2018届二轮复习不等关系与不等式课件（文）（江苏专用） 52页

§7.1 　不等关系与不等式 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 两个实数比较大小的 方法 ( 1) 作差 法 ( a ， b ∈ R ) ； ( 2) 作 商法 ( a ∈ R ， b >0 ). 知识梳理 > ＝ < > ＝ < 2. 不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a > b ⇔ ____ ⇔ 传递性 a > b ， b > c ⇒ ____ ⇒ 可加性 a > b ⇔ __________ ⇔ 可乘性 ⇒ ______ 注意 c 的符号 ⇒ ______ b < a a > c a ＋ c > b ＋ c ac > bc ac < bc 同向可加性 ⇒ __________ ⇒ 同向同正可 乘性 ⇒ ______ ⇒ 可乘方性 a > b >0 ⇒ ______ ( n ∈ N ， n ≥ 1) a ， b 同为正数 可开方性 a > b >0 ⇒ ________ ( n ∈ N ， n ≥ 2) a ＋ c > b ＋ d ac > bd a n > b n 3. 不等式的一些常用性质 (1) 倒数的性质 ① a > b ， ab >0 ⇒ . ② a <0< b ⇒ . ③ a > b >0,0< c < d ⇒ . ④ 0< a < x < b 或 a < x < b <0 ⇒ . < < > < < (2) 有关分数的性质 若 a > b >0 ， m >0 ，则 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 两个实数 a ， b 之间，有且只有 a > b ， a ＝ b ， a < b 三种关系中的一种 . ( 　　 ) (2) 若 >1 ，则 a > b .( 　　 ) (3) 一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变 .( 　　 ) (4) 一个非零实数越大，则其倒数就越小 .( 　　 ) (5) a > b >0 ， c > d >0 ⇒ .( 　　 ) (6) 若 ab >0 ，则 a > b ⇔ .( 　　 ) √ × × × √ √ 考点自测 1.( 教材改编 ) 已知 a ＋ b >0 ， b <0 ，那么 a ， b ，－ a ，－ b 的大小关系是 ____________. 答案 解析 a > － b > b > － a ∵ a ＋ b >0 ， b <0 ， ∴ a > － b >0 ，－ a < b <0 ， ∴ a > － b >0> b > － a ， 即 a > － b > b > － a . 2.( 教材改编 ) 若 a ， b 都是实数，则 “ > 0 ” 是 “ a 2 － b 2 >0 ” 的 ___________ 条件 . 充分不必要 答案 解析 ⇒ a > b ⇒ a 2 > b 2 ， 但由 a 2 － b 2 >0 ⇏ > 0. 3.(2016· 南京模拟 ) 若 a ， b ∈ R ，且 a ＋ | b |<0 ，则下列不等式中正确的 是 ______. ① a － b >0; ② a 3 ＋ b 3 >0 ； ③ a 2 － b 2 <0; ④ a ＋ b <0. 答案 解析 ④ 由 a ＋ | b |<0 知， a <0 ，且 | a |>| b | ， 当 b ≥ 0 时， a ＋ b <0 成立， 当 b <0 时， a ＋ b <0 成立 ， ∴ a ＋ b <0. 4. 如果 a ∈ R ，且 a 2 ＋ a <0 ，则 a ， a 2 ，－ a ，－ a 2 的大小关系 是 ___________ _ __. 答案 解析 a < － a 2 < a 2 < － a 由 a 2 ＋ a <0 得 a < － a 2 ， ∴ a <0 且 a > － 1 ， ∴ a < － a 2 < a 2 < － a . 5.( 教材改编 ) 若 0< a < b ，且 a ＋ b ＝ 1 ，则将 a ， b ， ， 2 ab ， a 2 ＋ b 2 从小 到 大 排列 为 ________________. 答案 解析 ∵ 0< a < b 且 a ＋ b ＝ 1 ， ∴ a < < b <1 ， ∴ 2 b >1 且 2 a <1 ， ∴ a <2 b · a ＝ 2 a (1 － a ) ＝－ 2 a 2 ＋ 2 a 即 a <2 ab < ， 又 a 2 ＋ b 2 ＝ ( a ＋ b ) 2 － 2 ab ＝ 1 － 2 ab >1 － ＝ ， 即 a 2 ＋ b 2 > ， a 2 ＋ b 2 － b ＝ (1 － b ) 2 ＋ b 2 － b ＝ (2 b － 1)( b － 1) ， 又 2 b － 1>0 ， b － 1<0 ， ∴ a 2 ＋ b 2 － b <0 ， ∴ a 2 ＋ b 2 < b ， 综上， a <2 ab < < a 2 ＋ b 2 < b . 