C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2 解析 极坐标为 2，π 2 的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为 y＝2，其极坐标方程为ρsinθ＝2。故选 D。 答案 D 5．在极坐标系中，圆心在( 2，π)且过极点的圆的方程为________。 解析 如图，O 为极点，OB 为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－π 2 ，OB＝2 2＝ ρ sin θ－π 2 ， 化简得ρ＝－2 2cosθ。 答案 ρ＝－2 2cosθ 考点一 伸缩变换 【例 1】 (1)曲线 C：x2＋y2＝1 经过伸缩变换 x′＝2x， y′＝y 得到曲线 C′，则曲线 C′ 的方程为________。 (2)曲线 C 经过伸缩变换 x′＝2x， y′＝3y 后所得曲线的方程为 x′2＋y′2＝1，则曲线 C 的 方程为________。 解析 (1)因为 x′＝2x， y′＝y， 所以 x＝x′ 2 ， y＝y′， 代入曲线 C 的方程得 C′：x′2 4 ＋y′2 ＝1。 (2)根据题意，曲线 C 经过伸缩变换 x′＝2x， y′＝3y 后所得曲线的方程为 x′2＋y′2＝1， 则(2x)2＋(3y)2＝1，即 4x2＋9y2＝1，所以曲线 C 的方程为 4x2＋9y2＝1。 答案 (1)x′2 4 ＋y′2＝1 (2)4x2＋9y2＝1 1．平面上的曲线 y＝f(x)在变换φ： x′＝λxλ>0， y′＝μyμ>0 的作用下的变换方程的求法 是将 x＝x′ λ ， y＝y′ μ 代入 y＝f(x)，整理得 y′＝h(x′)为所求。 2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作 用；二是明确变换前的点 P(x，y)与变换后的点 P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求 解。 【变式训练】 (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： x′＝3x， 2y′＝y， 则点 A 1 3 ，－2 经过变换后所得的点 A′的坐标为________。 (2)双曲线 C：x2－y2 64 ＝1 经过伸缩变换φ： x′＝3x， 2y′＝y 后所得曲线 C′的焦点坐标为 ________。 解析 (1)设 A′(x′，y′)，由伸缩变换φ： x′＝3x， 2y′＝y， 得到 x′＝3x， y′＝1 2 y。 由于点 A 的坐标为 1 3 ，－2 ，于是 x′＝3×1 3 ＝1，y′＝1 2 ×(－2)＝－1，所以 A′的坐标为(1，－ 1)。 (2)设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，将 x＝1 3 x′， y＝2y′ 代入 x2－y2 64 ＝1，得x′2 9 － 4y′2 64 ＝1，化简得x′2 9 －y′2 16 ＝1，即为曲线 C′的方程，知 C′仍是双曲线，其焦点坐标分 别为(－5,0)，(5,0)。 答案 (1)(1，－1) (2)(－5,0)，(5,0) 考点二极坐标与直角坐标的互化 【例 2】 (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y＝k|x|＋2。以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ －3＝0。 (1)求 C2 的直角坐标方程； (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程。 解 (1)由 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得 C2 的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4。 (2)由(1)知 C2 是圆心为 A(－1,0)，半径为 2 的圆。由题设知，C1 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线。记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2。由于 B 在圆 C2 的外面， 故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点。 当 l1 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l1 所在直线的距离为 2，所以|－k＋2| k2＋1 ＝2，故 k＝ －4 3 或 k＝0。 经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k＝－4 3 时，l1 与 C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有两个公共点。 当 l2 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l2 所在直线的距离为 2，所以|k＋2| k2＋1 ＝2，故 k＝0 或 k＝4 3 。 经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k＝4 3 时，l2 与 C2 没有公共点。 综上，所求 C1 的方程为 y＝－4 3 |x|＋2。 1．极坐标与直角坐标的互化依据是 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ。 2．互化时要注意前后的等价性。 【变式训练】 (1)(2018·海南二模)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ＋π 3 。求曲线 C 的 直角坐标方程。 (2)在平面直角坐标系中，曲线 C1 ： x＝3＋3cosα， y＝2sinα (α为参数)经过伸缩变换 x′＝x 3 ， y′＝y 2 后的曲线为 C2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。