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- 2021-04-12 发布
河北省邯郸市2017届高三上学期质量检测
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.设集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
3. 若，则的值为（ ）
A． B． C. D．
4.已知为数列的前项和，若且，则等于（ ）
A．6 B．12 C. 16 D．24
5. 直线与双曲线的左支、右支分别交于两点，为坐标原点，且为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
6.若函数在区间上递减，且，则（ ）
A． B． C. D．
7.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于（ ）
A．4 B．8 C. 16 D．32
8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．6 B．9 C. 12 D．18
9.设满足约束条件若，则仅在点处取得最大值的概率为（ ）
A． B． C. D．
10.已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，且的最小值为，则等于（ ）
A．4 B． C. 5 D．
11.已知这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如下图所示，则函数的图象的一条对称轴方程可以为（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数若关于的方程存在2个实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.的展开式中的系数为 ．
14.随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为，已知向量，设，则的数学期望 ．
15.在公差大于1的等差数列中，已知，则数列的前20项和为 ．
16.已知四面体的每个顶点都在球的表面上，,底面，为的重心，且直线与底面所成角的正切值为，则球的表面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）
在中，内角的对边分别是，已知.
（1）若，求的面积；
（2）求的最小值，并确定此时的值.
18. （本小题满分12分）
已知某企业近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：
（1）试问这3年的前7个月中哪个月的平均利润最高？
（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；
（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润.
相关公式：.
19. （本小题满分12分）
已知数列的前项和，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20. （本小题满分12分）
四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，为线段上一点，且，点分别为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面与直线交于点，求二面角的余弦值.
21. （本小题满分12分）
已知椭圆的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点垂直于的直线与轴交于点，且，求的值.
22. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求证：；
（2）若，求的最大值；
（3）求证：当时，.
试卷答案
一、选择题
1.A .
2.A ∵,∴.
3.C ∵，∴.
4.B ∵，∴，∴，∴，∴.
5.B 由为等腰直角三角形得，，∴.联立与得,∴点的坐标为，则，∴
6.D 结合复合函数的单调性可得的递减区间为，∴，∴，又，∴.
7.C
，则输出.
8.B 该几何体是一个直三棱柱切去右上方部分所得，如下图所示，其体积为.
9.B 作出不等式组表示的可行域，可知点为直线与的交点，所以数形结合可得直线的斜率，即.故由几何概型可得所求概率为.
10.D 设，
则
，
当（∵，∴）时，取得最小值
又，则.易知点在抛物线上，则.
11.C ，由得，∴，
，由图可知,在处没有意义的是曲线的图象,而的图象在上的第一个最高点为,从而, 的图象为在上先增后减的曲线,剩下的那条曲线就是 的图象.
∵，∴,
∴，
∴，
令
故选 C.
12.B 设
当时，递增，∴
当时，，递减，∴.
当时，，递减，∴.
作出的图象，由图可知，当存在2个实数根.
13. 的展开式中的项为.
14. 4 ∵，∴，
∴的分布列为
∴.
15. ∵，∴.∵，∴.
当，不合题意.当，∴.
故数列的前20项和为.
16. 取的中点，连接，则，因为底面，所以直线与底面所成角为，则，所以，设外接圆的半径为，则，所以，从而球的表面积为.
17.（1）由正弦定理可得，
∵，∴，
由余弦定理可得，∴，
∴的面积为.
（2）∵，
∴，当且仅当，即时取等号，
此时，即，
故的最小值为，此时.
18.解：(1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高.
(2)第1年前7个月的总利润为(百万元)，
第2年前7个月的总利润为(百万元)，
第3年前7个月的总利润为(百万元)，
∴这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.
(3)∵，
∴，
∴，
∴，
当时， (百万元)，∴估计8月份的利润为940万元.
19.解：(1)当时，.
（2）由(1)可得，
∴.
20.(1)证明：在等腰中，,
则由余弦定理可得,∴.
∴,∴.
∵平面平面，平面平面，
∴平面.
(2)解：由已知可得，
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
从而.
设平面的法向量为，则，
即，
令，可得平面的一个法向量为.
由（1）知平面的一个法向量为,
,
由图可知二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
21.解：(1)过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为，依题意知，
，又，
解得，
∴椭圆的方程为.
(2)设过椭圆的右焦点的直线的方程为，
将其代入中得，，
设，
则，
∴，
∵为线段的中点，
∴点的坐标为，
又直线的斜率为，
直线的方程为，
令得，，由点的坐标为，
∴,∴
∴，∴.
22.解：(1)设，则.
当时，，函数递减；当时，，函数递增.
所以当时，.
∵,∴,∴.
(2) 解：由得或（由（1）知不成立舍去），
即，
设，则，
当时，,函数递增；当时，,函数递减，所以当时，
,∴.
（3）证明：
.
当时,,∴.
故，等号若成立，则即，由（1）知不成立，
故等号不成立，
从而.