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- 2021-04-12 发布
数学（文科）试卷
第I卷选择题（共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则MN中元素的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】
试题分析：.故选B.
考点：集合的运算.
2.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，-2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{ 0，2}，所以
{-2,0,2}，故选D．
考点：1、一元二次方程求根；2、集合并集的运算．
3.已知集合，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据交集的运算求解即可.
【详解】因为,,故.
故选：C
【点睛】本题主要考查了交集的基本运算,属于基础题.
4.若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A. -2 B. 4 C. D. -4
【答案】B
【解析】
,虚部为,故选B.
5.设是虚数单位，则复数（ ）
A. 3+3i B. -1+3i C. 3+i D. -1+i
【答案】C
【解析】
因为，故选 C.
考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.
6.已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.
7.已知向量，，且，那么向量等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算求解即可.
详解】由题,,故.
故选：A
【点睛】本题主要考查了向量坐标的基本运算.属于基础题.
8.命题“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称量词命题的否定是特称量词命题，即得答案.
【详解】根据全称量词命题的否定是特称量词命题，所以命题的否定是.
故选：.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
9.已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（ ）
A. 2 B. 1 C. －2 D. －1
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：，由与垂直可知
考点：向量垂直与坐标运算
10.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙
C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙
【答案】A
【解析】
【分析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．
【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
11.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
【点睛】本题主要考查古典概率求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
12.
如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a为( )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图的流程逐步计算即可.
【详解】由题,输入.
1.“ ”判断为“是”, “ ”判断为“否”, ；
2.“ ”判断为“是”, “ ”判断为“是”, ；
3.“ ”判断为“是”, “ ”判断为“是”, ；
4.“ ”判断为“是”, “ ”判断为“是”, ；
5.“ ”判断为“”, “ ”判断为“否”, ；
6.“ ”判断为“否”, 输出
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据程序框图计算输出结果的问题,属于基础题.
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量平行坐标表示得出，求解即可得出答案.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
14.如果实数满足条件，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出可行域,再分析直线取最小值时的最优解即可.
【详解】画出可行域,易知当直线过与的交点时取最
大值.此时.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了线性规划求最小值的问题,属于基础题.
15.若函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式代入计算即可.
【详解】由题, .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分段函数求函数值的问题,属于基础题.
16.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
【答案】1和3
【解析】
根据丙的说法知，丙的卡片上写着和，或和；
（1）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；
所以甲的说法知，甲的卡片上写着和；
（2）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；
又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”；
所以甲的卡片上写的数字不是和，这与已知矛盾；
所以甲的卡片上的数字是和.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知，.
（1）求；
（2）当为何实数时，与平行.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)先计算,再根据坐标模长公式计算即可.
(2)根据平行的坐标公式计算即可.
【详解】(1)由题, .故.
(2) ,又由(1)有.
因为与平行,故,解得.
【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算,包括模长与平行公式等,属于基础题.
18.已知复数，复数，其中是虚数单位，，为实数.
（1）若，，求的值；
（2）若，求，的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出，即可得到模长；
（2）根据，化简得，列方程组即可求解.
【详解】（1）当，时，，
所以，所以.
（2）若，则，
所以，所以解得
【点睛】此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.
19.已知等差数列满足，的前项和为.
（1）求及；
（2）记，求
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式，结合，可以得到两个关于首项和公差的二元一次方程，解这个方程组即可求出首项和公差，最后利用等差数列的通项公式 和前项和公式求出及；
（2）利用裂项相消法可以求出.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为d,
（2）由（1）知：
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了裂项相消法求数列前项和，考查了数学运算能力.
20.(文)(2017·开封二模)为备战某次运动会，某市体育局组建了一个由4个男运动员和2个女运动员组成的6人代表队并进行备战训练.
(1)经过备战训练，从6人中随机选出2人进行成果检验，求选出的2人中至少有1个女运动员的概率．
(2)检验结束后，甲、乙两名运动员的成绩用茎叶图表示如图：
计算说明哪位运动员的成绩更稳定．
【答案】（1） （2）乙
【解析】
试题分析：（1）求出从6人中随机选出2人，选出的2人中至少有1个女运动员的基本事件数，计算对应的概率值；
（2）根据题目中茎叶图的数据，计算甲、乙运动员的平均成绩与方差，比较大小即可得出结论．
试题解析：
(1)把4个男运动员和2个女运动员分别记为a1，a2，a3，a4和b1，b2．
则基本事件包括(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)共15种．
其中至少有1个女运动员的情况有9种，
故至少有1个女运动员的概率P＝＝．
(2)设甲运动员的平均成绩为甲，方差为s，乙运动员的平均成绩为乙，方差为s，
可得甲＝＝71，乙＝＝71，
s＝ [(68－71)2＋(70－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(74－71)2]＝4，
s＝ [(69－71)2＋(70－71)2＋(70－71)2＋(72－71)2＋(74－71)2]＝3.2．
因为甲＝乙，s>s，故乙运动员的成绩更稳定．
21.设函数
（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
（2）若在上为减函数，求的取值范围．
【答案】（1），切线方程为；（2）.
【解析】
试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程；（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．
试题解析：（1）对求导得
因为在处取得极值，所以，即.
当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得
（2）由（1）得，,
令
由，解得.
当时，,故为减函数；
当时，,故为增函数；
当时，,故为减函数；
由在上为减函数，知，解得
故a的取值范围为.
考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
选修4—4：坐标系与参数方程.
22.已知直线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求直线与曲线的普通方程；
（2）设点是曲线上的一个动点，求点到直线的距离的最小值与最大值.
【答案】（1），；（2），.
【解析】
【分析】
(1)根据直线与圆的标准参数方程直接求解普通方程即可.
(2)根据直线与圆的位置关系分析即可.
【详解】(1)因为直线的参数方程为,故直线过,且倾斜角的正切值 .故直线的普通方程为.
又曲线的参数方程为,故曲线为以为圆心,半径为1的圆.故曲线的普通方程为
(2)由(1)可知,圆心到直线的距离.
故点到直线的距离的最小值
最大值
【点睛】本题主要考查了直线与圆的参数方程与普通方程的互化,同时也考查了直线与圆上的点的距离最值问题,属于基础题.
选修4—5:不等式选讲.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式：；
（2）已知,求证：恒成立.
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式等价转化为三个不等式组，它们的并集为所求解（2）证明不等式恒成立问题，实质是求对应函数最值问题，利用绝对值三角不等式易得函数最小值：，再根据，易得
试题解析：（1）解：，即，
①当时，不等式为，即，
是不等式的解；
②当时，不等式为，即恒成立，
是不等式的解；
③当时，不等式为，即，
是不等式的解．
综上所述，不等式的解集为．
（2）证明：，
，
恒成立．
考点：绝对值定义，绝对值三角不等式
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．