2018届二轮复习专题六第2讲　随机变量及其分布课件（全国通用） 47页

第 2 讲　随机变量及其分布 高考定位　 概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的 “ 热点 ” ，多在解答题的前三题的位置呈现，常考查 独立事件的概率 ，超几何分布和二项分布的期望等 . 真 题 感 悟 (2016· 全国 Ⅰ 卷 ) 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元 . 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元 . 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . (1) 求 X 的分布列； (2) 若要求 P ( X ≤ n ) ≥ 0.5 ，确定 n 的最小值； (3) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n ＝ 19 与 n ＝ 20 之中选其一，应选用哪个？ 解 　 (1) 由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8 ， 9 ， 10 ， 11 的概率分别为 0.2 ， 0.4 ， 0.2 ， 0.2 ，从而 P ( X ＝ 16) ＝ 0.2 × 0.2 ＝ 0.04 ； P ( X ＝ 17) ＝ 2 × 0.2 × 0.4 ＝ 0.16 ； P ( X ＝ 18) ＝ 2 × 0.2 × 0.2 ＋ 0.4 × 0.4 ＝ 0.24 ； P ( X ＝ 19) ＝ 2 × 0.2 × 0.2 ＋ 2 × 0.4 × 0.2 ＝ 0.24 ； P ( X ＝ 20) ＝ 2 × 0.2 × 0.4 ＋ 0.2 × 0.2 ＝ 0.2 ； P ( X ＝ 21) ＝ 2 × 0.2 × 0.2 ＝ 0.08 ； P ( X ＝ 22) ＝ 0.2 × 0.2 ＝ 0.04 ； 所以 X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2) 由 (1) 知 P ( X ≤ 18) ＝ 0.44 ， P ( X ≤ 19) ＝ 0.68 ，故 n 的最小值为 19. (3) 记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用 ( 单位：元 ). 当 n ＝ 19 时， E ( Y ) ＝ 19 × 200 × 0.68 ＋ (19 × 200 ＋ 500) × 0.2 ＋ (19 × 200 ＋ 2 × 500) × 0.08 ＋ (19 × 200 ＋ 3 × 500) × 0.04 ＝ 4 040. 当 n ＝ 20 时， E ( Y ) ＝ 20 × 200 × 0.88 ＋ (20 × 200 ＋ 500) × 0.08 ＋ (20 × 200 ＋ 2 × 500) × 0.04 ＝ 4 080. 可知当 n ＝ 19 时所需费用的期望值小于 n ＝ 20 时所需费用的期望值，故应选 n ＝ 19. 考 点 整 合 1. 条件概率 2. 相互独立事件同时发生的概率 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ). 3. 独立重复试验 4. 超几何分布 5. 离散型随机变量的分布列 ξ x 1 x 2 x 3 … x i … P p 1 p 2 p 3 … p i … 为离散型随机变量 ξ 的分布列 . (2) 离散型随机变量 ξ 的分布列具有两个性质： ① p i ≥ 0 ； ② p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p i ＋ … ＝ 1( i ＝ 1 ， 2 ， 3 ， … ). (3) E ( ξ ) ＝ x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ … ＋ x i p i ＋ … ＋ x n p n 为随机变量 ξ 的数学期望或均值 . D ( ξ ) ＝ ( x 1 － E ( ξ )) 2 · p 1 ＋ ( x 2 － E ( ξ )) 2 · p 2 ＋ … ＋ ( x i － E ( ξ )) 2 · p i ＋ … ＋ ( x n － E ( ξ )) 2 · p n 叫做随机变量 ξ 的方差 . (4) 性质 ① E ( aξ ＋ b ) ＝ aE ( ξ ) ＋ b ， D ( aξ ＋ b ) ＝ a 2 D ( ξ ) ； ② X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ np ， D ( X ) ＝ np (1 － p ) ； ③ X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ p ， D ( X ) ＝ p (1 － p ). 热点一　相互独立事件、独立重复试验概率模型 [ 微题型 1] 　相互独立事件的概率 【例 1 － 1 】 (2016· 北京卷 ) A ， B ， C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表 ( 单位：小时 ) ： (1) 试估计 C 班的学生人数； (2) 从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取 1 人， A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙 . 假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3) 再从 A ， B ， C 三个班中各任取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7 ， 9 ， 8.25( 单位：小时 ). 这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 μ 1 ，表格中数据的平均数记为 μ 0 ，试判断 μ 0 和 μ 1 的大小 ( 结论不要求证明 ). 探究提高 　 对于复杂事件的概率 ， 要先辨析事件的构成 ， 理清各事件之间的关系 ，并依据互斥事件概率的和，或者相互独立事件概率的积的公式列出关系式；含“ 至多 ”“ 至少 ” 类词语的事件可转化为对立事件的概率求解；并注意正难则反思想的应用 ( 即题目较难的也可从对立事件的角度考虑 ). [ 微题型 2] 　独立重复试验的概率 【例 1 － 2 】 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示 . 