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- 2021-04-12 发布
杭四中2019学年第一学期高三数学期中考试试题
一、选择题：每小题4分，共40分
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵集合，，∴，故选B.
2.我们把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（ ）
A. 离心率 B. 渐近线 C. 焦点 D. 顶点
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求得共轭双曲线的离心率、渐近线方程和焦点坐标、顶点坐标，可得答案．
【详解】解：共轭双曲线和的，设，，
可得它们的焦点分别为，，
渐近线方程均为，
离心率分别为和，
它们的顶点分别为，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和几何性质，属于基础题．
3.设a，G，b∈R，则“G2＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
结合等比中项的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断．
【详解】解：若是，的等比中项，则．
当时，满足，但，，不能构成等比数列，
所以“”是“是，的等比中项”的必要而不充分条件，
故选：B．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质和定义进行判断是解决本题的关键，属于基础题．
4.若多项式，则（ ）
A. 9 B. 10 C. -9 D. -10
【答案】D
【解析】
，
，根据已知条件得 系数为0， 的系数为1 故选D.
5.设函数则下列结论错误的是
A. D（x）的值域为{0,1}
B. D（x）是偶函数
C. D（x）不是周期函数
D. D（x）不是单调函数
【答案】C
【解析】
该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性，全面掌握很关键.，C错误
6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( )
A. 50种 B. 60种 C. 70种 D. 90种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，
丙同学可以从剩下的10种中任意选，
∴选法有种；
如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，
丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种，
不同的选法共有种，故选C.
【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题．
7.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，即该平面区域和直线
有交点，而直线的交点在直线上移动，由得交点坐标为，当即时，才会交点.
【考点定位】本小题考查了线性约束条件、线性规划问题、两条直线的位置关系和数形结合的思想.
8.设0＜a＜1，已知随机变量X的分布列是
X
0
a
1
P
若，则a＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出期望，利用方差公式求解可得结果．
【详解】解：，
，
∴，即，解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查方差的求法，考查计算能力，属于中档题．
9.已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P是侧棱AA'上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与直线B'C所成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C的平面角为γ，则（ ）
A. α＞β＞γ B. α＜β＜γ C. α＞γ＞β D. β＞α＞γ
【答案】D
【解析】
【分析】
取中点，以、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量，设出点的坐标，求出三个角，再比较大小即可．
【详解】解：设直三棱柱的棱长与底面边长为2，如图，取中点，
以、所在直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，
∴，
，
由题意，，，则二面角的平面角为，则，
当时，由二次函数的单调性知，．
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查异面直线所成的角、二面角的求法，考查了利用角的余弦值比较角的大小，属于中档题．
10.已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的解就是或，根据题意画图：
所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.
考点：导数、零点、函数的图象
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分
11.若复数满足（为虚数单位），则________；________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
∵，∴，，故答案为，.
12.已知 ，若f（x）＝2，则x＝___ 若f（x）2，则x的取值范围为_____．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
当时，，当时，，由此能求出的值；由，当时，，当时，，由此能求出的取值范围．
【详解】解：，
由，
当时，，解得或（舍，
当时，，解得，不合题意，
综上：时，；
由，
当时，，解得或（舍，
当时，，解得，∴，
综上：的取值范围为；
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查分段函数的函数值和性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
13.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是_____，最长棱长为_____．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，根据体积公式建立关系，可得答案．
【详解】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，且梯形上下边长为1和2，高为2，
如图：，，，，，平面，，
∴底面的面积，
∴几何体的体积，
可得，
最长棱长为：，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查由三视图还原直观图，考查棱锥的体积公式，属于中档题．
14.已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|＝_____ P点的坐标为_____．
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】
求得椭圆的，，，，设椭圆的右焦点为，连接，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径公式，求得的坐标，利用椭圆的定义求解．
【详解】解：由题意，该椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，离心率，
设椭圆的右焦点为，连接，
线段的中点在以原点为圆心，2为半径的圆，
连接，可得，
设的坐标为，由焦半径公式可得，可得，代入到椭圆方程得
，
由得，
故答案为：2；．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、几何性质，注意运用三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．
15.已知，则的值为_____．
【答案】0
【解析】
【分析】
由已知利用三角函数的诱导公式分别求得与的值，则答案可求．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
故答案：0．
【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，属于基础题．
16.在△ABC中，∠ABC为直角，点M在线段BA上，满足BM＝2MA＝2，记∠ACM＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC是唯一确定的，则BC＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用直角三角形中的边角关系求出、的值，再利用两角差的正切公式求得，从而求出的值．
【详解】解：设，，则为锐角，
∴，，
∴，
依题意，若对于给定的，是唯一的确定的，
可得，
解得，即的值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角差的正切公式，属于中档题．
17.已知，向量满足，设与的夹角为θ，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件可设，从而根据即可得出，且得出，从而得出，从而得出，从而配方即可求出的最小值．
【详解】解：，∴设，
∴，
由得，，则，
∴，
∴，
∴
，
∴当即时取最小值；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用向量坐标解决向量问题的方法，考查了向量夹角的余弦公式，考查计算能力，属于中档题．
三、解答题：5小题，共74分
18.已知函数，该函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角的余弦公式降幂后化积，由为正三角形求得函数的半周期，从而求得周期，则的值可求；
（2）利用（1）的结论，结合，求得与，再由
，展开两角和的正弦即可求解．
【详解】解：（1）由得：
，
又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4，
∴函数的周期，；
（2）由得，
整理得，
∵，∴，∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求解析式，考查两角和的正弦公式，解答此体的关键是拆角和配角，属于中档题．
19.