题型分类　深度剖析 题型一　比较两个数 ( 式 ) 的大小 例 1 　 (1) 若 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 ___ _ __. 答案 解析 c < b < a 方法一　易知 a ， b ， c 都是正数， 所以 a > b ； 所以 b > c . 即 c < b < a . 方法二　对于函数 y ＝ f ( x ) ＝ ， y ′ ＝ ， 易知当 x >e 时，函数 f ( x ) 单调递减 . 因为 e<3<4<5 ，所以 f (3)> f (4)> f (5) ， 即 c < b < a . (2) 已知 a >0 ，试比较 a 与 的 大小 . 解答 因为 a >0 ，所以当 a >1 时， 当 a ＝ 1 时 ， ＝ 0 ，有 a ＝ ； 当 0< a <1 时 ， < 0 ，有 a < . 综上，当 a >1 时， a > ； 当 a ＝ 1 时， a ＝ ； 当 0< a <1 时， a < . 比较大小的常用方法 (1) 作差法： 一般步骤： ① 作差； ② 变形； ③ 定号； ④ 结论 . 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式 . 当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差 . (2) 作商法： 一般步骤： ① 作商； ② 变形； ③ 判断商与 1 的大小； ④ 结论 . (3) 函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (1) 设 a ， b ∈ [0 ，＋ ∞ ) ， A ＝ ， B ＝ ， 则 A ， B 的大小关系是 ______. 答案 解析 ∵ A ≥ 0 ， B ≥ 0 ， A 2 － B 2 ＝ a ＋ ＋ b － ( a ＋ b ) ＝ ≥ 0 ， ∴ A ≥ B . A ≥ B 答案 解析 (2) 若 a ＝ 18 16 ， b ＝ 16 18 ，则 a 与 b 的大小关系为 _____. a < b ∵ 18 16 >0,16 18 >0 ， ∴ 18 16 <16 18 ，即 a < b . 题型二　不等式的性质 例 2 　 (1) 已知 a ， b ， c 满足 c < b < a ，且 ac <0 ，那么下列不等式中一定成立的是 _____. ① ab > ac; ② c ( b － a )<0 ； ③ cb 2 < ab 2; ④ ac ( a － c )>0. 答案 解析 ① 由 c < b < a 且 ac <0 知 c <0 且 a >0. 由 b > c 得 ab > ac 一定成立 . (2) 已知 a ， b ， c ， d 为实数，则 “ a > b 且 c > d ” 是 “ ac ＋ bd > bc ＋ ad ” 的 _____ _ _____ 条件 . 答案 解析 充分不必要 因为 c > d ，所以 c － d >0. 又 a > b ，所以两边同时乘以 ( c － d ) ， 得 a ( c － d )> b ( c － d ) ，即 ac ＋ bd > bc ＋ ad . 若 ac ＋ bd > bc ＋ ad ，则 a ( c － d )> b ( c － d ) ，也可能 a < b 且 c < d ， 所以 “ a > b 且 c > d ” 是 “ ac ＋ bd > bc ＋ ad ” 的充分不必要条件 . 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案 . 利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 . 思维 升华 跟踪训练 2 　若 a >0> b > － a ， c < d <0 ，则下列结论： ① ad > bc ； ② < 0 ； ③ a － c > b － d ； ④ a ( d － c )> b ( d － c ) 中成立的个数是 ____. 答案 解析 方法一　 ∵ a >0> b ， c < d <0 ， ∵ a >0> b > － a ， ∴ a > － b >0 ， ∴ a ( － c )>( － b )( － d ) ， ∴ ac ＋ bd <0 ， 故 ② 正确 . ∵ c < d ， ∴ － c > － d ， ∴ a － c > b － d ，故 ③ 正确 . ∵ a > b ， d － c >0 ， ∴ a ( d － c )> b ( d － c ) ，故 ④ 正确 . 方法 二　取特殊值 . ∴ ad <0 ， bc >0 ， ∴ ad < bc ，故 ① 错误 . ∵ c < d <0 ， ∴ － c > － d >0 ， ∵ a > b ， ∴ a ＋ ( － c )> b ＋ ( － d ) ， 3 题型三　不等式性质的应用 命题点 1 　应用性质判断不等式是否成立 例 3 　 已知 a > b >0 ，给出下列四个不等式 ： ① a 2 > b 2 ； ② 2 a >2 b － 1 ； ③ ； ④ a 3 ＋ b 3 >2 a 2 b . 