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- 2021-04-12 发布
专题02 平面向量的数量积
1．数量积的概念
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角．注意：零向量与任一向量的数量积为0．
2．投影的概念
设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影．
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度．
3．数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积．
4．平面向量数量积的运算律
已知向量和实数，则
①交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：．
5．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量，是与的夹角．
（1）数量积：．
（2）模：．
（3）夹角：．
（4）垂直与平行：；a∥b⇔a·b=±|a||b|．
注意：当与同向时，；
当与反向时，．
（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔．
6．平面向量的应用
已知．
（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：
（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：
（其中为非零向量）
（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：
（其中为非零向量）
（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：，
或（其中两点的坐标分别为）
（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题．
7．平面向量的数量积的类型及解法
（1）平面向量数量积有两种计算公式：①夹角公式；②坐标公式．
（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
已知向量，向量满足，的夹角为，则________________．
【答案】
【解析】由题意可得，则．
若，且，则向量与的夹角为________________．
【答案】120°
【解析】由，得，又，所以，即，设向量与的夹角为θ，则，所以θ=120°，即向量与的夹角为120°．
已知单位向量e1，e2的夹角为α，且，若向量a=3e1−2e2，则|a|=________________．
【答案】3
【解析】因为a2=(3e1−2e2)2=9−2×3×2×cosα＋4=9，所以|a|=3．
等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为________________．
【答案】
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值．
【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
设，则，∴．
设向量的夹角为，则．
1．设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=________________．
2．设平面向量，若，则________________．
3．已知向量，且，则m=________________．
4．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记，，，则的大小关系为________________．（用小于号连接）
5．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=________________．
6．已知向量，则________________．
7．在中，，，．若，，且，则的值为________________．
8．已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是________________．
9．已知向量a=(1，2)，b=(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________________．
10．设向量，其中，若，则________________．
11．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是________________．
12．已知向量a，b满足则的最小值是________________，最大值是________________．
1．【2016江苏】如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是________________．
2．【2017江苏】在平面直角坐标系中，点在圆上，若则点的横坐标的取值范围是________________．
3．【2018江苏】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________________．
4．【2017江苏】已知向量
（1）若a∥b，求x的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
1．【答案】
【解析】由，得，即，所以，解得．
2．【答案】
【解析】因为，所以，解得从而=(1，2)，．
3．【答案】8
【解析】由题意得，由得，解得．
4．【答案】
【解析】因为，，，所以，
即．
5．【答案】
【解析】，所以．
6．【答案】30°
【解析】因为向量，所以
，所以．
7．【答案】
【解析】由题可得，则．
8．【答案】
【解析】∵，
，
，
，解得．
9．【答案】
【解析】由题意知，向量a=(1，2)，b=(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则根据向量的数量积可知，a(a＋λb)＞0，a２＋λab＞0，而a２=5，ab=1+2=3，则5+3λ>0，同时a，a＋λb不能共线且同向，则λ，解得λ>−且λ≠0，故实数λ的取值范围为．
10．【答案】
【解析】将的两边平方并化简可得，
又，是单位向量，∴，即，即，
又，∴．
11．【答案】
【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，，，设，
则，，，
所以，，
当时，所求的最小值为．
12．【答案】4
【解析】设向量的夹角为，则，
，
则，
令，则，
据此可得：，
即的最小值是4，最大值是．
1．【答案】
【解析】因为，
，
因此，
2．【答案】
【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为．
3．【答案】3
【分析】先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果．
【解析】设，
则由圆心为中点得易得，
与联立解得点D的横坐标所以，
所以，
由得或，
因为，所以
4．【答案】（1）；（2）时，取得最大值3；时，取得最小值．
【分析】（1）先由向量平行的坐标表示得，再根据同角三角函数的基本关系可得；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得，再根据的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．
【解析】（1）因为，，a∥b，所以．
若，则，与矛盾，故．
于是．又，所以．
（2）．
因为，所以，从而．
于是，当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值．
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