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- 2021-04-12 发布
2019-2020学年安徽省铜陵市枞阳县浮山中学高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题）
1. 若A，B表示点，a表示直线，表示平面，则下列叙述中正确的是
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
2. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若1，，0，，则直线l与平面的位置关系是
A. 垂直
B. 平行
C. 相交但不垂直
D. 直线l在平面内或直线l与平面平行
3. 化简方程为不含根式的形式是
A. B. C. D.
4. 已知圆，直线l：若圆上有2个点到直线l的距离等于则以下b可能的取值是
A. 1 B. C. 2 D.
5. 已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
6. 若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是
A. B.
C. 或 D.
7. 已知直线l：和点在直线上求一点Q，使过P、Q的直线与L以及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小．则Q坐标为
A. B. C. D.
8. 设是双曲线的一个焦点，，是C的两个顶点，C上存在一点P，使得与以为直径的圆相切于Q，且Q是线段的中点，则C的渐近线方程为
A. B. C. D.
9. 已知双曲线C：的离心率为2，左右焦点分别为，，点A在双曲线C上，若的周长为10a，则的面积为
A. B. C. D.
10. 设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点
A. 必在圆外 B. 必在圆上
C. 必在圆内 D. 以上三种情形都有可能
11. 已知，Q是椭圆上的动点，M是线段PQ上的点，且满足，则动点M的轨迹方程是
A. B.
C. D.
12. 已知双曲线左焦点为F，P为双曲线右支上一点，若FP的中点在以为半径的圆上，则P的横坐标为
A. B. 4 C. D. 6
二、填空题（本大题共4小题）
13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则曲线C的方程为______．
14. ，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线分别交于点A，B，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为______．
1. 已知O为坐标原点，平行四边形ABCD内接于椭圆：，点E，F分别为AB，AD的中点，且OE，OF的斜率之积为，则椭圆的离心率为______．
2. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为______．
三、解答题（本大题共6小题）
3. 已知一动圆与圆外切，且与圆内切．
求动圆圆心P的轨迹方程C；
过点能否作一条直线l与C交于A，B两点，且点Q是线段AB的中点，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由．
4. 如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且
求证：平面BDEF；
求二面角的余弦值．
5. 已知椭圆C：的焦距为2，左右焦点分别为，，以原点O为圆心，以椭圆C的半短轴长为半径的圆与直线相切．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ设不过原点的直线l：与椭圆C交于A，B两点．
若直线与的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
若直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，求面积的取值范围．
1. 已知抛物线，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且．
Ⅰ求点P的轨迹方程；
Ⅱ试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．
2. 已知椭圆，若在，，四个点中有3个在M上．
求椭圆M的方程；
若点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点，且，求的取值范围．
3.
已知椭圆C的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，离心率为．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点求证：与的面积之比为4：5．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：点与面的关系用符号，而不是，所以答案A错误；直线与平面的关系用表示，则表示错误；
点A不在直线a上，但只要A，B都在平面内，也存在，答案C错误；而，，则，所以答案D正确．
故选：D．
本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可．
立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．
2.【答案】D
【解析】解：，
，
直线l在平面内或直线l与平面平行．
故选：D．
由，即可判断出直线l与平面的位置关系．
本题考查了平面法向量的应用、直线与平面的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆锥曲线的定义，考查方程的几何意义，考查椭圆的标准方程，是个简单题．
方程，它的几何意义是动点到定点与到定点的距离之和为10，从而轨迹为椭圆，故可求．
【解答】
解：方程，
它的几何意义是动点到定点与到定点的距离之和为，
从而轨迹为椭圆，焦点在y轴上，
且，，，
其标准方程为：
