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- 2021-04-12 发布
2.1 函数及其表示
1.函数与映射
函数
映射
两集合A、B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空集合
对应法则f：A→B
如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应
如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应
名称
这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
f：A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域.
(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域.
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法.
3.分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
【知识拓展】
求函数定义域常见结论
(1)分式的分母不为零；
(2)偶次根式的被开方数不小于零；
(3)对数函数的真数必须大于零；
(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；
(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)；
(6)零次幂的底数不能为零；
(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.( × )
(3)映射是特殊的函数.( × )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射.( × )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )
1.已知函数f(x)＝，若f(a)＝5，则实数a的值为________.
答案 12
解析 f(a)＝，由题意知＝5，所以a＝12.
2.(2016·江苏)函数y＝的定义域是________.
答案 [－3,1]
解析 要使原函数有意义，需满足3－2x－x2≥0，
解得－3≤x≤1，故函数的定义域为[－3,1].
3.(教材改编)设f(x)＝g(x)＝ 则f(g(π))的值为________.
答案 0
解析 由题意得，g(π)＝0，
∴f(g(π))＝f(0)＝0.
4.(教材改编)如果f()＝，则当x≠0,1时，f(x)＝________.
答案
解析 令＝t，则x＝，代入f()＝，
则有f(t)＝＝，∴f(x)＝.
5.已知f(x)＝，则f(f(x))的定义域为________.
答案 {x|x≠－2且x≠－1}
解析 因为f(x)＝，
所以f(x)的定义域为{x|x≠－1}，
则在f(f(x))中，f(x)≠－1，即≠－1，
解得x≠－2，
所以f(f(x))的定义域为{x|x≠－2且x≠－1}.
题型一 函数的概念
例1 有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确判断的序号是________.
答案 ②③
解析 对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1.
综上可知，正确的判断是②③.
思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同).
(1)(2016·南京模拟)下列所给图象中函数图象的个数为________.
(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是________.
①y＝x－1和y＝；
②y＝x0和y＝1；
③f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；
④f(x)＝和g(x)＝.
答案 (1)2 (2)④
解析 (1)①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.
(2)①中两个函数的定义域不同；②中y＝x0的x不能取0；③中两函数的对应法则不同.
题型二 函数的定义域问题
命题点1 求函数的定义域
例2 (1)(教材改编)函数f(x)＝的定义域用区间表示为____________.
(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________.
答案 (1)[0,1)∪(1,2) (2)[0,1)
解析 (1)要使函数有意义，需满足
即
∴函数f(x)的定义域为[0,1)∪(1,2).
(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，
又x－1≠0，即x≠1，
所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0,1).
引申探究
例2(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝的定义域为________________.
答案 [，1)∪(1，]
解析 由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]，
得函数y＝f(x)的定义域为[1,3]，
令得≤x≤且x≠1，
∴g(x)的定义域为[，1)∪(1，].
命题点2 已知函数的定义域求参数范围
例3 (1)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________.
(2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________.
答案 (1)[－1,0] (2)[0,3)
解析 (1)因为函数f(x)的定义域为R，
所以－1≥0对x∈R恒成立，
即≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，
因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
(2)因为函数y＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，
即函数t＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点.
当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；
当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得01) (2)2x＋7 (3)＋
解析 (1)(换元法)令t＝＋1(t>1)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1).
(2)(待定系数法)
设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，
∴解得
∴f(x)＝2x＋7.
(3)(消去法)
在f(x)＝2f()－1中，用代替x，
得f()＝2f(x)－1，
将f()＝－1代入f(x)＝2f()－1中，
可求得f(x)＝＋.
思维升华 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(4)消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式；
(2)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；
(3)已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，求f(x).
解 (1)设＋1＝t(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1).
(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k2x＋kb＋b，
即k2x＋kb＋b＝4x－1，
∴∴或
故f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(3)以－x代替x得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，
∴f(－x)＝－3f(x)－2x＋1，代入f(x)＋3f(－x)＝2x＋1可得f(x)＝－x＋.
2.分类讨论思想在函数中的应用
典例 (1)已知实数a≠0，函数f(x)＝
若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为______________.
(2)(2015·山东改编)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是____________.
思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；
(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.
解析 (1)当a>0时，1－a<1,1＋a>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－，不合题意.
当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，可得
－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－，符合题意.
(2)由f(f(a))＝2f(a)，得f(a)≥1.
当a<1时，有3a－1≥1，
∴a≥，∴≤a<1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥.
答案 (1)－ (2)
1.下列各组函数中，表示同一函数的是________.
①y＝与y＝x＋3；
②y＝－1与y＝x－1；
③y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)；
④y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z.
答案 ③
解析 ①中两函数的定义域不同；②，④中两函数的对应法则不同.
2.(2016·江苏苏锡常镇调研)函数f(x)＝的定义域为__________.
答案 (0,1)∪(1,2)
解析 由题意可得
解得00时，2－m<2,2＋m>2，所以3(2－m)－m＝－(2＋m)－2m，所以m＝8；当m<0时，2－m>2，2＋m<2，所以3(2＋m)－m＝－(2－m)－2m，所以m＝－.
9.(2015·浙江)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
答案 0 2－3
解析 ∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－3<0；
当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为2－3.
10.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有________.
①[－x]＝－[x]；
②x－1<[x]≤x；
③∀x，y∈R，[x]＋[y]≤[x＋y]；
④∀x≥0，y≥0，[xy]≤[x][y]；
⑤离实数x最近的整数是－[－x＋].
答案 ②③⑤
解析 当x＝1.1时，[－x]≠－[x]，①错；因为[x]表示不超过x的最大整数，所以②恒成立，即②对；因为[x]表示不超过x的最大整数，所以x－[x]为小数部分，记作{x}，设[x]＝a，{x}＝b，[y]＝c，{y}＝d，因为[x＋y]＝[a＋b＋c＋d]＝a＋c＋[b＋d]＝[x]＋[y]＋[b＋d]，所以[x＋y]≥[x]＋[y]，③对；同理因为[xy]＝[(a＋b)(c＋d)]＝[ac＋ad＋bc＋bd]＝ac
＋[ad＋bc＋bd]＝[x][y]＋[ad＋bc＋bd]，所以[xy]≥[x][y]，④错；用特殊值检验可知⑤对.
故答案为②③⑤.
11.已知f(x)＝
(1)求f(－)的值；
(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值.
解 (1)由题意，得f(－)＝f(－＋1)＝f(－)
＝f(－＋1)＝f()＝2×＋1＝2.
(2)当0