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
【答案】（1）；（2）0.1
【解析】
【分析】
(1)本题首先可以通过题意推导出
所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；
(2)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．
【详解】(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”
所以
(2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”
所以
【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出以及所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．
20.已知数列{an}中，相邻两项an，an+1是关于x的方程：x2+3nx+bn0（n∈N*）的两实根，且a1＝1．
（1）若Sn为数列{an}的前n项和，求S100 ；
（2）求数列{an}和{bn}的通项公式．
【答案】（1）S100＝﹣7500；（2），
【解析】
【分析】
（1）由韦达定理可得所以，即把相邻两项之和看成一个新的数列，这个新数列为等差数列，包含新数列的前50项，用等差数列的前项和公式即可；
（2）由、两式相减得，即隔项成等差数列，由可得奇数项的通项，由可得偶数项的通项，由的通项可得的通项公式．
【详解】解：（1）因为an、an+1是关于的两实根，
所以an+an+1＝﹣3n，a2n﹣1+a2n＝﹣3（2n﹣1）＝3﹣6n，，
所以S100＝﹣7500．
（2），，两式相减，，
∴，
因为，所以，
因为，所以，
，
，
所以，．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与前项和及其性质，本题的关键是分奇偶做，属于中档题．
21.如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．
（1）求p的值及抛物线的准线方程 ；
（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；
（3）当xA∈（1，2）时，求△ABC面积的最大值．
【答案】（1）p＝2，准线方程为x＝﹣1 ；（2）见解析；（3）最大值为2．
【解析】
【分析】
（1）求得抛物线的焦点，由题意可得，可得抛物线方程和准线方程；
（2）设过的直线方程为，，，，，，，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得证明，检验直线的斜率不存在，也成立；
（3）求得的范围和的坐标，运用点到直线的距离公式可得到直线的距离，由弦长公式可得，由三角形的面积公式和导数的运用，判断单调性可得面积的范围，检验直线的斜率不存在时，可得的面积，进而得到所求最大值．
【详解】解：（1）点为抛物线的焦点，即，即，
抛物线的方程为，准线方程为；
（2）证明：设过的直线方程为，，，，，，，
即有，，，
联立直线和抛物线可得，
可得，，
则，
由的重心在轴上，可得，即，
即有，
当直线的斜率不存在时，求得，，的坐标，可得．
则直线与直线的倾斜角互补；
（3）由（2）可得，，
可得，解得，
由抛物线的定义可得，
由，即，即，，
坐标为，，
到直线的距离为，
可得的面积为，
由，可得，
设，则，
由，则在递减，
可得；
当直线斜率不存在时，设，，可得，
的面积为，
可得的面积的最大值为2．
【点睛】本题主要考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系及其应用，考查化简运算能力，属于中档题．
22.已知实数a≠0，设函数．
（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意均有，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．
【答案】（1）单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将代入，求导后令得减区间，令得增区间；
（2）先由，得，再证当时，恒成立即可．
【详解】解：（1）由题意，当时，，定义域为，
∴，
①令，即，解得；
②令，即，解得．
∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）令，
对任意的，恒成立，
∴，得，
下证当时，恒成立，
先证，只需证，
即证，即证，显然成立，
∴，
，
当时，，，
∴当时恒成立，
∴函数在上单调递减，
∴当时，恒成立．
【点睛】本题考查导数的综合运用，主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立问题，掌握解决导数问题的常见方法是解题的关键，属于较难题目．