其中一定成立的不等式为 ________. 答案 解析 ①②③ 方法一　由 a > b >0 可得 a 2 > b 2 ， ① 成立； 由 a > b >0 可得 a > b － 1 ，而函数 f ( x ) ＝ 2 x 在 R 上是增函数， ∴ f ( a )> f ( b － 1) ，即 2 a >2 b － 1 ， ② 成立 ； 若 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ，则 a 3 ＋ b 3 ＝ 35,2 a 2 b ＝ 36 ， a 3 ＋ b 3 <2 a 2 b ， ④ 不成立 . 方法二　令 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， 可以得到 ① a 2 > b 2 ， ② 2 a >2 b － 1 ， ③ 均 成立，而 ④ a 3 ＋ b 3 >2 a 2 b 不成立 . ∵ a > b >0 ， 命题点 2 　求代数式的取值范围 例 4 　 已知－ 1< x <4,2< y <3 ，则 x － y 的取值范围是 ______ ， 3 x ＋ 2 y 的取值范围是 ______. 答案 解析 ( － 4,2 ) (1,18) ∵ － 1< x <4,2< y <3 ， ∴ － 3< － y < － 2 ， ∴ － 4< x － y <2. 由－ 1< x <4,2< y <3 ，得－ 3<3 x <12,4<2 y <6 ， ∴ 1<3 x ＋ 2 y <18 . 引申探究 1. 将已知条件改为－ 1< x < y <3 ，求 x － y 的取值范围 . 解答 ∵ － 1< x <3 ，－ 1< y <3 ， ∴ － 3< － y <1 ， ∴ － 4< x － y <4. 又 ∵ x < y ， ∴ x － y <0 ， ∴ － 4< x － y <0 ， 故 x － y 的取值范围为 ( － 4,0). 2. 若将本例条件改为－ 1< x ＋ y <4,2< x － y <3 ，求 3 x ＋ 2 y 的取值范围 . 解答 设 3 x ＋ 2 y ＝ m ( x ＋ y ) ＋ n ( x － y ) ， 即 3 x ＋ 2 y ＝ ( x ＋ y ) ＋ ( x － y ) ， 又 ∵ － 1< x ＋ y <4,2< x － y <3 ， 即 － < 3 x ＋ 2 y < ， ∴ 3 x ＋ 2 y 的取值范围为 ( ). (1) 判断不等式是否成立的方法 ① 判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明 . 常用的推理判断需要利用不等式的性质 . ② 在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等 . (2) 求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围 . 解决此类问题，一般是利用整体思想，通过 “ 一次性 ” 不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (1) 若 a < b <0 ，则下列不等式一定成立的是 ____. ① ； ② a 2 < ab ； ③ ； ④ a n > b n . 答案 解析 ③ ( 特值法 ) 取 a ＝－ 2 ， b ＝－ 1 ，逐个检验，可知 ① ， ② ， ④ 均不正确 ； ③ 中 ， ⇔ | b |(| a | ＋ 1)<| a |(| b | ＋ 1) ⇔ | a || b | ＋ | b |<| a || b | ＋ | a | ⇔ | b |<| a | ， ∵ a < b <0 ， ∴ | b |<| a | 成立 . (2) 设 a > b >1 ， c <0 ，给出下列三个结论： ① ； ② a c < b c ； ③ log b ( a － c )>log a ( b － c ). 其中所有正确结论的序号是 ________. 答案 解析 ①②③ 由不等式性质及 a > b >1 知 ， 又 c <0 ， ∴ ， ① 正确； 构造函数 y ＝ x c ， ∵ c <0 ， ∴ y ＝ x c 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数， 又 a > b >1 ， ∴ a c < b c ， ② 正确； ∵ a > b >1 ， c <0 ， ∴ a － c > b － c >1 ， ∴ log b ( a － c )>log a ( a － c )>log a ( b － c ) ， ③ 正确 . 典例 　设 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ，若 1 ≤ f ( － 1) ≤ 2,2 ≤ f (1) ≤ 4 ，则 f ( － 2) 的取值范围是 ______. 利用 不等式变形求 范围 现场纠错系列 6 现场纠错 纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大 . 