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- 2021-04-12 发布
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数的概念
(1)函数的定义：
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．映射的概念
设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
高频考点一 函数的概念
例1、有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.[来源:Z。xx。k.Com]
其中正确判断的序号是________．
【答案】②③
【感悟提升】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．
【变式探究】(1)下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x－1与y＝
B．y＝与y＝
C．y＝4lgx与y＝2lgx2
D．y＝lgx－2与y＝lg
(2)下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】(1)D (2)B
高频考点二 函数的定义域
例2、(1)函数f(x)＝ln ＋x的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1，2 017]，则函数g(x)＝的定义域是____________．
【答案】(1)B (2){x|0≤x≤2 016，且x≠1}
【解析】(1)要使函数f(x)有意义，应满足解得x>1，故函数f(x)＝ln＋x的定义域为(1，＋∞)．
(2)∵y＝f(x)的定义域为[1，2 017]，
∴g(x)有意义，应满足
∴0≤x≤2 016，且x≠1.
因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 016，且x≠1}．
【方法规律】求函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【变式探究】(1)函数f(x)＝＋lg的定义域为( )
A．(2，3) B．(2，4]
C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]
(2)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
【答案】(1)C (2)[－1，0]
高频考点三、已知定义域求参数范围
例3、若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
【答案】[－1,0]
【解析】因为函数f(x)的定义域为R，所以2－1≥0对x∈R恒成立，即2≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
【感悟提升】简单函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合；
②对应f下的范围一致．
(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．
【变式探究】(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)的定义域是________．
(2)函数y＝的定义域为___________________________．
【答案】(1)[，] (2)(－1,1)
【解析】(1)因为函数f(x)的定义域是[0,2]，
所以函数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)中的自变量x需要满足解得：≤x≤，
所以函数g(x)的定义域是[，]．
(2)由得－11) (2)x2－x＋2 (3)＋
【解析】(1)令t＝＋1(t>1)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．
(3)在f(x)＝2f·－1中，
将x换成，则换成x，
得f＝2f(x)·－1，
由
解得f(x)＝＋.
【方法规律】求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)．
(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
【变式探究】(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________．
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
(3)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________．
【答案】(1)x2－1(x≥1) (2)－x(x＋1)
(3)lg(x＋1)＋lg(1－x)(－10，有y≥x成立．
7．设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B．[0，1] C. D．[1，＋∞)[来源:学。科。网Z。X。X。K]
【答案】C
8．函数f(x)＝ln＋的定义域为________．
【答案】(0，1]
【解析】要使函数f(x)有意义，则⇒⇒00，所以f＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.