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 . (1) 求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率； (2) 用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 E ( X ) 及方差 D ( X ). 解　 (1) 设 A 1 表示事件 “ 日销售量不低于 100 个 ” ， A 2 表示事件 “ 日销售量低于 50 个 ” ， B 表示事件 “ 在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个 ” ，因此 P ( A 1 ) ＝ (0.006 ＋ 0.004 ＋ 0.002) × 50 ＝ 0.6 ， P ( A 2 ) ＝ 0.003 × 50 ＝ 0.15 ， P ( B ) ＝ 0.6 × 0.6 × 0.15 × 2 ＝ 0.108. 分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为 X ～ B (3 ， 0.6) ，所以期望 E ( X ) ＝ 3 × 0.6 ＝ 1.8 ，方差 D ( X ) ＝ 3 × 0.6 × (1 － 0.6) ＝ 0.72. 探究提高 　 在解题时注意辨别独立重复试验的基本特征： (1) 在每次试验中 ， 试验结果只有发生与不发生两种情况； (2) 在每次试验中 ， 事件发生的概率相同 . 【训练 1 】 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 . 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数 ( 人 ) x 30 25 y 10 结算时间 ( 分种 / 人 ) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1) 确定 x ， y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望； (2) 若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率 . ( 注：将频率视为概率 ) 解　 (1) 由已知得 25 ＋ y ＋ 10 ＝ 55 ， x ＋ 30 ＝ 45 ，所以 x ＝ 15 ， y ＝ 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，将频率视为概率得 X 的分布列为 热点二　离散型随机变量的分布列 [ 微题型 1] 　利用相互独立事件、互斥事件的概率求分布列 (1) 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2) 两次回球结束后，小明得分之和 X 的分布列与数学期望 . 可得随机变量 X 的分布列为： 探究提高 　 解答这类问题使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答得分的根本保证 . 引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确 ， 或者用表格描述 ， 使得问题描述有条理 ， 不会有遗漏 ， 也不会重复；分析清楚随机变量取值对应的事件是求解分布列的关键 . [ 微题型 2] 　二项分布 (1) 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X ，求 X ≤ 3 的概率； (2) 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ (2) 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X 1 ，都选择方案乙所获得的累计得分为 X 2 ，则 X 1 ， X 2 的分布列如下： [ 微题型 3] 　超几何分布 【例 2 － 3 】 (2016· 合肥二模 ) 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加 . 现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名 . 从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 . (1) 设 A 为事件 “ 选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会 ” ，求事件 A 发生的概率； (2) 设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 探究提高 　 抽取的 4 人中 ， 运动员可能为种子选手或一般运动员 ， 并且只能是这两种情况之一 ， 符合超几何概型的特征 ， 故可利用超几何分布求概率 . 【训练 2 】 (2014· 新课标全国 Ⅰ 卷 ) 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： 1. 概率 P ( A | B ) 与 P ( AB ) 的区别 (1) 发生时间不同：在 P ( A | B ) 中，事件 A ， B 的发生有时间上的差异， B 先 A 后；在 P ( AB ) 中，事件 A ， B 同时发生 .(2) 样本空间不同：在 P ( A | B ) 中，事件 B 成为样本空间；在 P ( AB ) 中，样本空间仍为总的样本空间，因而有 P ( A | B ) ≥ P ( AB ). 2. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是 “ 判断取值 ” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是 “ 探求概率 ” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式 ( 常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等 ) ，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是 “ 写分布列 ” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； 第四步是 “ 求期望值 ” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布 ( 如二项分布 X ～ B ( n ， p )) ，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式 ( E ( X ) ＝ np ) 求得 . 因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度 .