专题5-4+平面向量的应用（讲）-2018年高考数学 18页

2018 年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第五章 平面向量 第 04 节 平面向量的应用 【考纲解读】 考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测 向量的应用 ①会用向量方法解决 某些简单的平面几何 问题。 ②会用向量方法解决 简单的力学问题与其 他一些实际问题。 2014•新课标 I.10; 2015•新课标 I.5; 2017•新课标 II, 20； III.12. 1.以考查向量的共线、数 量积、夹角、模为主，基 本稳定为选择题或填空 题，难度中等以下； 2.与平面几何、三角函 数、解析几何等相结合， 以工具的形式进行考查， 力学方面应用的考查较 少. 3.备考重点： (1) 理解有关概念是基 础，掌握线性运算、坐标 运算的方法是关键； (2)解答与平面几何、三 角函数、解析几何等交汇 问题时，注意运用数形结 合的数学思想，将共线、 垂直等问题，通过建立平 面直角坐标系，利用坐标 运算解题. 【知识清单】 1．平面向量在几何中的应用 1. 平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线． 2．共线向量定理：向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa. 3. 向量共线的充要条件的坐标表示 若 ，则 ⇔ . 4. 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则： （1）a·b＝a1b1＋a2b2. （2）a⊥b a1b1＋a2b2＝0. 对点练习： 法向量为 的直线，其斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】因为法向量为 的直线，可知与已知直线垂直的直线的斜率为 ，那么可知已 知直线的斜率为 ，选 A. 2．平面向量在物理中的应用 平向量的线性运算： 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 (1)交换律： ； (2)结合律： 1 1 2 2( ) ( )a x y b x y= =， ， ， a b∥ 1 2 2 1 0x y x y =- ⇔ (3,5) 3 5 − 3 5 5 3 5 3 − (3,5) 5 3 3 5 − a b b a＋ ＝ ＋ ( +( )a b c a b c＋ ) + ＝ ＋ 平行四边形法则 减法 求 a 与 b 的相反向量 －b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 对点练习： 已知一物体在共点力 F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移 s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功 W 为________． 【答案】2 【解析】 【考点深度剖析】 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.平面向量 的应用问题，常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的 条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现． 【重点难点突破】 考点 1 平面向量在几何中的应用 【1-1】若直线 的一个法向量 ，则直线 的一个方向向量 和倾斜角 分别为 （ ） A． B． C． D． ( )1 2 1 21,2lg2 ( ) 2lg5 2lg2 2.F F W F F s⋅＋ ＝ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ l (3,1)n = l d α (1,3); arctan3d α= = (1, 3); arctan( 3)d α= − = − (1,3); arctan3d α π= = − (1, 3); arctan3d α π= − = − 【答案】D 【解析】 由题设可知直线 的一个方向向量是 ,其斜率 ,即 ,故 ,应选 D. 【1-2】【2017 江苏，12】如图,在同一个平面内，向量 , , 的模分别为 1,1, , 与 的夹角为 ,且 tan =7, 与 的夹角为 45°.若 , 则 . 【答案】3 【领悟技法】 共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ 可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直 线平行，必须说明这两条直线不重合． 【触类旁通】 【变式一】在 中，若 ，则 一定是（ ）. l )3,1( −=a 3−=k 3tan −=α 3arctan−= πα OA OB OC 2 OA OC α α OB OC OC mOA nOB= +   ( , )m n∈R m n+ = ABC∆ | | | |BA BC AC+ =   ABC∆ A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【解析】由于 ，化简得 ，因此 .选 C. 