- 374.39 KB
- 2021-04-12 发布
第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
1．向量的夹角
定义 图示 范围 共线与垂直
已知两个非零向量 a 和
b，作 OA
―→
＝a， OB
―→
＝b，
则∠AOB 就是 a 与 b 的夹角
设 θ 是 a 与 b
的夹角，则 θ 的
取值范围是
0°≤θ≤180°
θ＝0°或 θ
＝180°⇔a∥b，
θ＝90°⇔a⊥b
2.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ 叫
做 a 与 b 的数量积，记作 a·b
投影
|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，
|b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影
几何意
义
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影
|b|cos θ 的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ a·a |a|＝ x21＋y21
夹角 cos θ＝ a·b
|a||b|
cos θ＝ x1x2＋y1y2
x21＋y21· x22＋y22
a⊥b 的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b
|x1x2＋y1y2|≤
(x21＋y21)(x22＋y22)
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)由 a·b＝0 可得 a＝0 或 b＝0.( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(5)两个向量的夹角的范围是[0，π
2 ].( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
2．已知 a·b＝－12 2，|a|＝4，a 和 b 的夹角为 135°，则|b|的值为( )
A．12 B．6
C．3 3 D．3
解析：选 B 因为 a·b＝|a||b|cos 135°＝－12 2，
所以|b|＝
－12 2
4 × (－ 2
2 )
＝6.
3．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2 3，a 与 b 的夹角的余弦值为 sin17π
3 ，则 b·(2a－
b)等于( )
A．2 B．－1
C．－6 D．－18
解析：选 D ∵a 与 b 的夹角的余弦值为 sin17π
3 ＝－ 3
2 ，
∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b 2＝－18.
4．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|＞|b|
解析：选 A ∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2，
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，
∴a·b＝0，∴a⊥b.
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量 a＋b 与 a 垂直，则 m＝
________.
解析：因为 a＋b＝(m－1,3)，a＋b 与 a 垂直，
所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得 m＝7.
答案：7
6．已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为
________．
解析：由数量积的定义知，b 在 a 方向上的投影为
|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
答案：－2
考点一 平面向量的数量积的运算 (基础送分型考点——自主练透)
[考什么·怎么考]
平面向量数量积的概念与计算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要有利用数
量积定义求值、在具体平面图形中计算数量积的值，一般难度较小，属于基础题.
考法(一) 利用数量积定义进行运算
1．设向量 a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量 a＋2b 与 2a－b 平行，那么 a 与 b 的数量
积等于( )
A．－7
2 B．－1
2
C.3
2 D.5
2
解析：选 D a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意得 3(－1＋2m)－4(－2
－m)＝0，解得 m＝－1
2，
所以 a·b＝－1×(－1
2 )＋2×1＝5
2.
2．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，且 a＝(－2，－6)，|b|＝ 10，则 a·b＝________.
解析：因为 a＝(－2，－6)，所以|a|＝ (－2)2＋(－6)2＝2 10，又|b|＝ 10，向量 a 与 b
的夹角为 60°，所以 a·b＝|a||b|cos 60°＝2 10× 10×1
2＝10.
答案：10
3．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π
3，若向量 b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2
＝________.
解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|2－2e1·e2－8|e2|2.其中|e1|2＝|e2|2＝1，e1·e2＝
|e1|·|e2|·cosπ
3＝1×1×1
2＝1
2，所以 b1·b2＝－6.
答案：－6
[题型技法] 向量数量积的 2 种运算方法
方法 运用提示 适用题型
定义法
当已知向量的模和夹角 θ 时，
可 利 用 定 义 法 求 解 ， 即 a·b ＝
|a|·|b|cos θ
适用于已知向量的模及夹角
的 向 量 数 量 积 的 有 关 计 算 问
题．(如第 2,3 题)
坐标法
当已知向量的坐标时，可利用
坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)，b＝
(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2
适用于已知相应向量的坐标
求解数量积的有关计算问题．(如
第 1 题)
考法(二) 平面图形中数量积的运算
4．(2018·云南第一次统一检测)在▱ABCD 中，| AB
―→
|＝8，| AD
―→
|＝6，N 为 DC 的中点，
BM
―→
＝2 MC
―→
，则 AM
―→
· NM
―→
＝( )
A．48 B．36
C．24 D．12
解析：选 C AM
―→
· NM
―→
＝( AB
―→
＋ BM
―→
)·( NC
―→
＋ CM
―→
)＝(＋2
3 )·(
1
2－1
3 )＝1
2 AB
―→
2－
2
9 AD
―→
2＝1
2×82－2
9×62＝24.