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：圆的圆心坐标为，半径．
要使圆上有2个点到直线l的距离等于1，
则圆心到直线l：的距离d满足，
即，即，
解得，
结合选项可得b可能的取值是2．
故选：C
．
由题意可得圆心到直线l：的距离d满足根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值不等式求得实数b的取值范围，结合选项得答案．
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，是基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系的应用，两点距离公式的应用，属于一般题．
由，可得点P在以AB为直径的圆上，又点P在圆C上，则两圆有交点，由两圆的位置关系列关系式求得m的取值范围即可．
【解答】
解：圆C：的圆心，半径为1，
圆心C到的距离为5，
圆C上的点到点O的距离的最大值为6．
再由可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，
可得，故有，
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题．
由题意可得可以看作点P到直线m：与直线l：距离之和的5倍，
，根据点到直线的距离公式解得即可．
【解答】
解：设
，
故可以看作点P到直线m：与直线l：距离之和的5倍，
取值与x，y无关，
这个距离之和与P无关，
如图所示：当圆在两直线之间时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，
此时与x，y的值无关，
当直线m与圆相切时，，
化简得，
解得或舍去，
．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：设，则直线PQ：，
令，则，即直线PQ与x轴交点的坐标为，根据题意，，
所以直线PQ与L以及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积：
，
当且仅当取等，
此时，
故选：C．
设出点Q的坐标利用图形之间的关系表示出所求的三角形的面积．通过建立的函数类型选择合适的方法求出面积的最小值即可．
本题是函数与直线问题的小综合题，首先要建立起三角形面积与动点坐标之间的函数关系，根据函数的类型进行适当变形利用基本不等式求解所求的最值，体现了转化与化归的思想．
8.【答案】C
【解析】解：由于O为的中点，Q为线段的中点，
则由中位线定理可得，，
由与以线段为直径的圆相切于点Q，
则，，
由双曲线的定义可得，，
即有，
由，由勾股定理可得，
即，则，即．
的渐近线方程为．
故选：C．
运用中位线定理，可得，，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理得到，则C的渐近线方程可求．
本题考查双曲线的定义和性质，考查双曲线渐近线方程的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，是中档题．
9.【答案】B
【解析】解：双曲线C：的离心率为2，左，右焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为10a，
不妨A在双曲线右支，
可得：，，，
解得，，
所以的面积：．
故选：B．
利用双曲线的离心率以及定义结合的周长为10a，求出、；然后推出结果．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的基本性质，考查点与圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．
通过可得，利用韦达定理可得、，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论．
【解答】
解：，，
，是方程的两个实根，
由韦达定理：，，
，
点必在圆内．
故选：C．
11.【答案】B
【解析】解：椭圆即，设动点，，则有 ．
，，，，代入化简可得
，
故选：B．
设动点，，则有 ，由，得到，，代入化简可得结果．
本题考查用代入法求点的轨迹方程，得到，是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：双曲线的，，，，左焦点为，
P为双曲线右支上一点，设，，
设双曲线的右焦点为，
若FP的中点M在以为半径的圆上，
连接，OM，由三角形的中位线定理可得，
双曲线的右准线方程为即，
由双曲线的第二定义可得，
解得．
故选：C．
求得双曲线的a，b，c和e，设，，设双曲线的右焦点为，连接，OM，由三角形的中位线定理可得，求得双曲线的右准线方程，结合双曲线的第二定义，解方程可得所求横坐标．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，运用定义法解题是解决圆锥曲线问题的常用方法，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线方程为，
由一条渐近线方程为，可得，
椭圆的焦点为，，
可得，
由可得，，
即双曲线的方程为，
故答案为：．
由双曲线的渐近线方程可得，，求得椭圆的焦点，可得，，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．
本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据双曲线的定义，可得，
是等边三角形，即，
，
又，
，
中，，，，
，
即，
解得，
，
双曲线的渐近线的渐近线方程为，
故答案为：
根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，可得a，b的关系，即可得到双曲线渐近线方程．
本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设，则，
由对称性可得：，则，
可得，．
相减可得：
，AD斜率之积为．
，F分别为AB，AD的中点，且OE，OF的斜率之积为，则OE，OF的斜率之积等于AB，AD斜率之积．
，则椭圆的离心率为，
故答案为：．