【变式二】在平面四边形 ABCD 中，满足 ＋ ＝0，( － )· ＝0，则四边形 ABCD 是(　　)． A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 考点 2 平面向量在物理中的应用 【2-1】已知三个力 f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保 持平衡,再加上一个力 f4,则 f4=(　　) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 【答案】D 【解析】物体平衡,则所受合力为 0.由物理知识知:f1+f2+f3+f4=0,故 f4=-(f1+f2+f3)=(1,2). 选 D. 【2-2】在水流速度为 的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以 的速度 航行，则船自身航行速度大小为____________ . 【答案】 【解析】如下图， 代表水流速度， 代表船自身航行的的速度，而 代表实际航行 22 BCABBCBA +=+ 0=⋅ BCAB BCAB ⊥ AB CD AB AD AC 4 /km h 8 /km h hkm/ 54 AB AC AP 的速度，所以有 ，所以船自身航行的 速度大小为 . 【领悟技法】 涉及力向量、速度向量问题，利用向量的线性运算法则及夹角公式等求解.注意准确画出图 形，应用平行四边形法则或三角形法则. 【触类旁通】 【变式一】直角坐标平面内，一个质点 m 在三个力 共同作用下，从点 A(10,-20) 处移动到点 B（30,10）（坐标长度单位为米），若以 x 轴正向上的单位向量 及 y 轴正向上的 单位向量 表示各自方向上 1 牛顿的力，则有 ，问 的合力对质点 m 所做的 功是多少焦耳 A.6000 B.1500 C.-500 D.-3000 【答案】B 【变式二】在 长 江 南 岸 渡 口 处 ， 江 水 以 12.5 km/h 的 速 度 向 东 流 ， 渡 船 的 速 度 为 25 km/h． 渡 船 要 垂 直 地 渡 过 长 江 ， 则 航 向 为 . 【答案】 2 2 2 2| | | | 8 4 80 4 5AC BP AB AP= = + = + = =    4 5 /km h 1 2 3, ,F F F   i j 1 2 35 20 , 20 30 , 30 10F i j F i j F i j= + = − + = −         1 2 3, ,F F F   30° 考点 3 平面向量的综合应用 【3-1】【2016 四川文】已知正三角形 ABC 的边长为 ，平面 ABC 内的动点 P，M 满足 ， ，则 的最大值是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】甴已知易得 .以 为原 点，直线 为 轴建立平面直角坐标系，则 设 由已知 ，得 ，又 32 4 43 4 49 4 3637 + 4 33237 + 1AP = PM MC=  2 BM 1 220 , DAADC ADB D DBDC B C∠ = ∠ = = = =∠ =°    D DA x ( ) ( ) ( )2 , 0 , 1, 3 , 1, 3 .A B C− − − ( ), ,P x y 1AP = ( )2 22 1x y− + = 1 3 1 3 3, , , , ,2 2 2 2 x y x yPM MC M BM    − + + += ∴ ∴ =           ，它表示圆 上点 与点 距离平方的 ， ，故选 B. 【3-2】【2017 湖南长沙长郡中】已知点 ， 是椭圆 上的动点，且 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 ，则 ，由题意有 ，所以 所以，当 时， 有最大值 ，当 时， 有最小值 ，故选 C. ( ) ( )22 2 1 3 3 4 x y BM − + + ∴ = ( )2 22 1x y− + = ( ).x y ( )1, 3 3− − 1 4 ( ) ( ) 2 22 2 max 1 493 3 3 14 4BM  ∴ = + − + =    (1,0)M ,A B 2 2 14 x y+ = 0MA MB• =  MA BA•  2[ ,1]3 [1,9] 2[ ,9]3 6[ ,3]3 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 1 2 2 1 2 1 2( 1, ), ( 1, ), ( , )MA x y MB x y BA x x y y= − = − = − −   1 2 1 2( 1)( 1) 0MA MB x x y y• = − − + =  2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2( 1)( ) ( ) ( 1) ( 1)MA BA x x x y y y x x x x y y y• = − − + − = − − − + −  [ ]2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1( 1)( 1) ( 1) 1 14x x y x x y y x x x x x= − + − − − + + − = − + − − + 2 2 1 1 1 1 3 3 4 22 2 ( ) , [ 2,2]4 4 3 3x x x x= − + = − + ∈ − 2x = − MA BA•  9 4 3x = MA BA•  2 3 【3-3】【2017 江苏，16】 已知向量 （1）若 a∥b,求 x 的值； （2）记 ,求 的最大值和最小值以及对应的 的值. 