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- 2021-04-12 发布
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江苏省邗江中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题
评卷人
得分
一、填空题
1．设集合，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由交集概念直接求解
【详解】
因为集合，集合，
则
【点睛】
本题主要考查了集合的交集概念，属于基础题。
2．已知复数满足为虚数单位），则的共轭复数＝____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果.
【详解】
由可得，即，
所以，
故答案是：.
【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.
3．函数的定义域为___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域.
【详解】
要使函数有意义，则，
解得且，
所以函数的定义域为：，
故答案是：.
【点睛】
该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.
4．“”是“”的_____条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分条件
【解析】
【分析】
由，解得或，由解得，进而判断出结论.
【详解】
由，解得或，
由解得，
因为，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故答案是：必要不充分条件.
【点睛】
该题考查的是有关必要不充分条件的判断，涉及到的知识点有不等式的解法，必要不充分条件的定义，属于简单题目.
5．若，则的值从小到大的顺序是____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
【详解】
，，
所以的值从小到大的顺序是，
故答案是：.
【点睛】
该题考查的是有关指数幂与对数值的大小关系的比较问题，涉及到的知识点有指数函数的单调性，以及借助于中介值来比较，属于简单题目.
6．若钝角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则＝____．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据点P在单位圆上以及钝角范围解得m,再根据三角函数定义求结果.
【详解】
因为点P在单位圆上，所以，
因为钝角，所以，
因此由三角函数定义得tan＝
【点睛】
本题考查三角函数定义，考查基本求解能力.属基础题.
7．函数在点处的切线方程为____．
【答案】
【解析】
，，所以，，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点
出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
8．将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图像，若函数是偶函数，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数的图象变换，求得函数的解析式，再根据函数的奇偶性，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，将函数的图象向右平移个单位后，
得到函数的图象，
若函数是偶函数，则，即，，所以，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换求解函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
9．已知下列等式：，，，，…， ，则推测_____．
【答案】.
【解析】
分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知中的等式，分析根号中分式分子和分母的变化规律，得到a，b值．
详解：由已知中，
，
，
，
，
…，
归纳可得：第n个等式为：
当n+1=10时，a=10，b=99，
故a+b=109，
故答案为：109.
点睛：归纳推理是数学中一种重要的推理方法，是由特殊到一般、由个别到全部的推理，常见的是在数列中的猜想，其关键在于通过所给前几项或前几个图形，分析前后联系或变化规律，以便进一步作出猜想．
10．已知，，则____．
【答案】
【解析】
【分析】
由得到，进而得到，再结合两角和的正弦公式得到结果.
【详解】
∵ ，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了两角和与差的正弦、正切公式，同角基本关系式，考查了计算能力，属于基础题.
11．定义在上的奇函数 满足，且在 上满足则____．
【答案】
【解析】
试题分析：由题设可知是周期为的奇函数，则，， 故.
考点：函数的奇偶性、周期性及分段函数的计算.
12．已知函数在上单调递增，则实数的取值集合为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意转化为导函数恒非负，再根据图象确定条件,解得结果.
【详解】
因为，所以恒成立，如图可得，即实数m的取值集合为.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性以及不等式恒成立问题，考查等价转化思想以及基本分析求解能力.属较难题.
13．已知函数若函数有四个零点，则实数的取值范围是____
【答案】
【解析】
【分析】
先运用导数求得函数单调区间，并作出函数的图象，再根据图象列出函数有4个零点所需要的条件，即可求得结果.
【详解】
因为，
当时，，所以，
令，得，并且当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，
当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且且仅当，且，
因为当时，则有或，
即或，
由图象得，要使函数有四个零点，
则得，或，无解，
综上所述，实数的取值范围是，
故答案是：.
【点睛】
该题考查的是有关根据函数的零点的个数确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，结合图象确定函数的零点，以及与题意相同的对应参数所要满足的条件，属于较难题目.
14．已知函数.若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【分析】
围．
【详解】
∵的对称轴为x=a，且，
∴函数f（x）=在[0，]上是减函数，
在[，2]上是增函数；
∴函数f（x）=在的最小值为f（a）=﹣∈，
①当2≤a＜3时，
函数f（x）=（x∈）在x=0时取得最大值，
且最大值为2a﹣1，由于此时2≤a＜3，则3≤2a﹣1＜5；
2a﹣1
∴
②0＜a＜2时，
函数f（x）=（x∈）在x=4时取得最大值，
且最大值为42﹣8a+2a﹣1=15﹣6a，由于此时0＜a＜2，则3＜15﹣6a＜15；
，
∴
综上， ∴；
即t的取值范围是：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了恒成立问题与存在性问题，是综合性题目．
评卷人
得分
二、解答题
15．已知集合，集合.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）m=2（2）或
【解析】
试题分析：（1）根据集合A及，若，确定集合B的左端点，即可求解；（2）根据集合之间的关系，结合数轴可得出不等式关系，即可求解.