5．(2018·石家庄质检)在△ABC 中，已知 AB
―→
与 AC
―→
的夹角为 90°，| AB
―→
|＝2，| AC
―→
|＝1，M 为 BC 上的一点，且 AM
―→
＝λ AB
―→
＋μ AC
―→
(λ，μ∈R)，且 AM
―→
· BC
―→
＝0，则λ
μ的
值为________．
解析：法一：∵ BC
―→
＝ AC
―→
－ AB
―→
， AM
―→
· BC
―→
＝0，
∴(λ AB
―→
＋μ AC
―→
)·( AC
―→
－ AB
―→
)＝0，
∵ AB
―→
与 AC
―→
的夹角为 90°，| AB
―→
|＝2，| AC
―→
|＝1，
∴－λ| AB
―→
|2＋μ| AC
―→
|2＝0，
即－4λ＋μ＝0，∴λ
μ＝1
4.
法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(0,2)，
C(1,0)，所以 AB
―→
＝(0,2)， AC
―→
＝(1,0)， BC
―→
＝(1，－2)．设 M(x，y)，则
AM
―→
＝(x，y)，所以 AM
―→
· BC
―→
＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以 x＝2y，
又 AM
―→
＝λ AB
―→
＋μ AC
―→
，即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以 x＝μ，y＝2λ，所以λ
μ＝
1
2y
2y＝1
4.
答案：1
4
6．(2017·北京高考)已知点 P 在圆 x 2＋y2＝1 上，点 A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则
AO
―→
· AP
―→
的最大值为________．
解析：法一：由题意知， AO
―→
＝(2,0)，令 P(cos α，sin α)，则 AP
―→
＝(cos α＋2，sin α)，
AO
―→
· AP
―→
＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当 cos α＝1，即 α＝0，P(1,0)
时“＝”成立，故 AO
―→
· AP
―→
的最大值为 6.
法二：由题意知， AO
―→
＝(2,0)，令 P(x，y)，－1≤x≤1，则 AO
―→
· AP
―→
＝(2,0)·(x＋2，
y)＝2x＋4≤6，当且仅当 x＝1，P(1,0)时“＝”成立，故 AO
―→
· AP
―→
的最大值为 6.
法三： AO
―→
· AP
―→
表示 AP
―→
在 AO
―→
方向上的投影与| AO
―→
|的乘积．当点 P 在点 B(1,0)
处时， AO
―→
· AP
―→
有最大值，此时 AO
―→
· AP
―→
＝2×3＝6.
答案：6
[题型技法] 计算有关平面几何中数量积的方法
(1)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量 a，b，
然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．
(2)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出 a，b 的坐标，通过坐标运算
法则求得．
考点二 平面向量数量积的性质 (题点多变型考点——追根溯源)
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适
中，属中档题.,常见的命题角度有：
(1)平面向量的模；
(2)平面向量的夹角；
(3)平面向量的垂直.
[题点全练]
角度(一) 平面向量的模
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝
________.
解析：由题意，a·b＝|a|·|b|cos 60°＝2×1× 1
2＝1，所以|a＋2b|＝ |a|2＋4a·b＋4|b|2＝
4＋4 × 1＋4＝2 3.
答案：2 3
2.如图，在△ABC 中，O 为 BC 的中点，若 AB＝1，AC＝3， AB
―→
与 AC
―→
的夹角为 60°，则| OA
―→
|＝________.
解析： AB
―→
· AC
―→
＝| AB
―→
|·| AC
―→
|cos 60°＝1×3×1
2＝3
2，又 AO
―→
＝1
2( AB
―→
＋ AC
―→
)，
所以 AO
―→
2＝1
4( AB
―→
＋ AC
―→
)2＝1
4( AB
―→
2＋2 AB
―→
· AC
―→
＋ AC
―→
2)，即 AO
―→
2＝1
4(1＋3＋9)＝
13
4 ，所以| OA
―→
|＝ 13
2 .
答案： 13
2
[题型技法] 求向量模的常用方法
(1)若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量 a 的模可直接利用公式|a|＝ x2＋y2.
(2)若向量 a，b 是以非坐标形式出现的，求向量 a 的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2
＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
角度(二) 平面向量的夹角
3．(2018·成都二诊)已知平面向量 a，b 的夹角为π
3，且|a|＝1，|b|＝1
2，则 a＋2b 与 b 的
夹角是( )
A.π
6 B.5π
6
C.π
4 D.3π
4
解析：选 A 因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1×1
2×cosπ
3＝3，
所以|a＋2b|＝ 3.