【答案】（1） （2） 时，푓(푥)取得最大值，为 3； 时，푓(푥)取得最小 值，为 . (cos , sin ), (3, 3), [0,π].x x x= = − ∈a b ( )f x = ⋅a b ( )f x x 5π 6x = 0x = 5π 6x = 2 3− 【领悟技法】 1.涉及三角问题求解方法：（1）去除向量的包装外衣，转化为由三角函数值求对应的角的 值；（2）去除向量的包装外衣，转化为形如： 三角函数最值，但一 定要关注自变量 的范围.另外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函 数表达式，处理的结果之一就是转化为形如： ，这一点很重要. 2.涉及平面几何问题，往往通过平面向量的坐标运算，结合曲线的定义及曲线与曲线的位置 关系，应用函数方程思想解题. 【新题变式探究】 ( )siny A x kω ϕ= + + x ( )siny A x kω ϕ= + + 【变式一】已知 两点，过动点 作 轴的垂线，垂足为 ，若 ，当 时，动点 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】C 【解析】设 则 ,所以 , 所以 ,即 ,变形为 ,又因为 ,故动点 的轨迹为 双曲线. 【变式二】在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且向量 与向量 共线. （1）求 ； （2）若 ， ， ，且 ，求 的长度. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 试题分析：（1）根据条件中的向量共线得到 ， ， 满足的一个式子，再进行三角恒等 变形即可求解；（2）将已知条件中的式子变形，两边平方利用余弦定理求解. ( ) ( )1,0 , 1,0A B− M x N 2 MN AN NBλ= ⋅   0λ < M ( , ),M x y ( ,0)N x 2 2 2, ( 1,0)(1 ,0) (1 )MN y AN NB x x xλ λ λ= ⋅ = + − = −   2 2(1 )y xλ= − 2 2x yλ λ+ = 2 2 1yx λ+ = 0λ < M ABC∆ A B C a b c (5 4 ,4 )m a c b= − (cos ,cos )n C B= cos B 10b = 5c = a c< 2AD DC=  BD 4 5 109 3 A B C 【变式三】【2017 课标 II，理】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 。 (1) 求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 上，且 。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左 焦点 F。 【答案】(1) ；(2)证明见解析. 【解析】 2 2 12 x y+ = 2NP NM=  3x = − 1OP PQ⋅ =  2 2 2x y+ = 【易错试题常警惕】 易错典例：在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点， ， ．过点 M 作 MM1⊥ 轴于 M1，过 N 作 NN1⊥ 轴于点 N1， ．记点 T 的轨迹为曲线 C，点 A（5，0）、B（1，0），过点 A 作直线 交曲线 C 于两个不同的点 P、Q（点 Q 在 A 与 P 之间）． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）证明不存在直线 ，使得 ； 5=OM OMON 5 52= y x NNMMOT 11 += l l BQBP = （Ⅲ）过点 P 作 轴的平行线与曲线 C 的另一交点为 S，若 ，证明 ． 易错分析：本题解答有两处易于出错，一是平向量的应用意识不强，不能正确应用平面向量 的基本知识和基本方法；二是由于涉及较为复杂的数学式子变形而出错． 正确解析：（1）解：设点 T 的坐标为 ，点 M 的坐标为 ，则 M1 的坐标为 ∴点 N 的坐标为 ∴N1 的坐标为 ， ∴ 由 有 ∴ 由此得 由 有 ∴ 即 ，即为所求的方程．曲线 C 为椭圆． y AQtAP = BQtSB = ),( yx )','( yx )',0( y )','(5 52 5 52 yxOMON == )'5 52,'5 52( yx )0,'5 52( x )'5 52,0()0,'( 11 yNNxMM == NNMMOT 11 += )'5 52,0()0,'(),( yxyx +=    = = '5 52 ' yy xx yyxx 2 5'' == 5=OM 5'' 22 =+yx 5)2 5( 22 =+ yx 145 22 =+ yx （2）证：点 A（5，0）在曲线 C 即椭圆的外部，当直线 的斜率不存在时，直线 与椭圆 C 无交点，所以直线 斜率存在，并设为 ．直线 的方程为 ． 由方程组 得 依题意 ，得 ． 当 时，设交点 ，PQ 的中点为 R ，则 ， ∴ 又 BR⊥ 但 不可能成立，所以不存在直线 使得 ． （3）证明：由题有 S ， ． 