设，则，由对称性可得：，则，由可得，，相减可得：AB，AD斜率之积为由E，F分别为AB，AD的中点，可得OE，OF的斜率之积等于AB，AD斜率之积．即，即可求得椭圆的离心率．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：取AC的中点O，连结OP，OB，
，，
平面平面ABC，平面平面，
平面ABC，
又，，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
是等腰直角三角形，，为直角三角形，
0，，0，，0，，，
0，，，
．
异面直线AC与PD
所成角的余弦值为．
故答案为：．
取AC的中点O，连结OP，OB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与PD所成角的余弦值．
本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
17.【答案】解：设动圆圆心半径为r，
根据题意得：，
所以，
则动圆圆心P轨迹为双曲线右支，
，，，
其方程为；
设，，
，
，
得，
，
，
，
，
所以，
所以存在这样的直线，且AB：．
【解析】直接利用条件列出关系式，结合双曲线的定义，求出圆心P的轨迹方程；
利用点差法，就可求出斜率，然后写出直线方程．
考查曲线轨迹方程的求法，圆的几何性质的应用，利用点差法求出直线的斜率，考查计算能力．本题是中档题，
18.【答案】证明：设AC、BD交于点O，连结OF、DF，
四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且，
，，，
四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，
，
，平面BDEF．
，，平面ABCD，
以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，
设，则0，，0，，1，，0，，
，1，，
，
设平面ABF的法向量y，，
则，取，得，
设平面BCF的法向量y，，
则，取，得，
设二面角的平面角为，
则．
又为钝角，
二面角的余弦值为．
【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
设AC、BD交于点O，连结OF、DF，推导出，，，由此能证明平面BDEF．
以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
19.【答案】解：Ⅰ由题意可得，即，
由直线与圆相切，
可得，解得，
即有椭圆的方程为；
Ⅱ证明：设，，
将直线代入椭圆，
可得，
即有，
，，
由，
即有，
代入韦达定理，可得，
化简可得，
则直线的方程为，即，
故直线l恒过定点；
由直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，
即有，即为
，
可得，
解得，
代入，
可得，且．
由O到直线的距离为，
弦长AB为，
则面积为，
当且仅当，即时，取得最大值．
则面积的取值范围为
【解析】Ⅰ由题意可得，由直线和圆相切的条件：，可得，进而得到a，即有椭圆方程；
Ⅱ设，，将直线方程代入椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，可得，进而得到直线恒过定点；
由直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，即有，运用韦达定理，可得k，再由点到直线的距离公式和弦长公式，运用三角形的面积公式，结合基本不等式可得面积的最大值，即有面积的取值范围．
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用直线与圆相切的条件：，考查直线恒过定点的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查三角形的面积的范围，注意运用等比数列的中项的性质和韦达定理及弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ设，则直线PA：，代入抛物线方程：，
因为直线与抛物线相切，所以，分
同理，有，分
所以，分别为方程：的两个不同的实数根，分
，所以，所以点P的轨迹方程为分
Ⅱ设，，
由，，所以抛物线在A，B点的切线方程分别为，，分
又都过点，所以分
所以直线AB的方程为，分
所以直线AB恒过定点分
【解析】Ⅰ直线PA：，代入抛物线方程，得出，同理，有，，分别为方程：的两个不同的实数根，利用韦达定理求点P的轨迹方程；
Ⅱ求出直线AB的方程，即可得出结论．
本题考查直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线方程的综合应用，函数的导数以及切线方程的应用，难度比较大的压轴题目．
21.【答案】解：椭圆，若在，，四个点中有3个在M上．只有，三个点在椭圆上，所以，，可得，
所以椭圆方程为：．
点A与点B是椭圆M上关于原点对称的两个点，设，则，，
，．
的取值范围：．
【解析】判断椭圆上的3个点，利用已知条件求出椭圆方程．
设出A的坐标，然后转化求解向量的数量积即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，是中档题．
22.【答案】解：Ⅰ由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：，
则，，则，
，
椭圆C的方程；
Ⅱ证明：设，，，，，
则直线AM的斜率，直线DE的斜率，
直线DE的方程：，
直线BN的斜率，直线BN的方程，
，解得：，
过E做轴，∽，
则，
则，
：与的面积之比为4：5．
【解析】Ⅰ由题意设椭圆方程，由，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则，即可求得椭圆的方程；
Ⅱ由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得，因此可得与的面积之比为4：5．
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相似三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题．