高中人教a版数学必修4：第6课时 同角三角函数的基本关系（2） word版含解析 4页

第 6 课时 同角三角函数的基本关系(2) 课时目标 1.巩固同角三角函数关系式． 2．灵活利用公式进行化简求值证明． 识记强化 1．同角三角函数关系式是根据三角函数定义推导的． 2．同角三角函数的基本关系式包括： ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1 ②商数关系：tanα＝sinα cosα. 3．商数关系 tanα＝sinα cosα 成立的角α的范围是α≠kπ＋π 2(k∈Z)． 4．sin2α＋cos2α＝1 的变形有 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α等．tanα ＝sinα cosα 的变形有 sinα＝tanα·cosα，cosα＝sinα tanα 等． 课时作业 一、选择题 1．已知 cos2θ＝ 9 25 ，且3π 2 ＜θ＜2π，那么 tanθ的值是( ) A.4 3 B．－3 4 C.3 4 D．－4 3 答案：D 解析：∵3π 2 ＜θ＜2π，cos2θ＝ 9 25 ，∴cosθ＝3 5. ∴sinθ＝－4 5 ，故 tanθ＝sinθ cosθ ＝－4 3. 2．已知 tanα＝2，则 1 1＋sinα ＋ 1 1－sinα 的值为( ) A．6 B．10 C．5 D．8 答案：B 解析：先将所求关系式化简，再代入求值． 1 1＋sinα ＋ 1 1－sinα ＝ 2 1＋sinα1－sinα ＝ 2 cos2α. ∵tanα＝sinα cosα ＝2，∴sinα＝2cosα， ∴sin2α＋cos2α＝4cos2α＋cos2α＝5cos2α＝1， ∴cos2α＝1 5 ，∴原式＝2 1 5 ＝10.故选 B. 3．设 cos100°＝k，则 tan100°＝( ) A. 1－k2 k B．－ 1－k2 k C．± 1－k2 k D．± k 1－k2 答案：A 解析：∵100°是第二象限角，cos100°＝k， ∴sin100°＝ 1－k2，∴tan100°＝ 1－k2 k . 4．已知 sinθ＝m－3 m＋5 ，cosθ＝4－2m m＋5 ，则 m 的值为( ) A．0 B．8 C．0 或 8 D．3＜m＜9 答案：C 解析：利用 sin2θ＋cos2θ＝1，求 m 的值． 5．化简 tanx＋ 1 tanx cos2x＝( ) A．tanx B．sinx C．cosx D. 1 tanx 答案：D 解析： tanx＋ 1 tanx cos2x＝ sinx cosx ＋cosx sinx cos2x ＝sin2x＋cos2x sinxcosx ·cos2x＝cosx sinx ＝ 1 tanx. 6．已知 tanα＝1 2 ，且α∈ π，3π 2 ，则 sinα的值是( ) A．－ 5 5 B. 5 5 C.2 5 5 D．－2 5 5 答案：A 解析：∵α∈ π，3π 2 ，∴sinα<0.由 tanα＝sinα cosα ＝1 2 ，sin2α＋cos2α＝1，得 sinα＝－ 5 5 . 二、填空题 7．已知 tanα＝m π＜α＜3π 2 ，则 sinα＝________. 答案：－ m 1＋m2 解析：因为 tanα＝m，所以sin2α cos2α ＝m2， 又 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝ 1 m2＋1 ， sin2α＝ m2 m2＋1 .又因为π＜α＜3π 2 ，所以 tanα＞0， 即 m＞0.因而 sinα＝－ m m2＋1 . 8．若 cosα＋2sinα＝－ 5，则 tanα＝________. 答案：2 解析：将已知等式两边平方，得 cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得 sin2α －4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，则 sinα＝2cosα，故 tanα＝2. 9．若 tanα＋ 1 tanα ＝3，则 sinαcosα＝________，tan2α＋ 1 tan2α ＝________. 答案：1 3 7 解析：∵tanα＋ 1 tanα ＝3，∴sinα cosα ＋cosα sinα ＝3，即sin2α＋cos2α sinαcosα ＝3，∴sinαcosα＝1 3.tan2α＋ 1 tan2α ＝ tanα＋ 1 tanα 2－2tanα 1 tanα ＝9－2＝7. 三、解答题 10．求证：1－2sin2xcos2x cos22x－sin22x ＝1－tan2x 1＋tan2x . 证明：左边＝cos22x＋sin22x－2sin2xcos2x cos22x－sin22x ＝ cos2x－sin2x2 cos2x－sin2xcos2x＋sin2x ＝cos2x－sin2x cos2x＋sin2x ＝1－tan2x 1＋tan2x ＝右边． 11．已知 tanα＝3，求下列各式的值： (1) 4sinα－cosα 3sinα＋5cosα ； (2)sin2α－2sinαcosα－cos2α 4cos2α－3sin2α ； (3)3 4sin2α＋1 2cos2α. 解：(1) 4sinα－cosα 3sinα＋5cosα ＝4tanα－1 3tanα＋5 ＝4×3－1 3×3＋5 ＝11 14 (2)sin2α－2sinαcosα－cos2α 4cos2α－3sin2α ＝tan2α－2tanα－1 4－3tan2α ＝9－6－1 4－27 ＝－ 2 23 (3)3 4sin2α＋1 2cos2α ＝ 3 4sin2α＋1 2cos2α sin2α＋cos2α ＝ 3 4tan2α＋1 2 tan2α＋1 ＝ 3 4 ×9＋1 2 9＋1 ＝29 40 能力提升 12．已知 A 为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg 1 1－cosA ＝n，则 lgsinA 的值为( ) A．m＋1 n B．m－n C.1 2 m＋1 n D.1 2(m－n) 答案：D 解析：两式相减得 lg(1＋cosA)－lg 1 1－cosA ＝m－n⇒ lg[(1＋cosA)(1－cosA)]＝m－n⇒lg sin2A＝m－n， ∵A 为锐角，∴sinA＞0.∴2lgsinA＝m－n. ∴lgsinA＝m－n 2 . 13．已知2sin2α＋2sinαcosα 1＋tanα ＝k 0<α<π 2 ，试用 k 表示 sinα－cosα的值． 解：2sin2α＋2sinαcosα 1＋tanα ＝2sinαsinα＋cosα 1＋sinα cosα ＝2sinαcosαsinα＋cosα sinα＋cosα ＝2sinαcosα＝k. 当 0<α<π 4 时，sinα