专题12-1 随机事件的概率（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 8页

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【新课标版理 】【讲】第十二章 概率与统计 第01节 随机事件的概率 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 随机事件的概率 ‎1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率意义以及频率与概率的区别．‎ ‎2．了解两个互斥事件的概率加法公式．‎ ‎2015课标2‎ ‎2016课标1‎ ‎2017课标2‎ 概率含义的理解和互斥事件定义的理解 备考重点：‎ 利用正难则反解互斥事件概率 ‎【知识清单】‎ ‎1.频率与概率 ‎（1）在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的概率．记作P(A)．‎ ‎（2）频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．‎ 对点练习 ‎1. 下列说法中,不正确的是　(　　)‎ A. 某人射击10次,击中靶心8次,则他击中靶心的频率是0.8‎ B. 某人射击10次,击中靶心7次,则他击不中靶心的频率是0.7‎ C. 某人射击10次,击中靶心的频率是,则他应击中靶心5次 D. 某人射击10次,击中靶心的频率是0.6,则他击不中靶心的次数应为4次 ‎【答案】B ‎2. 某出版公司对本公司发行的三百多种教辅用书实行跟踪式问卷调查,连续五年的调查结果如表所示:‎ 发送问卷数 ‎1 006‎ ‎1 500‎ ‎2 010‎ ‎3 050‎ ‎5 200‎ 返回问卷数 ‎949‎ ‎1 430‎ ‎1 913‎ ‎2 890‎ ‎4 940‎ 则本公司问卷返回的概率约为____.‎ ‎【答案】0.95‎ ‎【解析】本公司问卷返回的概率 ‎2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件 (或称事件包含于事件)‎ ‎ (或)‎ 相等关系 若且，那么称事件与事件相等 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件(或和事件)‎ ‎(或)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件)‎ ‎(或)‎ 互斥事件 若为不可能事件，那么称事件与事件互斥 对立事件 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件 且 对点练习 ‎1. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）‎ A. 至少有一个红球与都是红球 B. 至少有一个红球与都是白球 C. 恰有一个红球与恰有二个红球 D. 至少有一个红球与至少有一个白球 ‎【答案】C ‎3.概率的基本性质 ‎(1)概率的取值范围：.‎ ‎(2)必然事件的概率：.‎ ‎(3)不可能事件的概率：.‎ ‎(4)互斥事件的概率加法公式：‎ ‎①(互斥)，且有．‎ ‎② (彼此互斥)．‎ ‎(5)对立事件的概率：．‎ 对点练习 某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得 下表：‎ 公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y (元）与乘市时间t (分钟）的关系是，其中表示不超过的最大整数.以样本频率为概率,则公司一名职工每月 用于路途补贴不超过300元的概率为（ ）‎ A. 0.5 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9‎ ‎【答案】D ‎【重点难点突破】‎ 考点：随机事件的概率 ‎【1-1】在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)‎ A. 至多有一张移动卡 B. 恰有一张移动卡 C. 都不是移动卡 D. 至少有一张移动卡 ‎【答案】A ‎【解析】由于，结合对立事件的定义可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件，即“至多有一张移动卡”．选A。‎ ‎【1-2】某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为(　　)‎ A. 0.95 B. 0.7 C. 0.35 D. 0.05‎ ‎【答案】D ‎【解析】“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.‎ 故答案为D。‎ ‎【1-3】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是( )‎ A. 事件“”的概率为 B. 事件“是奇数”与“”互为对立事件 C. 事件“”与“”互为互斥事件 D. 事件“”的概率为 ‎【答案】D ‎【解析】对于A, ,则概率为,选项错误;‎ 对于B, “是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误;‎ 对于C,事件“”包含在“”中,不为互斥事件,选项错误;‎ 对于D, 事件“”的点数有: ,共9种,故概率为,选项正确;‎ 综上可得,选D.‎ ‎【1-4】)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P(m，n)落在直线x＋y＝4左下方的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]C ‎[解析试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36个基本事件．事件“点P(m，n)落在直线x＋y＝4左下方”，则m，n满足m＋n<4，包含(1，1)，(1，2)，(2，1)共3个基本事件，故所求概率P＝＝.故选C.‎ ‎【1-5】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：‎ ‎(1)P(A)，P(B)，P(C)；‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率；‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．‎ ‎【解】(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.故事件A，B，C的概率分别为，，.‎ ‎(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.‎ ‎∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.故1张奖券的中奖概率为.‎ ‎(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，‎ ‎∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1．必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化．‎ ‎2．必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，因此，任何事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1.‎ ‎3．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要而不充分条件．‎ ‎4．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成集合的补集．‎ ‎5．求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件的概率，然后利用P(A)＝1－P()可得解．‎ ‎【触类旁通】‎ 某险种的基本保费为（单元：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 保 费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 频数 ‎（1）记为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求的估计值；‎ ‎（2）记为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的”，求的估计值；‎ ‎（3）求续保人本年度平均保费的估计值.‎ 三、易错试题常警惕 易错典例：甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人一次各抽取一题，‎ ‎（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？‎ ‎（2）甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？‎ 易错分析：（1）错把分步原理当作分类原理来处理.（2）该问题对甲、乙二人至少有一个抽到选择题的计数是重复的，两人都抽取到选择题这种情况被重复计数.概率值不会大于1，这是错解.‎ 错解：（1）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为；又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有，所以概率值为.（2）甲、乙中甲抽到判断题的种数是6×9种，乙抽到判断题的种数6×9种，故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的种数为12×9；又甲、乙二人一次各抽取一题的种数是10×9，故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是.‎ 正确解析：（1）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为；又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有，所以概率值为.‎ ‎（2）甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9=90；‎ 方法一：分类计数原理 ‎（1）只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4=24；‎ ‎（2）只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4=24；‎ ‎（3）甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5=30；‎ 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是.‎ 方法二：利用对立事件 事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件 事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3=12；‎ 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是.‎ 温馨提醒：1．概率是对大量重复试验来说存在的一种规律性，但对单次试验而言，事件的发生是随机的； ‎ ‎2．随机事件的概率，其中是试验中所有等可能出现的结果（基本事件）的个数，是所研究事件中所包含的等可能出现的结果（基本事件）个数，因此，正确区分并计算的关键是抓住“等可能”，即个基本事件及个基本事件都必须是等可能的；‎ ‎3．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．‎ ‎4．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．‎ ‎ ‎