又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b| 2＝1×1
2×cosπ
3＋2×1
4＝1
4＋1
2＝3
4，
所以 cos〈a＋2b，b〉＝
(a＋2b)·b
|a＋2b||b|＝
3
4
3 × 1
2
＝ 3
2 ，
所以 a＋2b 与 b 的夹角为π
6.
4．已知平面向量 a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b
的夹角，则 m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选 D ∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，|a|＝ 5，|b|＝
2 5，∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.
∵c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，
∴ c·a
|c|·|a|
＝ c·b
|c|·|b|
，∴5m＋8
5
＝8m＋20
2 5
，解得 m＝2.
[题型技法] 求向量夹角问题的方法
(1)当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角 θ，需求出 a·b 及|a|，|b|或得出它们之间
的关系；
(2)若已知 a＝(x1，y1)与 b＝(x2，y2)，则 cos〈a，b〉＝ x1x2＋y1y2
x21＋y21· x22＋y22.
[注意] 〈a，b〉∈[0，π]．
角度(三) 平面向量的垂直
5．(2018·湘中名校联考)已知向量 a＝(x， 3)，b＝(x，－ 3)，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝
( )
A．1 B. 2
C. 3 D．2
解析：选 D 因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，
即(3x， 3)·(x，－ 3)＝3x2－3＝0，解得 x＝±1，
所以 a＝(±1， 3)，|a|＝ ( ± 1)2＋( 3)2＝2.
6．已知向量 AB
―→
与 AC
―→
的夹角为 120°，且| AB
―→
|＝3，| AC
―→
|＝2.若 AP
―→
＝λ AB
―→
＋
AC
―→
，且 AP
―→
⊥ BC
―→
，则实数 λ 的值为________．
解析：由 AP
―→
⊥ BC
―→
，知 AP
―→
· BC
―→
＝0，即 AP
―→
· BC
―→
＝(λ AB
―→
＋ AC
―→
)·( AC
―→
－
AB
―→
)＝(λ－1) AB
―→
· AC
―→
－λ AB
―→
2＋ AC
―→
2＝(λ－1)×3×2×(－1
2 )－λ×9＋4＝0，解得 λ
＝ 7
12.
答案： 7
12
[题型技法]
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数
量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
[题“根”探求]
1．平面向量数量积的性质要记牢
设 a，b 都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量，θ 是 a 与 e 的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－ |a||b|；
特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a；
(4)cos θ＝ a·b
|a||b|
；
(5)|a·b|≤|a||b|.
2．思维趋向要明确
(1)看到向量的模想到向量模的两种计算公式．
(2)看到向量的夹角想到向量的夹角公式．
(3)看到两向量垂直想到两向量的数量积为零．
3．二级结论要谨记
(1)求向量夹角的取值范围：
①向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且向量 a，b 不共线；
②向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b<0 且向量 a，b 不共线．
(2)向量的绝对值三角不等式：
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，可用来求向量模的取值范围．
[冲关演练]
1．(2018·广东五校协作体诊断)已知向量 a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，若|a＋b|＝|a－b|，则
实数 λ 的值为( )
A．－1 B．2
C．1 D．－2
解析：选 A 法一：a＋b＝(2λ＋2,2)，a－b＝(－2,0)，由|a＋b|＝|a－b|，可得(2λ＋2)2＋
4＝4，解得 λ＝－1.
法二：由|a＋b|＝|a－b|，可得 a 2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以 a·b＝0，故 a·b＝(λ，
1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得 λ＝－1.
2．(2017·山东高考)已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量．若 3e1－e2 与 e1＋λe2 的夹角
为 60°，则实数 λ 的值是________．
解析：由题意，得
( 3e1－e2)·(e1＋λe2)
| 3e1－e2|·|e1＋λe2|
＝cos 60°，
故 3－λ
2 1＋λ2＝1
2，解得 λ＝ 3
3 .
答案： 3
3
3．已知 AB
―→
· BC
―→
＝0，| AB
―→
|＝1，| BC
―→
|＝2， AD
―→
· DC
―→
＝0，则| BD
―→
|的最大值
为________．
解析：由 AB
―→
· BC
―→
＝0 可知， AB
―→
⊥ BC
―→
.