则有方程组 l l l k l )5( −= xky    −= =+ )5( ,145 22 xky yx 02012550)45( 2222 =−+−+ kxkxk 0)8016(20 2 >−=∆ k 5 5 5 5 <<− k 5 5 5 5 <<− k ),(),,( 2211 yxQyxP ),( 00 yx 45 50 2 2 21 +=+ k kxx 45 25 2 2 2 21 0 +=+= k kxxx 45 20)545 25()5( 22 2 00 + −=−+=−= k k k kkxky BQBP = ⇔ l ⇔ 1−=⋅ BRkk 420201204 20 45 251 45 20 22 2 2 2 2 2 −=⇔−=−= +− +⋅=⋅ kkk k k k k k kkk BR 42020 22 −= kk l BQBP = ),( 11 yx − ),5(),,5( 2211 yxAQyxAP −=−=          =+ =+ = −=− )4(.145 )3(,145 )2(, )1(),5(5 2 2 2 2 2 1 2 1 21 21 yx yx tyy xtx 由（1）得： 将（2）、（5）代入（3）有 整理并将（4）、（5）代入得 易知 ，解得 因 ，故 ， ， ∴ ∴ ． 温馨提醒：(1)注意熟练掌握平面向量的基本知识和基本方法，增强应用意识．(2)在解答本 题时，注意增强信心，细心进行数学式子变形，并特别注意整理得得到的一元二次方程，根 的判别式大于零. 【学科素养提升之思想方法篇】 化整为零，积零为整——分类讨论思想 1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体 现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方 面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所 谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需 要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究 和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的 思想”． 2.分类讨论思想的常见类型 ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； )5(5)5( 21 +−= xtx 205]5)5([4 2 2 22 2 =++− ytxt 0)1(5)1(2)1( 2 2 2 =−+−+− ttxtt 1>t t tx 23 2 −= ),(),0,1( 11 yxSB − ),1( 11 yxSB −= ),1( 22 yxBQ −= )0,0()0),646(4( )0),62(4()0),1(5)5(1( )),1(1(),1(),1( 222 21212211 =−−−−= −−−=−−−−−= −−−−=−−−=− t tt xtxtxt tyyxtxyxtyxBQtSB BQtSB = ⑵问题中的条件是分类给出的； ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 【典例】已知曲线 上的任意点到点 的距离比它到直线 的距离小 1， （1）求曲线 的方程； （2）点 的坐标为 ，若 为曲线 上的动点，求 的最小值 （3）设点 为 轴上异于原点的任意一点，过点 作曲线 的切线 ，直线 分别与直 线 及 轴交于 ，以 为直径作圆 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，试探究： 当点 在 轴上运动（点 与原点不重合）时，线段 的长度是否发生变化？请证明你的 结论 【答案】（1） ；（2） 的最小值为 2；（3）线段 的长度为定值 【解析】 试题分析：（1）根据抛物线的定义得出轨迹方程； （2）设 ，将 表示为 （或 ）的函数，根据函数性质求出最 小值； （3）设 坐标 和直线 的斜率 ，根据相切得出 的关系，求出 坐标得出圆 的圆心和半径，利用切线的性质得出 的长． E ( )1,0F 2x = − E D ( )2,0 P E PD PF⋅  A y A E l 3x = l x ,M N MN C A C B A y A AB 2 4y x= PD PF⋅  AB 6 ( )( )0 0 0, 0P x y x ≥ PD PF⋅  0x 0y A ( )0,b l k ,k b M N， C AB （3）当点 在 轴上运动（ 与原点不重合）时，线段 的长度不变，证明如下： 依题意，直线 的斜率存在且不为 0，设 ，代入 得 ， 由 得 将 代入直线 的方程得 ，又 ，故圆心 所以圆 的半径为 当点 在 轴上运动（点 与原点不重合）时，线段 的长度不变，为定值 . A y A AB l :l y kx b= + 2 4y x= ( )2 2 22 4 0k x kb x b+ − + = ( )2 2 22 4 4 16 16 0kb k b kb∆ = − − = − = 1kb = 3x = l ( )3,3M k b+ ( )3,0N 33, 2 k bC +     C 3 2 k br += ( ) 2 2 2 2 22 3 33 0 9 3 62 2 k b k bAB AC r b kb + +   ∴ = − = − + − − = − =       6AB∴ = A y A AB 6