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- 2021-04-12 发布
2019-2020学年陕西师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题）
1.若，为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：由1+ai＝0，得ai＝﹣1，即a．
故选：C．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2.已知集合，，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合A，B，由此能求出．
【详解】解：集合，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.
我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A. 108石 B. 169石 C. 237石 D. 338石
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果.
【详解】粒内夹谷18粒，
米中含谷的频率为，
石中夹谷约为（石）.故选A.
【点睛】本题主要考查样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.
4.在区间上随机地选择一个数，则方程有两个正根的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
方程有两个正根，则有，即解得或，又，由几何概型概率公式可得方程有两个正根的概率为，故选A.
5.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 3 B. 9 C. 18 D. 27
【答案】D
【解析】
设等差数列的首项为，公差为.
∵
∴，即
∴
∴
故选D.
6.在的展开式中，的系数是 （ ）
A. 45 B. C. 90 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的的系数．
【详解】解：在的展开式中，通项公式为，
令，求得，可得的系数是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
7.若，且，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用已知条件，用表示，转化为关于函数的最值.
【详解】由题意得：，又，
∴，
则
当时，取得最大值.
故选:C
【点睛】本题考查含有条件等式的最值问题，等价转换是解题的关键，属于基础题.
8.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设M、N、P分别为AB，和的中点，得出、夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和的余弦值即可．
【详解】如图所示，
设M、N、P分别为AB，和的中点，
则，，
则、夹角为MN和NP夹角或其补角因异面直线所成角为 )，
可知，；
作BC中点Q，则为直角三角形，，，
中，由余弦定理得
，
，，；
在中，由余弦定理得
；
又异面直线所成角的范围是，
与所成角的余弦值为．
故选C．
【点睛】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．
9.已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，两式作差，运用平方差公式和直线的斜率公式，以及中点坐标公式，可得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程．
【详解】由题意得：设，都在抛物线上
，直线还经过，
所以直线方程为
故选：B
【点睛】本题考查抛物线的方程的运用和点差法求直线方程，考查直线的斜率公式和中点坐标公式的运用，化简运算能力，属于中档题．
10.已知为双曲线的左、右焦点，为其渐近线上一点， 轴，且则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得P的横坐标为﹣c，可设P的纵坐标为，由∠PF2F1＝30°可得a，b的关系，再由离心率公式求解．
【详解】解：如图，
PF1⊥x轴，可得P的横坐标为﹣c，
由双曲线的渐近线方程y，可得P的纵坐标为，
由∠PF2F1＝30°，可得，
即ba，
即有e．
故选：D．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，是中档题．
11.已知函数,若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
画出分段函数图象，原题意等价于函数的图象与有三个不同的交点．由图可解，注意y=1是一条渐近线．
【详解】函数，作出函数图象，
如图所示，方程有三个不同的实数根，
等价于函数的图象与有三个不同的交点，
根据图象可知，当时，函数的图象与有三个不同的交点，
方程有三个不同实数根，的取值范围是，故选A．
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12.在△ABC中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据得到是等腰三角形，代入方程得到，计算得到答案.
【详解】由已知得：所以是等腰三角形，
整理得：解之得：
所以
【点睛】本题考查了解三角形，意在考查学生的计算能力.
二、填空题（本大题共4小题）
13.某正方体外接球的体积为，则此正方体的表面积为__________．
【答案】96
【解析】
【分析】
根据正方体外接球的半径和正方体棱长的关系可以先求出正方体的棱长,最后求出正方体的表面积.
【详解】由已知得：设正方体的棱长为m，外接球的半径为R，；
所以，求得：，所以正方体表面积=96.
故答案为:96
【点睛】本题考查了正方体外接球的半径与正方体棱长的关系,考查了球的体积公式和正方体表面积公式,考查了数学运算能力.
14.在各项都为正数的等比数列中，，，则数列的前n项和为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为q，，运用等比数列的通项公式可得，求得通项公式，可得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
【详解】解：在各项都为正数的等比数列的公比设为q，，，，
可得，即，
则，
，
则数列的前n项和为
，
故答案为：．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．
15.钝角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理可得，再根据为钝角三角形求出C的范围，进一步求出a的范围．
【详解】解：由正弦定理，有．
为钝角三角形，，
当A为钝角时，，；
当C为钝角时，，
为钝角三角形，．
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正弦定理和正切函数的图象与性质，关键是根据三角形为钝角三角形求出角的范围，属中档题．
16.已知，，，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
从所求的结果得所需要的的范围，再从已知条件中寻找它的范围即可，需要用到余弦值的范围．
【详解】解：，，
只需要求的范围即可；
，，
而，
，
两边平方得，；
故答案：．
【点睛】本题利用三角函数范围求数量积的范围，属于中难度题．
三、解答题（本大题共7小题）
17.已知函数的图象的一条对称轴为．
（1）求的最小值；
（2）当取最小值时，若，，求．
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】
1把已知函数解析式变形，取，再由相位终边落在y轴上求解值；
2由已知求得与的值，然后利用诱导公式及倍角公式求解．
【详解】解：（1）
，
由题可得，
解得，
，
故的最小值为1；
（2） ，
，，
，
．
【点睛】（1）本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象与性质，考查计算能力，是中档题．
（2）运用诱导公式将转化成，善于运用转化二倍角公式.
