- 3.18 MB
- 2021-04-12 发布
安徽师范大学附属中学2017-2018学年度第二学期期中考查
高二数学试题（理）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】: 复数的除法，相当于根式中的分母有理化，属于简单运算.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.
详解：，不正确； ，正确；,不正确；，不正确，故选B.
点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.
3. 函数在点处的切线方程为，则等于（ ）
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】本题解析!
由导数的定义可得，应选答案C。
4. 由曲线，以及所围成的图形的面积等于（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：先求出曲线的交点，得到积分下限，利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可.
详解：曲线的交点坐标为，由曲线以及围成的图形的面积，就是，故选D.
点睛：本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线 以及直线之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.
5. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数的解析式可得：，令可得：，
∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线得b＝ln 2－1.
本题选择C选项.
6. 用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；
由n=k，末项为到n=k+1，末项为，
∴应增加的项数为2k．
故选：C．
7. 已知有下列各式：，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数 （ ）
A. 4 B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】分析：由已知中的不等式，归纳推理得：，进而根据，求出值，进而得到的值.
详解：由已知中：时，，，归纳推理得：，若，则，即，此时，故选C.
点睛：本题主要考查归纳推理，归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
8. 设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵函数在x=﹣1处取得极小值，
∴x＜﹣1时，f′（x）＜0，x＞﹣1时，f′（x）＞0，
∴x∈（﹣∞，﹣1）时，y=xf′（x）＞0，x∈（﹣1，0）时，y=xf′（x）＜0，
x∈（0，+∞）时，y=xf′（x）＞0，
故选：C．
9. 若，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】构造函数，则，
据此可得函数在区间上单调递减，
，
即：，.
本题选择B选项.
10. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先确定函数的定义域然后求导数,在函数的定义域内解方程,使方程的解在定义域内的一个子区间内,建立不等关系，解之即可.
详解：定义域为，又，由，
得，当时，；当时，
，据题意，，解得，故选B.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.求函数单调区间的步骤是：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.
11. 若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为 （ ）
A. B. 8 C. D. 2
【答案】B
【解析】分析：先求出与直线平行且与曲线相切的直线，再求出此两条平行线之间的距离的平方即可得出.
详解：设直线与曲线相切于，
由函数，令，又，
解得，，可得切点，代入，
解得，可得与直线平行且与曲线相切的直线，而两条平行线与的距离，
的最小值为，故选B.
点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
12. 若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实数根个数是 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】试题分析：函数有极值点，说明方程的两根为，所以方程的解为或，若，即是极大值点，是极小值点，由于，所以是极大值，有两解，，只有一解，所以此时只有3解；若，即是极小值点，是极大值点，由于，所以是极小值，有2解，，只有一解，所以此时只有3解；综上可知，选A.
考点：函数的极值与方程的解.
二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）
13. 设复数，则的共轭复数为__________．
【答案】
【解析】分析：利用复数除法运算法则，共轭复数的定义即可得出结果.
详解：，的共轭复数为，故答案为.
点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算即共轭复数的定义，属于中档题．解题时一定要注意和以及 运算的准确性.
14. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”；
乙说：“作品获得一等奖”；
丙说：“两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．
【答案】B
【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．
15. 如图所示的数阵中，第15行第2个数字是__________．
【答案】
【解析】分析：仔细观察所给数阵，可发现每行第二个数的分母是前面所有行第一个数的分母的和再加，利用等差数列求和公式可得结果.
详解：由图可得，每行第二个数的分母是前面所有行第一个数的分母的和再加，
所以第行第二个数的分母为，第行第二个数为，故答案为.
点睛：本题主要考查归纳推理，归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
16. 以下判断正确的序号是__________．
（1）集合为虚数单位，，则复数；
（2）；
（3）已知函数，对任意的恒成立，则的取值范围为；
（4）设，定义为的导数，即若的内角满足，则．
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】分析：（1）根据以及两集合的交集，得到，求出即可；
（2）讨论的范围，去绝对值，求出被积函数，计算即可判断；
（3）判断为奇函数且为增函数，将不等式化为，再由一次函数的单调性，可得不等式组，解得即可判断；
（4）求出导数，可得，可得一个周期内的函数值和为0，化简原式可得，平方运用同角关系和二倍角的正弦公式，即可判断.