试题解析：（1），若，则m-2=0，即m=2
（2）则或，即或
16．已知，，其中．
（1）已知，若为真，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）求出两个命题为真命题时的解集然后利用为真，取并求得的取值范围；
（2）由是的充分不必要条件，即 ， ，其逆否命题为，列出不等式组求解即可.
【详解】
（1）由，解得，所以
又 ，因为，解得，
所以．当时，，
又为真，所以．
（2）由是的充分不必要条件，即 ， ，
其逆否命题为，
由（1），，
所以，即：
【点睛】
该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有命题的真假判断与应用，充分不必要条件对应的等价结果，注意原命题与逆否命题等价，属于简单题目.
17．已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式，并求出的单调递增区间；
（2）若 ，求的值
【答案】（1）；递增区间为；（2）
【解析】
【分析】
（1）由图可知其函数的周期满足，从而求得，进而求得，再代入点的坐标可得值，从而求得解析式；解不等式，可得函数的单调增区间；
（2）由题意可得，结合，得到，利用平方关系，求得，之后利用差角余弦公式求得结果.
【详解】
（1）设函数的周期为，
由图可知，∴，即，
∵，∴，∴，
上式中代入，有，得，，
即，，
又∵，∴，∴，
令，解得，
即的递增区间为；
（2），
又，∴，∴；
∴
．
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，求正弦型函数的单调区间，同角三角函数关系式，利用整体角思维，结合差角正弦公式求三角函数值，属于简单题目.
18．已知函数 是定义在上的奇函数（其中 是自然对数的底数）.
（1）求实数 的值；
（2）如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据是定义域为R的奇函数，，可求得的值；
（2）应用导数可求得函数在R上是增函数，利用奇函数的定义以及函数的单调性，题中的不等式可转化为，即对任意都成立，可求得的最小值为3，即，解不等式得到.
【详解】
（1）因为 是定义在 的奇函数，所以 ，所以
当 时， ，所以
（2） ， ，
所以 ，当且仅当 时，所以 在R上单调递增
因为，且是奇函数
所以，
因为在上单调递增，所以，
即对任意都成立，
由于=，其中，
所以，即最小值为3所以，
即，解得，
故，即.
【点睛】
该题考查的是函数的有关问题，涉及到的知识点有根据函数是奇函数求参数的值，利用奇偶性和单调性转化不等式，将恒成立问题向最值靠拢，属于中档题目.
19．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I）设计成半径为1km的扇形，中心角（
）.为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II）和休闲区（区域III），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元.
（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；
（2）试问：当为多少时，年总收入最大？
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由，，，所以与全等.
可得，根据面积公式，可求得观赏区的面积为，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，解不等式即可求出结果.
（2）由题意可得种植区的面积为，正方形面积为，设年总收入为万元，则
，利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果.
【详解】
（1）∵，，，所以与全等.
所以，观赏区的面积为
，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，即，结合可知，则的最大值为.
（2）种植区的面积为，
正方形面积为，
设年总收入为万元，则
，
其中，求导可得.
当时，，递增；当时，，递增.
所以当时，取得最大值，此时年总收入最大.
【点睛】
题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，以及导数在求最值的应用.
20．已知函数 ．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；
（3）当时，若的解集为 ，且 中有且仅有一个整数，求实数的取值范围．
【答案】（1）极大值，极小值（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）把代入函数解析式，求导，由导数的符号确定函数的单调区间，从而求得函数的极值；
（2）当时，有唯一解，与题意不符，舍去；当时，求出导函数的零点或，结合，可得，由此求得的值；
（3）把的解集记为，且中有且仅有一个整数，可转化为的解集中仅有一个整数，利用导数研究函数，最后求得结果.
【详解】
（1）当时，，
，，
令，解得或，令，解得，
所以函数在上单调增，在上单调减，在上单调增，
所以函数的极大值，极小值；
（2）法一：，令，得或
因为函数有两个不同的零点，所以或
当时，得，不合题意，舍去；
当时，代入得
即，所以
法二：由于，所以，
由，得
设，，令，得，
当时，，递减；当时，，递增.
当时，，单调递增，
当时，的值域为.
故不论取何值，方程有且仅有一个根；
当时，，
所以时，方程恰有一个根-2，
此时函数恰有两个零点-2和1
（3）当时，因为，所以，
设，则
当时，因为，所以在上递增，且
所以在上，，不合题意；
当时，令，得
所以在递增，在递减，
所以
要使有解，首先要满足，解得①
又因为，
要使的解集中只有一个整数，则
即，解得②
设，则
当时，，递增；当时，，递减，
所以，所以，
所以由①和②得：.
【点睛】
该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的极值，应用导数研究函数的零点，以及应用导数解决参数的取值范围的问题，属于较难题目.