错 解展示 解析 　 由已知得 ① ＋ ② 得 3 ≤ 2 a ≤ 6 ， ∴ 6 ≤ 4 a ≤ 12 ， 又由 ① 可得－ 2 ≤ － a ＋ b ≤ － 1 ， ③ ② ＋ ③ 得 0 ≤ 2 b ≤ 3 ， ∴ － 3 ≤ － 2 b ≤ 0 ， 又 f ( － 2) ＝ 4 a － 2 b ， ∴ 3 ≤ 4 a － 2 b ≤ 12 ， ∴ f ( － 2) 的取值范围是 [3,12]. 答案　 [3,12] 返回 解析 　 方法一　由 ∴ f ( － 2) ＝ 4 a － 2 b ＝ 3 f ( － 1) ＋ f (1). 又 ∵ 1 ≤ f ( － 1) ≤ 2,2 ≤ f (1) ≤ 4 ， ∴ 5 ≤ 3 f ( － 1) ＋ f (1) ≤ 10 ，故 5 ≤ f ( － 2) ≤ 10 . 方法二　由 确定的平面区域如图阴影部分所示， 当 f ( － 2) ＝ 4 a － 2 b 过点 A ( ) 时， 取得最小值 4 × － 2 × ＝ 5 ， 当 f ( － 2) ＝ 4 a － 2 b 过点 B (3,1) 时， 取得最大值 4 × 3 － 2 × 1 ＝ 10 ， ∴ 5 ≤ f ( － 2) ≤ 10. 答案 　 [5,10] 返回 课时作业 1.( 教材改编 ) 当 x ＞ 1 时， x 3 与 x 2 － x ＋ 1 的大小关系为 ____________. 答案 解析 x 3 ＞ x 2 － x ＋ 1 ∵ x 3 － ( x 2 － x ＋ 1) ＝ x 3 － x 2 ＋ x － 1 ＝ x 2 ( x － 1) ＋ ( x － 1) ＝ ( x － 1)( x 2 ＋ 1). 又 ∵ x ＞ 1 ， 故 ( x － 1)( x 2 ＋ 1) ＞ 0 ， ∴ x 3 － ( x 2 － x ＋ 1) ＞ 0 ， 即 x 3 ＞ x 2 － x ＋ 1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(2016· 苏州模拟 ) 下列命题中，正确的是 ____. ① 若 a > b ， c > d ，则 ac > bd ； ② 若 ac > bc ，则 a > b ； ③ 若 ， 则 a < b ； ④ 若 a > b ， c > d ，则 a － c > b － d . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ③ 取 a ＝－ 1 ， b ＝－ 2 ， c ＝ 2 ， d ＝ 1 ， 则 ac ＝ bd ， a － c ＝ b － d ，故 ① ， ④ 错误； 取 a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， c ＝－ 1 ，则 ac > bc ， a < b ，故 ② 错误 . 3. 已知 x > y > z ， x ＋ y ＋ z ＝ 0 ，则下列不等式成立的是 _____. ① xy > yz; ② xz > yz ； ③ xy > xz; ④ x | y |> z | y |. 答案 解析 ③ ∵ x > y > z 且 x ＋ y ＋ z ＝ 0 ， ∴ x >0 ， z <0 ， 又 y > z ， ∴ xy > xz . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 设 a ， b ∈ R ，则 “ ( a － b )· a 2 <0 ” 是 “ a < b ” 的 _______ _ ___ 条件 . 答案 解析 充分不必要 由 ( a － b )· a 2 <0 ⇒ a ≠ 0 且 a < b ， ∴ 充分性成立； 由 a < b ⇒ a － b <0 ， 当 0 ＝ a < b 时 ⇏ ( a － b )· a 2 <0 ，必要性不成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 5. 设 α ∈ (0 ， ) ， β ∈ [0 ， ] ，那么 2 α － 的 取值范围是 ________. 由题设得 0<2 α <π ， 0 ≤ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 已知 a ， b ， c ∈ R ，那么下列命题中正确的是 _ _ ___. ① 若 a > b ，则 ac 2 > bc 2 ； ② 若 ， 则 a > b ； ③ 若 a 3 > b 3 且 ab <0 ， 则 ； ④ 若 a 2 > b 2 且 ab >0 ， 则 . 答案 解析 ③ 当 c ＝ 0 时，可知 ① 不正确； 当 c <0 时，可知 ② 不正确； 对于 ③ ，由 a 3 > b 3 且 ab <0 ，知 a >0 且 b <0 ， 所以 成立 ， ③ 正确； 当 a <0 且 b <0 时，可知 ④ 不正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 若 a > b >0 ，则下列不等式中一定成立的是 _____. 