18.共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.
（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；
（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件，利用概率乘法公式及加法公式得到所求概率；
（2）的取值为0,1,2,3,明确相应的概率值，得到分布列及相应的数学期望.
试题解析：
（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件，则 .
（2）显然的取值为0,1,2,3,
,,
,,
故随机变量的分布列为
的数学期望.
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
19.如图，在四面体中，，．
（1）证明：；
（2）若，，四面体的体积为2，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）作Rt△斜边上的高，连接，推导出，从而平面，由此能证明．
（2）推导出平面，以，，为，，轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角的余弦值，进而可得正弦值.
【详解】（1）如图，作Rt△斜边上的高，连接．
因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．
所以平面，于是．
（2）在Rt中，因为，，
所以，，， ．
因为平面，四面体的体积，
所以，则，，
所以平面．
以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，，，．
设是平面的法向量，则，
即，可取．
设是平面的法向量，则，
即，可取．
因为，
所以二面角的正弦值为．
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查学生计算能力，是中档题．
20.已知离心率的椭圆的一个焦点为，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过原点且与坐标轴不垂直的直线与曲线交于两点，且点，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据 即可求出椭圆方程．
（Ⅱ）由题意知，直线斜率存在，设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理和弦长公式，求出的值，再利用点到直线距离，求出三角形的高，即可写出面积的表达式，对参数k讨论求出面积最大值．
【详解】（Ⅰ）根据题意得，∴.
∴. 故椭圆的方程为.
（Ⅱ）根据题意：设直线的方程为，
由得．
设
∴，，
∴
.
又∵点到直线的距离，
∴ ，
，
① 当时，；
② 当时，……11分
综上所述，的面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的思想，运算求解的能力．
21.函数.
（1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）；
（2）设，若，满足，求证：.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，切线方程为，化简即可；
（2）先由导数确定在上单调递增，不妨设，则，又，，则，于是，这是重要的一个结论，构造函数，求出，可确定在
上递减，于是，于是，下面只要证明即可。
【详解】（1），则，
故在处切线方程为即；
（2）证明：由题可得，，
当时，，则；当时，，则，
所以，当时，，在上是增函数.
设，
则，
当时，，则，在上递减.
不妨设，由于在上是增函数，则，
又，，则，于是，
由，在上递减，
则，所以，则，
又，在上是增函数，所以，，即.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式。本题不等式证明难度很大，首先不妨设，由的单调性得，因此要证题设不等式只要证，为此构造新函数，利用它在
上的单调性完成证明。构造新函数学生难以想到，需要学生反复学习、练习，不断归纳总结，都有可能独立完成。
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的直角坐标方程；
（2）设点的坐标为，若点是曲线截直线所得线段的中点，求的斜率.
【答案】(1) 见解析，(2) -1.
【解析】
【分析】
（1）讨论倾斜角α的情况，即可写出直线的直角坐标方程．
（2）将M极坐标化为直角坐标，将曲线C的极坐标化为直角坐标，并把直线参数方程代入曲线C 的直角坐标，可得
【详解】（1）当时，直线的直角坐标方程为；
当时，直线的直角坐标方程为.
（2）点的直角坐标为，曲线的直角坐标方程为，
把代入曲线的直角坐标方程，
化简得
点是曲线截直线所得线段的中点
则，即
化简可得，
所以直线的斜率为-1.
【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程的转化，参数方程与直角坐标方程联立的用法，属于中档题．
23.已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对，成立，求的取值范围.
【答案】(1) ， (2) 或
【解析】
【分析】
（1）代入 的值，根据分类讨论求得的解析式，解不等式即可得解集．
（2）根据不等式的几何意义，即可求得 的取值范围．
【详解】（1）当时，，
由，解得或
即的解集为
（2）表示数轴上的点到和-2的距离之和，
表示到和-2距离之和大于等于1恒成立，
则或.
【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值不等式的几何意义，属于中档题．