详解：（1）集合为虚数单位，，，则，则（1）正确；
（2） ，则（2）正确；
（3）函数，可得为奇函数且为增函数，对任意的
恒成立，即有，即有
，即为，则，且，解得，则（3）正确：
（4）设定义为的导数，即，可得，可得，由于，若的内角满足，即有，可得，平方可得，即有，则，则（4）正确，故答案为（1）（2）（3）（4）.
点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查集合、导数、数列、定积分与不等式恒成立，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
三、解答题 （本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
【答案】（1），（2）有极大值，无极小值.
【解析】分析：（1）利用，求出的值，利用，求出的值；（2）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性求出函数的极值即可.
详解：（1）因为，所以，
又，
而函数在处的切线方程为，
所以，所以；
（2）由（1）得，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有极大值，无极小值.
点睛：本题主要考查导数的几何意义以及利用导数判断函数的单调性与函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.
18. 由下列不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并请加以证明.
【答案】
【解析】试题分析：根据已知不等式猜想第n个不等式，然后利用数学归纳法证明即可.
试题解析：解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：
． 5分
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，猜想成立； 6分
（2）假设当时，猜想成立，即， 7分
则当时，
，
即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立． .12分
考点：数学归纳法；归纳推理.
19. （1）已知且，求证：中至少有一个小于2；
（2）已知，求证：.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）正繁则反，对于至少型问题，一般利用反证法，即假设都不小于2，再利用基本不等式得矛盾，否定假设（2）利用分析法证明条件与结论相差较大的题目，通过不断的转化，将条件与结论最终联系在一起：即去分母，平方，整理成条件形式.
试题解析：(1)证明：假设都不小于2，则
, 即
这与已知矛盾,故假设不成立,从而原结论成立.
（2）
[证明] ∵－>1，a>0，∴0，只需证·>1，只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，即>1.即－>1.这是已知条件，所以原不等式成立．
20. 已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若在上为单调函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）函数求导，求得函数的单调区间，利用函数的单调性即可求最值；
（2）在上为单调函数，转为当时，或恒成立，即或对恒成立，令，求导求值即可.
试题解析：
（1）当时，，∴.
令，得或（舍）.
2
-
0
+
极小值
又当时，，
∴当时，函数的最小值为.
（2）∵，∴，又在上为单调函数，∴当时，或恒成立，
也就是或对恒成立，
即或对恒成立.
令，则.∴当时，.∴在上单调递减，又当时，；当时，，
∴，故在上为单调函数时，实数的取值范围为.
点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.
(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
21. 已知函数.
（1）若在定义域内无极值点，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，恒成立.
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】试题分析：（1）由题意知，令，利用导数求得有最小值，结合在定义域内无极值点，得，再验证时，即可得结论；（2）结合（1）中结论可得在上单调递増，根据可得存在唯一的零点，且在上单调递减，在上单调递増,故可得结论.
试题解析：（1）由题意知，
令，则，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
又，∵在定义域内无极值点，
∴
又当时，在和上都单调递增也满足题意，
所以
（2），令，由（1）可知在上单调递増，又，所以存在唯一的零点，故在上单调递减，在上单调递増，
∴
由知
即当时，恒成立.
22. 已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）设，讨论函数的单调性；
（3）若斜率为的直线与曲线交于两点，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数的导数，由与求函数的单调区间与单调性，从而可得；（Ⅱ）由已知可知，，分与分别讨论导数的符号可得函数的单调区间；（Ⅲ），则不等式 ，令，只要证不等式（）即可，分别构造函数（）与（），可证成立.
试题解析： （Ⅰ）（），……（1分）
令，得，
当时，；当时，．
则在内递减，在内递增，…………（2分）
所以当时，函数取得最小值，且……（3分）
（Ⅱ），（），…………（4分）
当时，恒有，在区间内是增函数；……（5分）
当时，令，即，解得，
令，即，解得，………（6分）
综上，当时，在区间内是增函数，当时，在内单调递增，在内单调递减．………（7分）
（Ⅲ）证明：，要证明，
即证，………（8分）
等价于，令（由，知），
则只需证，由，知，故等价于（）（）……（9分）
①设（），则（），所以在内是增函数，当时，，所以；…………（10分）
②设（），则（），所以在内是增函数，所以当时，，即（）．……（11分）
由①②知（）成立，所以．……（12分）
考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与方程、不等式.