答案 解析 ① 取 a ＝ 2 ， b ＝ 1 ，排除 ② 与 ④ ； 另外，函数 f ( x ) ＝ x － 是 (0 ，＋ ∞ ) 上的增函数 ， 但 函数 g ( x ) ＝ x ＋ 在 (0,1] 上递减 ， 在 [1 ，＋ ∞ ) 上递增 ，所以 ，当 a > b >0 时， f ( a )> f ( b ) 必定成立， 但 g ( a )> g ( b ) 未必成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 若 a > b >0 ，则下列不等式一定不成立的是 ______. ① ； ② log 2 a >log 2 b ； ③ a 2 ＋ b 2 ≤ 2 a ＋ 2 b － 2; ④ 答案 解析 ③ ∵ ( a － 1) 2 ＋ ( b － 1) 2 >0( 由 a > b >0 ， a ， b 不能同时为 1) ， ∴ a 2 ＋ b 2 － 2 a － 2 b ＋ 2>0 ， ∴ a 2 ＋ b 2 >2 a ＋ 2 b － 2 ， ∴③ 一定不成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *9. 下列四个条件中，使 a > b 成立的充分而不必要的条件是 ___. ① a > b ＋ 1; ② a > b － 1 ； ③ a 2 > b 2; ④ a 3 > b 3 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ① 由 a > b ＋ 1 ，得 a > b ＋ 1> b ，即 a > b ， 而 由 a > b 不能得出 a > b ＋ 1 ， 因此 ，使 a > b 成立的充分而不必要的条件是 a > b ＋ 1. 10. 已知 a ， b ， c ， d 均为实数，有下列命题 ① 若 ab >0 ， bc － ad >0 ， 则 > 0 ； ② 若 ab >0 ， > 0 ，则 bc － ad >0 ； ③ 若 bc － ad >0 ， > 0 ，则 ab >0. 其中正确的命题是 ________. 答案 解析 ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵ ab >0 ， bc － ad >0 ， ∴ bc － ad >0 ， ∴② 正确； ∴ ab >0 ， ∴③ 正确 . 故 ①②③ 都正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.( 教材改编 ) 一辆汽车原来每天行驶 x km ，如果该汽车每天行驶的路程比原来多 19 km ，那么在 8 天内它的行程将超过 2 200 km ，用不等式表示为 _________ __ ___. 答案 解析 8( x ＋ 19)>2 200 因为该汽车每天行驶的路程比原来多 19 km ，所以汽车每天行驶的路程为 ( x ＋ 19) km ，则在 8 天内它的行程为 8( x ＋ 19) km ，因此，不等关系 “ 在 8 天内它的行程将超过 2 200 km ” 可以用不等式 8( x ＋ 19 ) > 2 200 来表示 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 已知－ 1<2 x － 1<1 ， 则 － 1 的取值范围是 ______ _ __. 答案 解析 (1 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 已知－ 1 ≤ x ＋ y ≤ 4 ，且 2 ≤ x － y ≤ 3 ，则 z ＝ 2 x － 3 y 的取值范围是 ______( 用区间表示 ). 答案 解析 [3,8] ∵ z ＝－ ( x ＋ y ) ＋ ( x － y ) ， ∴ 3 ≤ － ( x ＋ y ) ＋ ( x － y ) ≤ 8 ， ∴ z 的取值范围是 [3,8]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 14. 已知 m ∈ R ， a > b >1 ， f ( x ) ＝ ， 试比较 f ( a ) 与 f ( b ) 的大小 . f ( x ) ＝ m (1 ＋ ) ， f ( a ) ＝ m (1 ＋ ) ， f ( b ) ＝ m (1 ＋ ). 由 a > b >1 ，知 a － 1> b － 1>0. ① 当 m >0 时， m (1 ＋ )< m (1 ＋ ) ， f ( a )< f ( b ). ② 当 m ＝ 0 时， f ( a ) ＝ f ( b ) ＝ 0. ③ 当 m <0 时， m (1 ＋ )> m (1 ＋ ) ， f ( a )> f ( b ). 综上所述，当 m >0 时， f ( a )< f ( b ) ； 当 m ＝ 0 时， f ( a ) ＝ f ( b ) ； 当 m <0 时， f ( a )> f ( b ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14