求 C2 的极坐标方程。 解 (1)把ρ＝4sin θ＋π 3 展开得ρ＝2sinθ＋2 3cosθ， 两边同乘ρ得ρ2＝2ρsinθ＋2 3ρcosθ ①。 将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2 －2 3x－2y＝0。 (2)由题意得曲线 C2 的参数方程为 x′＝1＋cosα， y′＝sinα (α为参数)， 则曲线 C2 的直角坐标方程为(x′－1)2＋y′2＝1， 将 x′＝ρcosθ，y′＝ρsinθ代入整理得ρ＝2cosθ， 所以曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝2cosθ。 考点三求曲线的极坐标方程 【例 3】 在极坐标系中，直线 C1 的极坐标方程为ρsinθ＝2，M 是 C1 上任意一点，点 P 在射线 OM 上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点 P 的轨迹为 C2。 (1)求曲线 C2 的极坐标方程； (2)求曲线 C2 上的点到直线ρcos θ＋π 4 ＝ 2距离的最大值。 解 (1)设 P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)， 由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝ 4 ρ1 。 因为 M 是 C1 上任意一点，所以ρ2sinθ＝2， 即 4 ρ1 sinθ＝2，ρ1＝2sinθ。 所以曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝2sinθ。 (2)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，即 x2＋y2－2y＝0， 化为标准方程为 x2＋(y－1)2＝1， 则曲线 C2 的圆心坐标为(0,1)，半径为 1， 由直线ρcos θ＋π 4 ＝ 2， 得：ρcosθcosπ 4 －ρsinθsinπ 4 ＝ 2，即 x－y＝2， 圆心(0,1)到直线 x－y＝2 的距离为 d＝|0×1＋1×－1－2| 2 ＝3 2 2 ， 所以曲线 C2 上的点到直线ρcos θ＋π 4 ＝ 2距离的最大值为 1＋3 2 2 。 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设 P(ρ，θ)是曲线上任意一 点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程。 【变式训练】 (2019·广州五校联考)在极坐标系中，圆 C 是以点 C 2，－π 6 为圆心， 2 为半径的圆。 (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)求圆 C 被直线 l：θ＝－5π 12 (ρ∈R)所截得的弦长。 解 (1)设所求圆上任意一点，M(ρ，θ)，如图， 在 Rt△OAM 中，∠OMA＝π 2 ， ∠AOM＝2π－θ－π 6 ，|OA|＝4。 因为 cos∠AOM＝|OM| |OA| ， 所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM， 即ρ＝4cos 2π－θ－π 6 ＝4cos θ＋π 6 ， 验证可知，极点 O 与 A 4，－π 6 的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos θ＋π 6 为所求。 (2)设 l：θ＝－5π 12 (ρ∈R)交圆 C 于点 P，在 Rt△OAP 中，∠OPA＝π 2 ，易得∠AOP＝π 4 ， 所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2 2。 解：(1)圆 C 是将圆ρ＝4cosθ绕极点按顺时针方向旋转π 6 而得到的圆， 所以圆 C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ＋π 6 。 (2)将θ＝－5π 12 代入圆 C 的极坐标方程 ρ＝4cos θ＋π 6 ，得ρ＝2 2， 所以圆 C 被直线 l：θ＝－5π 12 (ρ∈R)所截得的弦长为 2 2。 考点四极坐标方程的应用 【例 4】 (2018·山东淄博二模)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程是 x＝4。曲 线 C 的参数方程是 x＝1＋ 2cosφ， y＝1＋ 2sinφ (φ为参数)。以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系。 (1)求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝α ρ≥0，0<α<π 4 与曲线 C 交于点 O，A，与直线 l 交于点 B，求|OA| |OB| 的 取值范围。 解 (1)由ρcosθ＝x，得直线 l 的极坐标方程为ρcosθ＝4。 曲线 C 的参数方程为 x＝1＋ 2cosφ， y＝1＋ 2sinφ (φ为参数)，消去参数φ得曲线 C 的普通方 程为(x－1)2＋(y－1)2＝2， 即 x2＋y2－2x－2y＝0， 将 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ， 所以曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋2sinθ。 (2)设 A(ρ1，α)，B(ρ2，α)， 则ρ1＝2cosα＋2sinα，ρ2＝ 4 cosα ， 所以|OA| |OB| ＝ρ1 ρ2 ＝2cosα＋2sinαcosα 4 ＝sinαcosα＋cos2α 2 ＝1 4 (sin2α＋cos2α)＋1 4 ＝ 2 4 sin 2α＋π 4 ＋1 4 ， 因为 0<α<π 4 ，所以π 4 <2α＋π 4 <3π 4 ， 所以 2 2