【数学】2018届一轮复习人教A版第六章第2讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题学案 15页

第2讲　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P111])‎ ‎1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式(组)‎ 表示区域 Ax＋By＋C>0‎ 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0‎ 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 ‎2.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．‎ ‎3．线性规划的有关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)‎ 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)‎ 目标函数 关于变量x，y的函数解析式，如z＝x＋2y 线性目标函数 关于变量x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)的形式；‎ ‎(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．‎ ‎2．求z＝ax＋by(ab≠0)的最值方法 将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．‎ ‎(1)当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；‎ ‎(2)当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．‎ ‎1. 不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的(　　)‎ A．右上方　　 B．右下方　　‎ C．左上方　　 D．左下方 ‎　C　[解析] 画出x－2y＋6<0的图象如图所示，可知该区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．故选C.‎ ‎2. 已知实数x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为(　　)‎ A．3 B． ‎ C．－ D．－3‎ ‎　A　[解析] 画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，知y＝－2x＋z，当目标函数过点(2，－1)时直线在y轴上的截距最大，为3.‎ ‎3．(2016·高考北京卷)已知A(2，5)，B(4，1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为(　　)‎ A．－1 B．3 ‎ C．7 D．8‎ ‎　C　[解析] 依题意得kAB＝＝－2，所以线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2，4]，即y＝－2x＋9，x∈[2，4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2，4]．设h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2，4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7.‎ ‎4．(2017·扬州模拟)点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是__________．‎ ‎[解析] 因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞.‎ ‎[答案] ‎5．约束条件表示的平面区域的面积为________．‎ ‎[解析] ‎ 作出所表示的平面区域如图中阴影部分所示．‎ 则A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)，‎ 所以S阴＝S△ABC＝×4×2＝4.‎ ‎[答案] 4‎ ‎　二元一次不等式(组)表示的平面区域[学生用书P112]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)不等式组表示的平面区域的面积为________．‎ ‎(2)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．‎ ‎【解析】　(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，‎ 由得A(8，－2)．‎ 由x＋y－2＝0得B(0，2)．又|CD|＝2，故S阴影＝×2×2＋×2×2＝4.‎ ‎(2)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)．‎ 解得A；解得B(1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是0zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或a＝2.‎ 法二：目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2.‎ ‎[答案] －1或2‎ ‎11．若x，y满足约束条件 ‎(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；‎ ‎(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．‎ ‎[解] (1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．‎ 平移初始直线x－y＋＝0，过A(3，4)时z取最小值－2，过C(1，0)时z取最大值1.‎ 所以z的最大值为1，最小值为－2.‎ ‎(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，‎ 解得－4