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- 2021-04-12 发布
第
1
讲 函数与方程思想、数形结合思想
数学思想解读
1.
函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题
.
有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程
(
组
)
，进而通过解方程
(
组
)
求得未知量
.
函数与方程思想是相互联系，相互为用的
.
2.
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想
.
数形结合思想的应用包括以下两个方面：
(1)
“
以形助数
”
，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；
(2)
“
以数定形
”
，把直观图形数量化，使形更加精确
.
探究提高
1.
第
(1)
题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解
.
2.
函数方程思想求解方程的根或图象交点问题
(1)
应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题
.
(2)
含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决
.
答案
(1)C
(2)8
探究提高
1.
本题完美体现函数与方程思想的应用，第
(2)
问利用裂项相消求
T
n
，构造函数，利用单调性求
T
n
的最小值
.
2.
数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前
n
项和公式即为相应的解析式，因此在解决数列最值
(
范围
)
问题的方法如下：
(1)
由其表达式判断单调性，求出最值；
(2)
由表达式不易判断单调性时，借助
a
n
＋
1
－
a
n
的正负判断其单调性
.
探究提高
几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个
(
或者多个
)
变量的函数，然后借助于函数最值问题的求法来求解，这是求面积、线段长最值
(
范围
)
的基本方法
.
解析
(1)
由
f
(
x
)
＝
|2
x
－
2|
－
b
有两个零点，
可得
|2
x
－
2|
＝
b
有两个不等的实根，
从而可得函数
y
＝
|2
x
－
2|
的图象与函数
y
＝
b
的图象有两个交点，如图所示
.
结合函数的图象，可得
0
＜
b
＜
2.
(2)
作出
f
(
x
)
的图象如图所示
.
当
x
>
m
时，
x
2
－
2
mx
＋
4
m
＝
(
x
－
m
)
2
＋
4
m
－
m
2
.
∴
要使方程
f
(
x
)
＝
b
有三个不同的根，则有
4
m
－
m
2
<
m
，即
m
2
－
3
m
>0.
又
m
>0
，解得
m
>3.
答案
(1)(0
，
2)
(2)(3
，＋
∞
)
探究提高
1.
本题利用数形结合思想，将函数零点或方程的根的情况转化为两函数图象交点问题
.
2.
探究方程解的问题应注意两点：
(1)
讨论方程的解
(
或函数的零点
)
一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解
.
(2)
正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合
.
应用
2
利用数形结合思想求最值、范围
【例
5
】
(1)
记实数
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
中最小数为
min{
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
}
，则定义在区间
[0
，＋
∞
)
上的函数
f
(
x
)
＝
min{
x
2
＋
1
，
x
＋
3
，
13
－
x
}
的最大值为
(
)
A.5 B.6 C.8 D.10
(2)
已知圆
C
：
(
x
－
3)
2
＋
(
y
－
4)
2
＝
1
和两点
A
(
－
m
，
0)
，
B
(
m
，
0)(
m
>0).
若圆
C
上存在点
P
，使得
∠
APB
＝
90°
，则
m
的最大值为
(
)
A.7 B.6 C.5 D.4
解析
(1)
在同一坐标系中作出三个函数
y
＝
x
2
＋
1
，
y
＝
x
＋
3
，
y
＝
13
－
x
的图象如图：
由图可知，在实数集
R
上，
min{
x
2
＋
1
，
x
＋
3
，
13
－
x
}
为
y
＝
x
＋
3
上
A
点下方的射线，抛物线
AB
之间的部分，线段
BC
，与直线
y
＝
13
－
x
点
C
下方的部分的组合图
.
显然，在区间
[0
，＋
∞
)
上，在
C
点时，
y
＝
min{
x
2
＋
1
，
x
＋
3
，
13
－
x
}
取得最大值
.
答案
(1)C
(2)B
探究提高
1.
第
(1)
题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第
(2)
题利用几何直观，把
m
的值转化为圆上的点到原点的距离
.
2.
运用数形结合思想求解最值问题
(1)
对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解
.
(2)
应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：
①
比值
——
可考虑直线的斜率；
②
二元一次式——可考虑直线的截距；
③
根式分式——可考虑点到直线的距离；
④
根式——可考虑两点间的距离
.
答案
D
答案
(1)A
(2)C
探究提高
1.
第
(1)
题利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合
f
(
－
1)
＝
0
可作出函数的图象，利用图象即可求出
x
的取值范围
.
2.
求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个
(
或多个
)
函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答
.
解析
(1)
由题意，易知
a
>1.
在同一坐标系内作出
y
＝
(
x
－
1)
2
，
x
∈
(1
，
2)
及
y
＝
log
a
x
的图象
.
若
y
＝
log
a
x
过点
(2
，
1)
，得
log
a
2
＝
1
，所以
a
＝
2.
根据题意，函数
y
＝
log
a
x
，
x
∈
(1
，
2)
的图象恒在
y
＝
(
x
－
1)
2
，
x
∈
(1
，
2)
的上方
.
结合图象，
a
的取值范围是
(1
，
2].
答案
(1)(1
，
2]
(2)(
－
1
，
1]
1.
当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想
.
2.
借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解
(
证
)
不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解
.
3.
许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量
.
4.
在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的
.
5.
有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的
.