故以 B 为坐标原点，分别以 BA，BC 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图
略)，
则由题意，可得 B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)．设 D(x，y)，
则 AD
―→
＝(x－1，y)， DC
―→
＝(－x,2－y)．
由 AD
―→
· DC
―→
＝0，可得(x－1)(－x)＋y(2－y)＝0，
整理得 (x－1
2 )2＋(y－1)2＝5
4.
所以点 D 在以 E (
1
2，1 )为圆心，半径 r＝ 5
2 的圆上．
因为| BD
―→
|表示 B，D 两点间的距离，而| EB
―→
|＝ (
1
2 )2＋12＝ 5
2 .
所以| BD
―→
|的最大值为| EB
―→
|＋r＝ 5
2 ＋ 5
2 ＝ 5.
答案： 5
考点三 平面向量与三角函数的综合 (重点保分型考点——师生共研)
平面向量与三角函数的综合在高考中常有考查.题型多以解答题形式呈现，难度中等，
其共同特点是充分体现平面向量的载体性与工具性.
[典题领悟]
(2017·江苏高考)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]．
(1)若 a∥b，求 x 的值；
(2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值．
[思维路径]
(1)要求 x 的值，需得到 x 的关系式．由已知条件及两向量共线的坐标表示可得到关于 x
的三角函数式，进而求得 x 的值．
(2)要求 f(x)的最值，需把 f(x)的关系式表示出来，由已知条件及 f(x)＝a·b 可得到 f(x)的
关系式是三角函数式，进而把问题转化为三角函数的最值问题，可求解．
解：(1)因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b，
所以－ 3cos x＝3sin x.
则 tan x＝－ 3
3 .
又 x∈[0，π]，所以 x＝5π
6 .
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－ 3)
＝3cos x－ 3sin x＝2 3cos(x＋π
6 ).
因为 x∈[0，π]，所以 x＋π
6∈[
π
6，7π
6 ]，
从而－1≤cos(x＋π
6 )≤ 3
2 .
于是，当 x＋π
6＝π
6，即 x＝0 时，f(x)取到最大值 3；
当 x＋π
6＝π，即 x＝5π
6 时，f(x)取到最小值－2 3.
[解题师说]
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的
坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路
是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．
[冲关演练]
已知函数 f(x)＝a·b，其中 a＝(2cos x，－ 3sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.
(1)求函数 y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)＝－1，a＝ 7，且向量 m
＝(3，sin B)与 n＝(2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值．
解：(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－ 3sin 2x＝1＋cos 2x－ 3sin 2x＝1＋2cos(2x＋π
3)，
由 2kπ≤2x＋π
3≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得 kπ－π
6≤x≤kπ＋π
3(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为[kπ－π
6，kπ＋π
3](k∈Z)．
(2)∵f(A)＝1＋2cos(2A＋π
3)＝－1，
∴cos(2A＋π
3)＝－1.
∵0I3，作 AG⊥BD 于 G，又 AB＝AD，
∴OB OC
―→
· OD
―→
，即 I1>I3，
∴I30，∴n>m.
从而∠DBC>45°，又∠BCO＝45°，∴∠BOC 为锐角．
从而∠AOB 为钝角．故 I1<0，I3<0，I2>0.
又 OA1)， OC
―→
＝－λ2 OA
―→
(λ2>1)，
从而 I3＝ OC
―→
· OD
―→
＝λ1λ2 OA
―→
· OB
―→
＝λ1λ2I1，
又 λ1λ2>1，I1<0，I3<0，∴I30，n>0)，若 m＋n＝1，则| OC
―→
|的最小值为( )
A.
5
2 B.
10
2
C. 5 D. 10
解析：选 C 由 OA
―→
＝(3,1)， OB
―→
＝(－1,3)，
得 OC
―→
＝m OA
―→
－n OB
―→
＝(3m＋n，m－3n)．
因为 m＋n＝1(m>0，n>0)，所以 n＝1－m，且 0I3，作 AG⊥BD 于 G，又 AB＝AD，
∴OB OC
―→
· OD
―→
，即 I1>I3，
∴I30，∴n>m.
从而∠DBC>45°，又∠BCO＝45°，∴∠BOC 为锐角．
从而∠AOB 为钝角．故 I1<0，I3<0，I2>0.
又 OA1)， OC
―→
＝－λ2 OA
―→
(λ2>1)，
从而 I3＝ OC
―→
· OD
―→
＝λ1λ2 OA
―→
· OB
―→
＝λ1λ2I1，
又 λ1λ2>1，I1<0，I3<0，∴I3